Алгебра Ивахори – Гекке - Iwahori–Hecke algebra

В математике Алгебра Ивахори – Гекке, или же Алгебра Гекке, названный в честь Эрих Хекке и Нагайоши Ивахори, является деформацией групповая алгебра из Группа Коксетера.

Алгебры Гекке являются факторами групповых колец Группы косы Artin. Эта связь нашла яркое применение в Воан Джонс ' строительство новые инварианты узлов. Представления алгебр Гекке привели к открытию квантовые группы к Мичио Джимбо. Майкл Фридман предложил алгебры Гекке в качестве основы для топологические квантовые вычисления.

Алгебры Гекке групп Кокстера

Начнем со следующих данных:

(W, S) это Система Кокстера с матрицей Кокстера M = (м_ул),
р коммутативное кольцо с единицей.
{q_s | s ∈ S} - это семейство единиц р такой, что q_s = q_т в любое время s и т сопряжены в W
А кольцо Полиномы Лорана над Z с неопределенными q_s (и указанное выше ограничение, что q_s = q_т в любое время s и т сопряжены), то есть А = Z [q^±1
_s]

Многопараметрические алгебры Гекке

В многопараметрическая алгебра Гекке ЧАС_р(W, S, q) является единым, ассоциативным р-алгебра с образующими Т_s для всех s ∈ S и отношения:

Отношения косы: Т_s Т_т Т_s ... = Т_т Т_s Т_т ..., где у каждой стороны есть м_ул <∞ факторов и с, т принадлежать S.
Квадратичная связь: Для всех s в S у нас есть: (Т_s - q_s)(Т_s + 1) = 0.

Предупреждение: в более поздних книгах и статьях Люстиг использовал модифицированную форму квадратичного отношения, которое читается как ${ displaystyle (T_ {s} -q_ {s} ^ {1/2}) (T_ {s} + q_ {s} ^ {- 1/2}) = 0.}$ После расширения скаляров включением полуцелых степеней q^±½
_s полученная алгебра Гекке изоморфна ранее определенной (но Т_s здесь соответствует q^-½
_s Т_s в наших обозначениях). Хотя это не меняет общей теории, многие формулы выглядят иначе.

Общие многопараметрические алгебры Гекке

ЧАС_А(W, S, q) это общий многопараметрическая алгебра Гекке. Эта алгебра универсальна в том смысле, что любая другая многопараметрическая алгебра Гекке может быть получена из нее с помощью (единственного) кольцевого гомоморфизма А → р который отображает неопределенный q_s ∈ А к единице q_s ∈ р. Этот гомоморфизм превращается р в А-алгебра и скалярное расширение ЧАС_А(W, S) ⊗_А р канонически изоморфна алгебре Гекке ЧАС_р(W, S, q) как построено выше. Один называет этот процесс специализация общей алгебры.

Однопараметрические алгебры Гекке

Если специализироваться на каждом неопределенном q_s к единственному неопределенному q над целыми числами (или q^½
_s к q^½ соответственно), то получается так называемая однопараметрическая алгебра Гекке общего положения (W, S).

Поскольку в группах Кокстера с одиночными зашнурованными диаграммами Дынкина (например, группы типа A и D) каждая пара генераторов Кокстера сопряжена, упомянутое выше ограничение q_s будучи равным q_т в любое время s и т сопряжены в W заставляет многопараметрическую и однопараметрическую алгебры Гекке быть равными. Следовательно, также очень часто рассматривают только однопараметрические алгебры Гекке.

Группы Кокстера с весами

Если целочисленная весовая функция определена на W (т.е. карта L: W → Z с L (vw) = L (v) + L (w) для всех v, w ∈ W с l (vw) = l (v) + l (w)), то общая специализация, на которую следует обратить внимание, - это специализация, индуцированная гомоморфизмом q_s ↦ q^{L (с)}, куда q это единственная неопределенная над Z.

