Конфигурация Рейе - Reye configuration

Конфигурация Рейе

В математике Конфигурация Рейя, представлен Теодор Рей  (1882 ), это конфигурация из 12 точек и 16 линий. Каждая точка конфигурации принадлежит четырем линиям, и каждая линия содержит три точки. Поэтому в обозначении конфигураций конфигурация Рея записывается как 12₄16₃.

Реализация

Конфигурация Рея может быть реализована в трехмерном проективное пространство взяв за линии 12 ребер и четыре длинные диагонали куб, а точки - это восемь вершин куба, его центр и три точки, где группы из четырех параллельных ребер куба пересекаются с плоскостью на бесконечности. Два обычных тетраэдры может быть вписан в куб, образуя Stella Octangula; эти два тетраэдра представляют собой перспективные фигуры по отношению друг к другу четырьмя разными способами, а другие четыре точки конфигурации являются их центрами перспективы. Эти два тетраэдра вместе с тетраэдром оставшихся 4 точек образуют десмическая система трех тетраэдров.

Любые две непересекающиеся сферы в трехмерном пространстве с разными радиусами имеют два битангентный двойные конусы, вершины которых называются центрами подобия. Если даны три сферы с неколлинеарными центрами, то их шесть центров подобия образуют шесть точек полный четырехугольник, четыре линии которого называются осями подобия. И если даны четыре сферы с некомпланарными центрами, то они определяют 12 центров подобия и 16 осей подобия, которые вместе образуют экземпляр конфигурации Рея (Гильберт и Кон-Фоссен, 1952 г. ).

Конфигурация Рея также может быть реализована с помощью точек и линий в Евклидова плоскость, нарисовав трехмерную конфигурацию в трехточечная перспектива. Ан 8₃12₂ конфигурация восьми точек в реальная проективная плоскость и 12 линий, соединяющих их, с рисунком соединения куба, могут быть расширены, чтобы сформировать конфигурацию Рея тогда и только тогда, когда восемь точек являются перспективная проекция из параллелепипед (Серватий и Серватий 2010 )

24 перестановки точек ${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0)}$образуют вершины 24-элементный с центром в начале четырехмерного евклидова пространства. Эти 24 точки также образуют 24 корня в корневая система ${ displaystyle D_ {4}}$Их можно сгруппировать в пары точек напротив друг друга на линии, проходящей через начало координат. Линии и плоскости, проходящие через начало координат четырехмерного евклидова пространства, имеют геометрию точек и линий трехмерного пространства. проективное пространство, и в этом трехмерном проективном пространстве линии, проходящие через противоположные пары этих 24 точек, и центральные плоскости, проходящие через эти точки, становятся точками и линиями конфигурации Рея (Манивель 2006 ). Перестановки ${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0)}$ сформировать однородные координаты из 12 точек в этой конфигурации.

Заявление

Аравинд (2000) указал, что конфигурация Рея лежит в основе некоторых доказательств Теорема Белла – Кохена – Спекера. об отсутствии скрытых переменных в квантовой механике.

Связанные конфигурации

В Конфигурация Pappus может быть образован из двух треугольников, которые являются перспективными фигурами друг для друга, тремя разными способами, аналогично интерпретации конфигурации Рея, включающей десмические тетраэдры.

Если конфигурация Рея сформирована из куба в трехмерном пространстве, то имеется 12 плоскостей, каждая из которых содержит четыре линии: шесть плоскостей граней куба и шесть плоскостей, проходящих через пары противоположных краев куба. Пересечение этих 12 плоскостей и 16 линий с другой плоскостью в общем положении дает 16₃12₄ конфигурация, двойная конфигурации Reye. Исходная конфигурация Reye и ее двойник вместе образуют 28₄28₄ конфигурация (Грюнбаум и Ригби 1990 ).

Существует 574 различных конфигурации типа 12.₄16₃ (Беттен и Беттен 2005 ).

Рекомендации

• Аравинд, П. К. (2000), «Как конфигурация Рея помогает в доказательстве теоремы Белла-Кохена-Шпекера: любопытная геометрическая сказка» (PDF), Основы письма по физике, 13 (6): 499–519, Дои:10.1023 / А: 1007863413622, МИСТЕР  1814009
• Бергер, Марсель (2010), Геометрия раскрыта, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN  978-3-540-70996-1, МИСТЕР  2724440
• Беттен, Антон; Беттен, Дитер (2005), "Подробнее о регулярных линейных пространствах" (PDF), Журнал комбинаторных дизайнов, 13 (6): 441–461, Дои:10.1002 / jcd.20055, МИСТЕР  2221852.
• Грюнбаум, Бранко; Ригби, Дж. Ф. (1990), «Настоящая конфигурация (21₄)", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 41 (2): 336–346, Дои:10.1112 / jlms / s2-41.2.336, МИСТЕР  1067273.
• Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, Стефан (1952), «22. Конфигурация Рея», Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 134–143, ISBN  978-0-8284-1087-8. См. Также стр. 154–157.
• Манивель, Л. (2006), "Конфигурации линий и модели алгебр Ли", Журнал алгебры, 304 (1): 457–486, arXiv:математика / 0507118, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2006.04.029, МИСТЕР  2256401. См., В частности, раздел 2.1 «Конфигурация Рея и триальность», стр. 460–461.
• Reye, Th. (1882 г.), "Das Problem der Configurationen", Acta Mathematica (на немецком), 1 (1): 93–96, Дои:10.1007 / BF02391837, МИСТЕР  1554576.
• Серватиус, Бриджит; Серватиус, Герман (2010), "Обобщенная конфигурация Рея", Ars Mathematica Contemporanea, 3 (1): 21–27, Дои:10.26493/1855-3974.108.423, МИСТЕР  2592512.