Подразделение по хозяйству - Chore division

Подразделение по хозяйству это справедливое разделение проблема, при которой разделение ресурса нежелательно, чтобы каждый участник хотел получить как можно меньше. Это зеркальное отражение ярмарка разрезания торта проблема, в которой желательно разделить ресурс, чтобы каждый участник хотел получить как можно больше. Обе проблемы имеют неоднородный ресурсы, что означает, что ресурсы неоднородны. При разделении торта у торта могут быть края, уголки и середина, а также разное количество глазури. В то время как в разделении по рутинной работе есть разные типы работы и разное количество времени, необходимое для завершения каждой работы. Точно так же обе проблемы предполагают, что ресурсы делимы. Работа по дому может быть бесконечно делимой, потому что конечный набор обязанностей может быть разделен по рутинной работе или по времени. Например, загрузка белья может быть разделена по количеству предметов одежды и / или по времени, затраченному на загрузку машины. Однако проблемы различаются желательностью ресурсов. Проблема разделения обязанностей была введена Мартин Гарднер в 1978 г.^[1]

Подразделение по дому часто называют справедливое разделение плохие, в отличие от более распространенной проблемы, называемой «справедливое разделение товаров». Другое имя проблема грязной работы. Один и тот же ресурс может быть как хорошим, так и плохим, в зависимости от ситуации. Например, предположим, что разделяемым ресурсом является задний двор дома. В ситуации раздела наследства этот двор будет считаться хорошим, так как каждый наследник хотел бы иметь как можно больше земли, поэтому это проблема разрезания торта. Но в ситуации разделения домашних дел, таких как лужайка - косить этот двор будет считаться плохим, так как каждый ребенок, вероятно, хотел бы иметь как можно меньше земли для стрижки, поэтому это рутинная проблема.

Некоторые результаты из ярмарка разрезания торта можно легко перевести на рутинный сценарий. Например, разделяй и выбирай Процедура одинаково хорошо работает в обеих задачах: один из партнеров делит ресурс на две равные в его глазах части, а другой партнер выбирает ту часть, которая «лучше» в его глазах. Единственная разница в том, что «лучше» означает «больше» при резке торта и «меньше» при резке по дому. Однако не все результаты так легко перевести. Более подробная информация представлена ниже.

Пропорциональная работа по дому

Определение пропорциональное деление в разрезании по дому является зеркальным отражением его определения в разрезании торта: каждый партнер ${ displaystyle i}$ должен получить кусок ${ displaystyle X_ {i}}$ что стоит, согласно его личному дисвспомогательная функция, в большинстве ${ displaystyle 1 / n}$ от общей стоимости (где ${ displaystyle n}$ - общее количество партнеров):

{ displaystyle forall i: V_ {i} (X_ {i}) leq V_ {i} (весь) / n}

Большинство протоколов для пропорциональная резка торта легко переводится на рутинную работу. Например:

Чтобы использовать последний уменьшитель протокол: попросите агента отрезать кусок, который стоит точно ${ displaystyle 1 / n}$ для него. Если какой-либо другой агент считает, что этот кусок слишком мал, он может увеличить его, пока он не будет стоить точно. ${ displaystyle 1 / n}$ для него и так далее. "Последний увеличитель" получает кусок, который стоит ровно ${ displaystyle 1 / n}$ для него и по крайней мере ${ displaystyle 1 / n}$ для остальных.
Чтобы использовать Протокол Even – Paz: попросите каждого агента отметить линию половинной стоимости, убедившись, что все линии параллельны. Разрезать торт посередине линий, разделить агентов на две группы. ${ displaystyle n / 2}$ агентов, и пусть каждая половина рекурсивно делит кусок, НЕ содержащий ее строки.

Справедливое и точное выполнение работы

Процедуры для справедливое разделение и точное деление одинаково хорошо подходят для тортов и для работы по дому, поскольку гарантируют одинаковую ценность. Примером может служить Остин с движущимся ножом, что гарантирует каждому партнеру кусок, который он ценит точно как 1 /п от общей суммы.

Рутинная работа без зависти

Определение зависть в разрезании по дому является зеркальным отражением его определения в разрезании торта: каждый партнер ${ displaystyle i}$ должен получить кусок ${ displaystyle X_ {i}}$ это стоит, согласно его собственной личной бесполезности, в большинстве столько же, сколько и любой другой кусок:

{ displaystyle forall i, j: V_ {i} (X_ {i}) leq V_ {i} (X_ {j})}

Для двух партнеров разделяй и выбирай производит рутинную резку без зависти. Однако для трех и более партнеров ситуация намного сложнее. Основная трудность заключается в обрезка - действие обрезки части, чтобы сделать ее равной другой части (как, например, в Протокол Селфриджа – Конвея ). Это действие нелегко перевести в рутинный сценарий.

