Проблема с ремнем - Belt problem

Проблема с ремнем

В проблема с ремнем это математика задача, требующая определения длины скрещенного пояс соединяющий два круговых шкивы с радиус р₁ и р₂ чьи центры разделены расстоянием п. Решение проблемы с ремнем требует тригонометрия и концепции прямая касательная, то вертикальный угол, и конгруэнтные углы.

Решение

Ясно треугольники ACO и ADO являются конгруэнтный прямоугольные треугольники, так же как и треугольники БЭО и БФО. К тому же, треугольники ACO и BEO являются аналогичный. Следовательно углы CAO, DAO, EBO и FBO равны. Обозначая это угол к ${displaystyle varphi}$ (деноминированный в радианы ) длина ремня составляет

${displaystyle CO + DO + EO + FO + {ext {arc}} CD + {ext {arc}} EF ,!}$

${displaystyle = 2r_ {1} an (varphi) + 2r_ {2} an (varphi) + (2pi -2varphi) r_ {1} + (2pi -2varphi) r_ {2} ,!}$

${displaystyle = 2 (r_ {1} + r_ {2}) (an (varphi) + pi -varphi) ,!}$

Это использует удобство обозначения углов в радианах, что длина дуга = the радиус × мера угол лицом к лицу дуга.

Найти ${displaystyle varphi}$ мы видим из сходство из треугольники ACO и BEO, которые

${displaystyle {frac {AO} {BO}} = {frac {AC} {BE}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow {frac {P-x} {x}} = {frac {r_ {1}} {r_ {2}}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow {frac {P} {x}} = {frac {r_ {1} + r_ {2}} {r_ {2}}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow {x} = {frac {Pr_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}} ,!}$

${displaystyle cos (varphi) = {frac {r_ {2}} {x}} = {frac {r_ {2}} {left ({dfrac {Pr_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}) } ight)}} = {frac {r_ {1} + r_ {2}} {P}} ,!}$

${displaystyle Rightarrow varphi = cos ^ {- 1} left ({frac {r_ {1} + r_ {2}} {P}} ight) ,!}$

Для фиксированных п длина ремня зависит только от суммы значений радиуса р₁ + р₂, а не от их индивидуальных ценностей.

Проблема со шкивом

Проблема со шкивом

Есть и другие проблемы, похожие на проблему с ремнем. В шкив проблема, как показано на рисунке, аналогична проблеме ремня; Тем не менее пояс не перекрещивается. В задаче о шкиве длина ремня равна

${displaystyle 2Psin left ({frac {heta} {2}} ight) + r_ {1} (2pi - heta) + r_ {2} {heta} ,,}$

где р₁ представляет радиус большего шкива, р₂ представляет радиус меньшего, и:

${displaystyle heta = 2cos ^ {- 1} left ({frac {r_ {1} -r_ {2}} {P}} ight) ,.}$

Приложения

Ремень проблема используется ^[1] в дизайне самолеты, велосипедная передача, легковые автомобили, и другие предметы с шкивы или ремни которые пересекаются друг с другом. Проблема шкива также используется в конструкции конвейерные ленты нашел в аэропорт багаж ремни и автоматизированный фабрика линий.^[2]

Смотрите также

• Касательные линии к окружностям

Рекомендации