В математике Алгебра Бирмана – Мураками – Венцля (BMW) , представлен Джоан Бирман и Ханс Венцль (1989 ) и Дзюн Мураками (1987 ), представляет собой двухпараметрическое семейство алгебры C п ( ℓ , м ) { displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)} измерения 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 п − 1 ) { Displaystyle 1 CDOT 3 CDOT 5 CDOTS (2N-1)} имея Алгебра Гекке из симметричная группа как частное. Это связано с Многочлен Кауфмана из связь . Это деформация Алгебра Брауэра во многом так же, как алгебры Гекке являются деформациями групповая алгебра симметрической группы.
Определение
Для каждого натурального числа п , алгебра BMW C п ( ℓ , м ) { displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)} генерируется грамм 1 , грамм 2 , … , грамм п − 1 , E 1 , E 2 , … , E п − 1 { displaystyle G_ {1}, G_ {2}, dots, G_ {n-1}, E_ {1}, E_ {2}, dots, E_ {n-1}} и отношения:
грамм я грамм j = грамм j грамм я , я ж | я − j | ⩾ 2 , { displaystyle G_ {i} G_ {j} = G_ {j} G_ {i}, mathrm {if} left vert i-j right vert geqslant 2,} грамм я грамм я + 1 грамм я = грамм я + 1 грамм я грамм я + 1 , { displaystyle G_ {i} G_ {i + 1} G_ {i} = G_ {i + 1} G_ {i} G_ {i + 1},} E я E я ± 1 E я = E я , { displaystyle E_ {i} E_ {i pm 1} E_ {i} = E_ {i},} грамм я + грамм я − 1 = м ( 1 + E я ) , { displaystyle G_ {i} + {G_ {i}} ^ {- 1} = m (1 + E_ {i}),} грамм я ± 1 грамм я E я ± 1 = E я грамм я ± 1 грамм я = E я E я ± 1 , { displaystyle G_ {я pm 1} G_ {i} E_ {я pm 1} = E_ {i} G_ {i pm 1} G_ {i} = E_ {i} E_ {я pm 1}, } грамм я ± 1 E я грамм я ± 1 = грамм я − 1 E я ± 1 грамм я − 1 , { displaystyle G_ {я pm 1} E_ {i} G_ {я pm 1} = {G_ {i}} ^ {- 1} E_ {i pm 1} {G_ {i}} ^ {- 1 },} грамм я ± 1 E я E я ± 1 = грамм я − 1 E я ± 1 , { Displaystyle G_ {я pm 1} E_ {i} E_ {я pm 1} = {G_ {i}} ^ {- 1} E_ {я pm 1},} E я ± 1 E я грамм я ± 1 = E я ± 1 грамм я − 1 , { Displaystyle E_ {я pm 1} E_ {i} G_ {я pm 1} = E_ {я pm 1} {G_ {i}} ^ {- 1},} грамм я E я = E я грамм я = л − 1 E я , { displaystyle G_ {i} E_ {i} = E_ {i} G_ {i} = l ^ {- 1} E_ {i},} E я грамм я ± 1 E я = л E я . { displaystyle E_ {i} G_ {i pm 1} E_ {i} = lE_ {i}.} Эти отношения предполагают дальнейшие отношения:
E я E j = E j E я , я ж | я − j | ⩾ 2 , { displaystyle E_ {i} E_ {j} = E_ {j} E_ {i}, mathrm {if} left vert i-j right vert geqslant 2,} ( E я ) 2 = ( м − 1 ( л + л − 1 ) − 1 ) E я , { displaystyle (E_ {i}) ^ {2} = (m ^ {- 1} (l + l ^ {- 1}) - 1) E_ {i},} грамм я 2 = м ( грамм я + л − 1 E я ) − 1. { displaystyle {G_ {i}} ^ {2} = m (G_ {i} + l ^ {- 1} E_ {i}) - 1.} Это первоначальное определение, данное Бирманом и Венцлем. Однако иногда вносятся небольшие изменения путем введения некоторых знаков минус, в соответствии с «дубровницкой» версией Кауфмана его инварианта связи. Таким образом, четвертое отношение в исходной версии Birman & Wenzl заменяется на
(Соотношение мотков Кауфмана) грамм я − грамм я − 1 = м ( 1 − E я ) , { displaystyle G_ {i} - {G_ {i}} ^ {- 1} = m (1-E_ {i}),} Учитывая обратимость м , остальные отношения в исходной версии Birman & Wenzl можно свести к
(Идемпотентное отношение) ( E я ) 2 = ( м − 1 ( л − л − 1 ) + 1 ) E я , { displaystyle (E_ {i}) ^ {2} = (m ^ {- 1} (l-l ^ {- 1}) + 1) E_ {i},} (Отношения кос) грамм я грамм j = грамм j грамм я , если | я − j | ⩾ 2 , и грамм я грамм я + 1 грамм я = грамм я + 1 грамм я грамм я + 1 , { displaystyle G_ {i} G_ {j} = G_ {j} G_ {i}, { text {if}} left vert ij right vert geqslant 2, { text {и}} G_ { i} G_ {i + 1} G_ {i} = G_ {i + 1} G_ {i} G_ {i + 1},} (Отношения клубка) E я E я ± 1 E я = E я и грамм я грамм я ± 1 E я = E я ± 1 E я , { displaystyle E_ {i} E_ {i pm 1} E_ {i} = E_ {i} { text {и}} G_ {i} G_ {i pm 1} E_ {i} = E_ {i pm 1} E_ {i},} (Разрыв отношений) грамм я E я = E я грамм я = л − 1 E я и E я грамм я ± 1 E я = л E я . { displaystyle G_ {i} E_ {i} = E_ {i} G_ {i} = l ^ {- 1} E_ {i} { text {and}} E_ {i} G_ {i pm 1} E_ {i} = lE_ {i}.} Характеристики
