Тензор Кодацци - Codazzi tensor

В математической области дифференциальная геометрия, а Тензор Кодацци (названный в честь Дельфино Кодацци ) - симметричный 2-тензор, ковариантная производная также симметричен. Такие тензоры естественным образом возникают при изучении Римановы многообразия с гармонический кривизна или гармонический Тензор Вейля. Фактически, существование тензоров Кодацци накладывает строгие условия на тензор кривизны коллектора. Кроме того, вторая фундаментальная форма погруженной гиперповерхности в космическая форма (относительно локального выбора нормального поля) - тензор Кодацци.

Определение

Позволять ${ displaystyle (M, g)}$ - n-мерное риманово многообразие для ${ Displaystyle п geq 3}$, позволять ${ displaystyle T}$ быть симметричным 2-тензор поле, и пусть ${ displaystyle nabla}$ быть Леви-Чивита связь. Мы говорим, что тензор ${ displaystyle T}$ тензор Кодацци, если

${ Displaystyle ( nabla _ {X} T) (Y, Z) = ( nabla _ {Y} T) (X, Z)}$

для всех ${ displaystyle X, Y, Z in T_ {p} M.}$

Примеры

• Любое параллельное (0,2) -тензорное поле тривиально является Кодацци.
• Позволять ${ displaystyle (N, { overline {g}})}$ быть космическая форма, позволять ${ displaystyle M}$ - гладкое многообразие с ${ displaystyle 1+ dim M = dim N,}$ и разреши ${ displaystyle F: M to N}$ быть погружением. Если существует глобальный выбор единичного нормального векторного поля, то относительно этого выбора вторая фундаментальная форма является тензором Кодацци на ${ displaystyle M.}$ Это непосредственное следствие уравнений Гаусса-Кодацци.
• Позволять ${ displaystyle (M, g)}$ быть пространственной формой постоянной кривизны ${ displaystyle kappa.}$ Учитывая любую функцию ${ displaystyle f}$ на ${ displaystyle M,}$ тензор ${ displaystyle operatorname {Hess} ^ {g} f + kappa fg}$ это Кодацци. Это следствие формулы коммутации для ковариантного дифференцирования.
• Позволять ${ displaystyle (M, g)}$ - двумерное риманово многообразие, и пусть ${ displaystyle K}$ - гауссова кривизна. потом ${ displaystyle 2 operatorname {Hess} ^ {g} K + K ^ {2} g}$ - тензор Кодацци. Это следствие формулы коммутации для ковариантного дифференцирования.
• Обозначим через Rm Тензор кривизны Римана. Тогда div (Rm) = 0 ("грамм имеет гармонический тензор кривизны ") тогда и только тогда, когда тензор Риччи является тензором Кодацци. Это является непосредственным следствием сжатого тождества Бианки.
• Позволять W обозначить Тензор кривизны Вейля. потом ${ displaystyle operatorname {div} W = 0}$ ("грамм имеет гармонический тензор Вейля ") тогда и только тогда, когда" тензор Схоутена "

${ displaystyle operatorname {Ric} - { frac {1} {2n-2}} Rg}$

- тензор Кодацци. Это непосредственное следствие определения тензора Вейля и сжатого тождества Бианки.

Жесткость тензоров Кодацци.

Мацусима и Танно показали, что на кэлеровом многообразии любой эрмитов тензор Кодацци параллелен. Бергер показал, что на компактном многообразии неотрицательной секционной кривизны любой тензор Кодацци час с тр_граммчас константа должна быть параллельной. Кроме того, на компактном многообразии неотрицательной секционной кривизны, если секционная кривизна строго положительна хотя бы в одной точке, то каждый симметричный параллельный 2-тензор является постоянным кратным метрике.

Смотрите также

• Теорема Вейля – Схоутена.

Рекомендации

• Артур Бесс, Многообразия Эйнштейна, Спрингер (1987).