Если использовать соглашение с полуцелыми степенями, то весовая функция L: W → ½Z также может быть разрешено. По техническим причинам также часто удобно рассматривать только положительные весовые функции.

Характеристики

1. Алгебра Гекке имеет базис ${ displaystyle (T_ {w}) _ {w in W}}$ над А проиндексировано элементами группы Кокстера W. Особенно, ЧАС это бесплатный А-модуль. Если ${ Displaystyle ш = s_ {1} s_ {2} ldots s_ {п}}$ это уменьшенное разложение из ш ∈ W, тогда ${ displaystyle T_ {w} = T_ {s_ {1}} T_ {s_ {2}} ldots T_ {s_ {n}}}$ . Этот базис алгебры Гекке иногда называют натуральная основа. В нейтральный элемент из W соответствует идентичности ЧАС: Т_е = 1.

2. Элементами природного базиса являются мультипликативный, а именно Т_yw=Т_у Т_ш в любое время l (yw) = l (y) + l (w), куда л обозначает функция длины о группе Кокстера W.

3. Элементы естественного базиса обратимы. Например, из квадратичного соотношения заключаем, что Т⁻¹
_s = q⁻¹
_s Т_s + (q⁻¹
_s-1).

4. Предположим, что W - конечная группа, а основное кольцо - это поле C комплексных чисел. Жак Титс доказал, что если неопределенное q специализируется на любом комплексном числе вне явно заданного списка (состоящего из корней из единицы), то результирующая однопараметрическая алгебра Гекке полупростой и изоморфна комплексной групповой алгебре C[W] (что также соответствует специализации q ↦ 1)^{[нужна цитата ]}.

5. В более общем смысле, если W конечная группа и основное кольцо р это область характеристика ноль, то однопараметрическая алгебра Гекке является полупростая ассоциативная алгебра над р[q^±1]. Более того, расширяя более ранние результаты Бенсона и Кертиса, Джордж Люстиг предоставил явный изоморфизм между алгеброй Гекке и групповой алгеброй после расширения скаляров на поле частных р[q^±½]

Каноническая основа

Великим открытием Каждана и Люстига было то, что алгебра Гекке допускает разные базис, который в некотором роде управляет теорией представления множества связанных объектов.

Общая многопараметрическая алгебра Гекке, ЧАС_А(W, S, q), имеет инволюцию бар что отображает q^½ к q^−½ и действует как личность на Z. потом ЧАС допускает единственный кольцевой автоморфизм я то есть полулинейный относительно барной инволюции А и карты Т_s к Т⁻¹
_s. Далее можно доказать, что этот автоморфизм инволютивен (имеет второй порядок) и принимает любые Т_ш к ${ displaystyle T_ {w ^ {- 1}} ^ {- 1}.}$

Теорема Каждана - Люстига: Для каждого ш ∈ W существует уникальный элемент ${ displaystyle C_ {w} ^ { prime}}$ инвариантной относительно инволюции я и если написать его расширение в терминах естественной основы:
${ displaystyle C '_ {w} = left (q ^ {- 1/2} right) ^ {l (w)} sum _ {y leq w} P_ {y, w} T_ {y} ,}$
один имеет следующее:
п_{ш, ш}=1,
п_{у, ш} в Z[q] имеет степень меньше или равную ½(л (ш) -л (у) -1) если у <ш в Заказ Брюа,
п_{у, ш}= 0, если ${ displaystyle y nleq w.}$

Элементы ${ displaystyle C_ {w} ^ { prime}}$ куда ш варьируется в зависимости от W составляют основу алгебры ЧАС, который называется двойственный канонический базис алгебры Гекке ЧАС. В каноническая основа {C_ш | ш ∈ W} получается аналогичным образом. Полиномы п_{у, ш}(q), фигурирующие в этой теореме, являются Полиномы Каждана – Люстига..

Представления Каждана – Люстига о левом, правом и двустороннем клетки в группах Кокстера определяются через поведение канонического базиса под действием ЧАС.

