Алгебра Бирмана – Венцля - Birman–Wenzl algebra

В математике Алгебра Бирмана – Мураками – Венцля (BMW), представлен Джоан Бирман и Ханс Венцль (1989 ) и Дзюн Мураками (1987 ), представляет собой двухпараметрическое семейство алгебры измерения имея Алгебра Гекке из симметричная группа как частное. Это связано с Многочлен Кауфмана из связь. Это деформация Алгебра Брауэра во многом так же, как алгебры Гекке являются деформациями групповая алгебра симметрической группы.

Определение

Для каждого натурального числа п, алгебра BMW генерируется и отношения:

       
    
    
    

Эти отношения предполагают дальнейшие отношения:



Это первоначальное определение, данное Бирманом и Венцлем. Однако иногда вносятся небольшие изменения путем введения некоторых знаков минус, в соответствии с «дубровницкой» версией Кауфмана его инварианта связи. Таким образом, четвертое отношение в исходной версии Birman & Wenzl заменяется на

  1. (Соотношение мотков Кауфмана)

Учитывая обратимость м, остальные отношения в исходной версии Birman & Wenzl можно свести к

  1. (Идемпотентное отношение)
  2. (Отношения кос)
  3. (Отношения клубка)
  4. (Разрыв отношений)

Характеристики

  • Размер является .
  • В Алгебра Ивахори – Гекке связанный с симметричная группа является фактором алгебры Бирмана – Мураками – Венцля .
  • Артин группа кос встраивается в алгебру BMW, .

Изоморфизм между алгебрами BMW и алгебрами клубков Кауфмана

Это доказано Мортон и Вассерманн (1989) что алгебра BMW изоморфна алгебре клубков Кауфмана , то изоморфизм определяется
KauffmannTangleAlg 2.PNG и KauffmannTangleAlg 3.PNG

Бакстеризация алгебры Бирмана – Мураками – Венцля.

Определите оператор лица как

,

куда и определяются

и

.

Тогда оператор лица удовлетворяет условию Уравнение Янга – Бакстера.

Сейчас же с

.

в пределы , то косы можно восстановить вплоть до а масштаб.

История

В 1984 г. Воан Джонс представил новый полиномиальный инвариант изотопических типов зацепления, который называется Многочлен Джонса. Инварианты связаны со следами неприводимых представлений Алгебры Гекке связанный с симметричные группы. Мураками (1987) показал, что Многочлен Кауфмана также можно интерпретировать как функцию на некоторой ассоциативной алгебре. В 1989 г. Бирман и Венцль (1989) построил двухпараметрическое семейство алгебр с полиномом Кауфмана как след после соответствующей перенормировки.

Рекомендации

  • Бирман, Джоан С.; Венцль, Ханс (1989), «Косы, многочлены зацепления и новая алгебра», Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 313 (1): 249–273, Дои:10.1090 / S0002-9947-1989-0992598-X, ISSN  0002-9947, JSTOR  2001074, МИСТЕР  0992598
  • Мураками, июн (1987), «Многочлен Кауфмана зацеплений и теория представлений», Осакский математический журнал, 24 (4): 745–758, ISSN  0030-6126, МИСТЕР  0927059
  • Мортон, Хью Р .; Вассерманн, Энтони Дж. (1989). «Базис алгебры Бирмана – Венцля». arXiv:1012.3116.