Дискретная процедура Оскуи для трех партнеров

Реза Оскуи был первым, кто предложил трём партнёрам рутинную процедуру. Его работа никогда официально не публиковалась; Это описано в ^[2] страницы 73–75. Это похоже на Протокол Селфриджа – Конвея, но более сложный: требуется 9 разрезов вместо 5 разрезов.

Ниже партнеров зовут Алиса, Боб и Карл.

Первый шаг. Алиса разрезает рутинную работу на три равные в ее глазах части (это также первый шаг в протоколе Селфидж-Конвей). Боб и Карл указывают свой самый маленький кусок. Легкий случай состоит в том, что они не согласны, так как тогда мы можем дать каждому партнеру самый маленький кусочек, и все готово. Дело в том, что они согласны. Назовем кусок, который Боб и Карл рассматривают как наименьший, X1, а две другие части - X2 и X3.

Шаг второй. Попросите Боба и Карла отметить на каждой из частей X2 и X3, где часть должна быть разрезана, чтобы сделать ее равной X1. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. У Боба послабее. То есть, если Боб обрезает X2 до X2 'и X3 до X3', так что и X2 ', и X3' для него такие же маленькие, как X1, тогда Карл думает, что X1 все еще самый маленький кусок - немного меньше, чем X2 'и X3'. Тогда не вызывает зависти следующее частичное деление:

Карл получает X1;
Алиса получает меньшее из X2 'и X3' (оба для нее меньше X1);
Боб получает фишку, которую не взяла Алиса (обе для него равны X1).

Теперь нам нужно разделить обрезки E2 и E3. Для каждой обрезки выполняется следующее:

Боб разрезает его на три равные части.
Агент выбирает фигуры в порядке: Карл, Алиса, Боб.

Карл не завидует, так как он сделал выбор первым; Боб не завидует, поскольку он разрезал; Алиса не завидует, так как у нее было (отрицательное) преимущество перед Карлом: на первом этапе Карл взял X1, а Алиса взяла кусок, который меньше X1 на max (E2, E3), а на последнем шаге Алиса взяла две фишки, которые стоят не более (E2 + E3) / 2.

Случай 2. У Карла послабее. То есть, если Карл обрезает X2 до X2 'и X3 до X3', так что и X2 ', и X3' для него такие же маленькие, как X1, тогда Боб думает, что X1 по-прежнему самый маленький кусок - немного меньше, чем X2 'и X3'. Затем мы действуем так же, как в случае 1, поменяв ролями Боба и Карла.

Случай 3. Триммер Боба слабее в X2, а у Карла слабее в X3. То есть, если Боб обрезает X2 до X2 ', которое для него равно X1, а Карл обрезает X3 до X3', которое для него равно X1, то:

Для Карла: X2 '> = X1 = X3'
Для Боба: X3 '> = X1 = X2'

Тогда не вызывает зависти следующее частичное деление:

Алиса получает меньшее из X2 'и X3' (оба для нее меньше X1);
Боб получает либо X2 '(если Алиса не взяла его), либо X1 (в противном случае);
Карл получает либо X3 '(если его не взяла Алиса), либо X1 (в противном случае).

Обрезки E2 и E3 делятся аналогично случаю 1.

Оскуи также показал, как преобразовать следующие операции с движущимся ножом из резки торта в разделку по дому:

Процедура с движущимися ножами Стромквиста
Процедура с вращающимся ножом.^[2]^:77–78

Непрерывные процедуры Петерсона и Су для трех и четырех партнеров

Петерсон и Су^[3] предложил другую процедуру для трех партнеров. Она проще и симметричнее, чем процедура Оскуи, но не дискретна, так как основана на методе движущегося ножа. Их основная идея состоит в том, чтобы разделить работу на шесть частей, а затем дать каждому партнеру две части, которые, по их мнению, по крайней мере такие же маленькие, как и части, которые получают другие игроки.

Первый шаг. Разделите работу на 3 части, используя любой метод резки торта без зависти, и назначьте каждый кусок тому игроку, который сочтет его самым большим.

Шаг второй.

С помощью Остин с движущимся ножом разделите кусок 1 на две части, которые партнеры 1 и 2 считают равными. Пусть партнер 3 выберет срез, который меньше в его глазах, а второй передаст партнеру 2.
Точно так же разделите кусок 2 на два кусочка, которые партнеры 2 и 3 считают равными, пусть партнер 1 выберет наименьший кусок, а другой кусок отдаст партнеру 3.
Точно так же разделите кусок 3 на два кусочка, которые партнеры 3 и 1 считают равными, пусть партнер 2 выберет наименьший кусок и отдаст другой кусок партнеру 1.