Алгебра Гекке локально компактной группы

Алгебры Ивахори – Гекке впервые появились как важный частный случай очень общей конструкции в теории групп. Позволять (G, K) быть парой, состоящей из унимодулярный локально компактная топологическая группа грамм и замкнутая подгруппа K из грамм. Тогда пространство K-biinvariant непрерывные функции из компактная опора, C_c(К Г / К), можно снабдить структурой ассоциативной алгебры под действием свертка. Эта алгебра обозначается H (G // K) и назвал Кольцо Hecke пары (G, K).

Пример: Если грамм = SL (п,Q_п) и K = SL (п,Z_п), то кольцо Гекке коммутативно и его представления изучались Ян Дж. Макдональд. В более общем плане, если (G, K) это Пара Гельфанда тогда полученная алгебра оказывается коммутативной.

Пример: Если грамм = SL (2,Q) и K = SL (2,Z) получаем абстрактное кольцо позади Операторы Гекке в теории модульные формы, давшего название алгебрам Гекке в целом.

Случай, ведущий к алгебре Гекке конечной группы Вейля, - это когда грамм конечный Группа Шевалле через конечное поле с п^k элементы и B это его Подгруппа Бореля. Ивахори показал, что кольцо Гекке H (G // B) получается из общей алгебры Гекке ЧАС_q из Группа Вейля W из грамм специализируясь на неопределенных q последней алгебры к п^k, мощность конечного поля. Джордж Люстиг заметил в 1984 году (Характеры редуктивных групп над конечным полем, xi, сноска):

Я думаю, что было бы наиболее подходящим называть это алгеброй Ивахори, но имя Гекке (или алгебра), данное самим Ивахори, используется уже почти 20 лет, и, вероятно, уже слишком поздно его менять.

Ивахори и Мацумото (1965) рассмотрели случай, когда грамм группа точек редуктивная алгебраическая группа над неархимедовым местное поле K, Такие как Q_п, и K это то, что сейчас называется Подгруппа Ивахори из грамм. Полученное кольцо Гекке изоморфно алгебре Гекке группы аффинная группа Вейля из грамм, или аффинная алгебра Гекке, где неопределенный q был специализирован по мощности поле вычетов из K.

Работа Роджера Хоу в 1970-х годах и его работы с Алленом Мой о представлениях п-адический GL (п) открыла возможность классификации неприводимых допустимых представлений редуктивных групп над локальными полями в терминах правильно построенных алгебр Гекке. (Важный вклад внесли также Джозеф Бернштейн и Андрей Зелевинский.) Эти идеи получили дальнейшее развитие в Колин Бушнелл и Филип Куцко с теория типов, что позволяет им завершить классификацию в общем линейном случае. Многие из методов можно распространить на другие редуктивные группы, что остается областью активных исследований. Было высказано предположение, что все алгебры Гекке, которые когда-либо понадобятся, являются мягкими обобщениями аффинных алгебр Гекке.

Представления алгебр Гекке

Из работы Ивахори следует, что комплексные представления алгебр Гекке конечного типа тесно связаны со структурой сферической представления основных серий конечных групп Шевалле.

Джордж Люстиг продвинул эту связь намного дальше и смог описать большинство характеров конечных групп лиева типа в терминах теории представлений алгебр Гекке. В этой работе использовалась смесь геометрических методов и различных редукций, что привело к введению различных объектов, обобщающих алгебры Гекке, и детальному пониманию их представлений (для q не корень единства). Модульные представления алгебр Гекке и представления в корнях единицы оказались связаны с теорией канонических базисов в аффинные квантовые группы и комбинаторика.

Теория представлений аффинных алгебр Гекке была разработана Люстигом с целью применения ее к описанию представлений алгебр Гекке. п-адические группы. Он во многом отличается^{[как? ]} из конечного случая. Обобщение аффинных алгебр Гекке, называемое двойная аффинная алгебра Гекке, использовался Иван Чередник в его доказательстве Гипотеза Макдональда о постоянном члене.