Размер C п ( ℓ , м ) { displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)} является ( 2 п ) ! / ( 2 п п ! ) { Displaystyle (2n)! / (2 ^ {n} п!)} . В Алгебра Ивахори – Гекке связанный с симметричная группа S п { displaystyle S_ {n}} является фактором алгебры Бирмана – Мураками – Венцля C п { displaystyle mathrm {C} _ {n}} . Артин группа кос встраивается в алгебру BMW, B п ↪ C п { displaystyle B_ {n} hookrightarrow mathrm {C} _ {n}} . Изоморфизм между алгебрами BMW и алгебрами клубков Кауфмана
Это доказано Мортон и Вассерманн (1989) что алгебра BMW C п ( ℓ , м ) { displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)} изоморфна алгебре клубков Кауфмана K Т п { displaystyle mathrm {KT} _ {n}} , то изоморфизм ϕ : C п → K Т п { displaystyle phi двоеточие mathrm {C} _ {n} to mathrm {KT} _ {n}} определяется и
Бакстеризация алгебры Бирмана – Мураками – Венцля.
Определите оператор лица как
U я ( ты ) = 1 − я грех ты грех λ грех μ ( е я ( ты − λ ) грамм я − е − я ( ты − λ ) грамм я − 1 ) { Displaystyle U_ {я} (и) = 1 - { гидроразрыва {я грех и} { грех лямбда грех му}} (е ^ {я (и- лямбда)} G_ {я} - e ^ {- i (u- lambda)} {G_ {i}} ^ {- 1})} ,куда λ { displaystyle lambda} и μ { displaystyle mu} определяются
2 потому что λ = 1 + ( л − л − 1 ) / м { Displaystyle 2 соз лямбда = 1 + (l-l ^ {- 1}) / м} и
2 потому что λ = 1 + ( л − л − 1 ) / ( λ грех μ ) { Displaystyle 2 соз лямбда = 1 + (л-л ^ {- 1}) / ( лямбда грех му)} .Тогда оператор лица удовлетворяет условию Уравнение Янга – Бакстера .
U я + 1 ( v ) U я ( ты + v ) U я + 1 ( ты ) = U я ( ты ) U я + 1 ( ты + v ) U я ( v ) { Displaystyle U_ {я + 1} (v) U_ {i} (u + v) U_ {i + 1} (u) = U_ {i} (u) U_ {i + 1} (u + v) U_ {i} (v)} Сейчас же E я = U я ( λ ) { Displaystyle E_ {я} = U_ {я} ( лямбда)} с
ρ ( ты ) = грех ( λ − ты ) грех ( μ + ты ) грех λ грех μ { Displaystyle rho (u) = { гидроразрыва { sin ( lambda -u) sin ( mu + u)} { sin lambda sin mu}}} .в пределы ты → ± я ∞ { Displaystyle и до PM я infty} , то косы грамм j ± { displaystyle {G_ {j}} ^ { pm}} можно восстановить вплоть до а масштаб .
История
В 1984 г. Воан Джонс представил новый полиномиальный инвариант изотопических типов зацепления, который называется Многочлен Джонса . Инварианты связаны со следами неприводимых представлений Алгебры Гекке связанный с симметричные группы . Мураками (1987) показал, что Многочлен Кауфмана также можно интерпретировать как функцию F { displaystyle F} на некоторой ассоциативной алгебре. В 1989 г. Бирман и Венцль (1989) построил двухпараметрическое семейство алгебр C п ( ℓ , м ) { displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)} с полиномом Кауфмана K п ( ℓ , м ) { Displaystyle К_ {п} ( ell, м)} как след после соответствующей перенормировки.
Рекомендации
Бирман, Джоан С. ; Венцль, Ханс (1989), «Косы, многочлены зацепления и новая алгебра», Труды Американского математического общества , Американское математическое общество, 313 (1): 249–273, Дои :10.1090 / S0002-9947-1989-0992598-X , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001074 , МИСТЕР 0992598 Мураками, июн (1987), «Многочлен Кауфмана зацеплений и теория представлений» , Осакский математический журнал , 24 (4): 745–758, ISSN 0030-6126 , МИСТЕР 0927059 Мортон, Хью Р .; Вассерманн, Энтони Дж. (1989). «Базис алгебры Бирмана – Венцля». arXiv :1012.3116 .