Анализ. Партнер 1 держит два куска: один от куска 2 и один от куска 3. В глазах партнера 1 срез от куска 2 меньше, чем его срез, данный партнеру 3, а срез от куска 3 меньше, чем его данный срез. партнеру 2. Кроме того, оба этих ломтика меньше, чем кусочки 1, так как 1 больше, чем 2 и 3 (на Шаге 1). Таким образом, партнер 1 считает, что его доля (слабо) меньше, чем каждая из двух других долей. Те же соображения применимы к партнерам 2 и 3. Таким образом, разделение не вызывает зависти.

Петерсон и Су расширяют свою непрерывную процедуру до четырех партнеров.^[3]

Дискретная процедура Петерсона и Су для любого количества партнеров

Существование дискретной процедуры для пяти или более партнеров оставалось открытым до тех пор, пока в 2009 году Петерсон и Су не опубликовали процедуру для п партнеры.^[4] Это аналог Процедура Брамса – Тейлора и использует ту же идею безвозвратное преимущество. Вместо обрезки используют добавление из резерва.

Дискретная и ограниченная процедура Дехгани и др. Для любого количества партнеров

Петерсон и Су провели процедуру с движущимся ножом для разделения работы по дому из 4 человек. Дехгани и др.^[5] предоставил первый дискретный и ограниченный протокол без зависти для разделения рутинной работы между любым количеством агентов.

Процедуры для соединенных частей

Следующие процедуры могут быть адаптированы, чтобы разделить плохой торт на отдельные части:

Процедура с вращающимся ножом Робертсона-Уэбба^[2]^{:упражнение 5.10}
Процедура с движущимися ножами Стромквиста^[2]^{:упражнение 5.11}
Протоколы Симмонса – Су. Первоначально Симмонс разработал протокол для приблизительной резки торта без зависти с соединенными кусочками, основанный на Лемма Спернера. Су показал, используя двойственную лемму, что аналогичный протокол можно использовать для приблизительного разделения рутинной работы без зависти. В частности, это показывает, что всегда существует свободное от зависти разделение работы на соединенные части.

Цена справедливости

Гейдрих и ван Сти^[6] рассчитать цена справедливости в разделении по дому, когда части должны быть соединены.

Приложения

Возможно, можно будет использовать процедуры разделения рутинной работы, чтобы разделить работу и затраты на уменьшение изменения климата между странами. Проблемы возникают с моралью и налаживанием сотрудничества между народами. Однако использование процедур разделения рутинной работы снижает необходимость в наднациональном органе власти для разделения и надзора за работой этих стран.^[7]

Другое использование разделения по дому было бы в арендная гармония проблема.

Смотрите также

[1] Гарднер, Мартин (1978). Ага! На виду. Нью-Йорк: W. F. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-1017-2.

[rw98-2] а ^б ^c ^d Робертсон, Джек; Уэбб, Уильям (1998). Алгоритмы резки торта: будьте честны, если можете. Натик, Массачусетс: А. К. Петерс. ISBN 978-1-56881-076-8. LCCN 97041258. ПР 2730675W.

[ps02-3] а ^б Петерсон, Елисей; Су, Фрэнсис Эдвард (01.04.2002). «Подразделение по дому без зависти из четырех человек». Математический журнал. 75 (2): 117–122. CiteSeerX 10.1.1.16.8992. Дои:10.2307/3219145. JSTOR 3219145.

[4] Петерсон, Елисей; Фрэнсис Эдвард Су (2009). «Подразделение по дому без зависти из N человек». arXiv:0909.0303 [math.CO ].

[5] Дехгани, Сина; Алиреза Фархади; Мохаммад Таги Хаджиагайи; Хади Ями (2018). Подразделение по дому без зависти для произвольного количества агентов. Материалы двадцать девятого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам. С. 2564–2583. Дои:10.1137/1.9781611975031.164.

[6] Гейдрих, Сэнди; Ван Сти, Роб (2015). "Справедливое разделение связанных дел". Теоретическая информатика. 593: 51–61. Дои:10.1016 / j.tcs.2015.05.041. HDL:2381/37387.

[7] Трэкслер, Мартино (01.01.2002). «Подразделение справедливой работы по изменению климата». Социальная теория и практика. 28 (1): 101–134. Дои:10.5840 / soctheorpract20022814. JSTOR 23559205.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]