Полная булева алгебра - Википедия - Complete Boolean algebra

В математика, а полная булева алгебра это Булева алгебра в котором каждый подмножество имеет супремум (наименее верхняя граница ). Полные булевы алгебры используются для построения Булевозначные модели теории множеств в теории принуждение. Каждая булева алгебра А имеет существенно единственное пополнение, которое представляет собой полную булеву алгебру, содержащую А такой, что каждый элемент является супремумом некоторого подмножества А. Как частично заказанный набор, это завершение А это Завершение Дедекинда – МакНила.

В более общем смысле, если κ кардинал, то булева алгебра называется κ-полный если каждое подмножество мощности меньше κ имеет супремум.

Примеры

Каждый конечный Булева алгебра полная.
В алгебра подмножеств данного множества является полной булевой алгеброй.
В регулярные открытые сеты любой топологическое пространство образуют полную булеву алгебру. Этот пример особенно важен, потому что каждое принуждение посеть можно рассматривать как топологическое пространство (a основание для топологии, состоящей из наборов, которые представляют собой набор всех элементов, меньших или равных данному элементу). Соответствующая регулярная открытая алгебра может быть использована для формирования Булевозначные модели которые тогда эквивалентны общие расширения по заданному форсирующему положению.
Алгебра всех измеримых подмножеств пространства с σ-конечной мерой по модулю нулевых множеств является полной булевой алгеброй. Когда пространство меры является единичным интервалом с σ-алгеброй измеримых множеств по Лебегу, булева алгебра называется случайная алгебра.
Алгебра всех измеримых подмножеств пространства с мерой - это ℵ₁-полная булева алгебра, но обычно не полная.
Алгебра всех подмножеств бесконечного множества, которые являются конечными или имеют конечное дополнение, является булевой алгеброй, но не является полной.
Булева алгебра всех Наборы Baire по модулю скудные наборы в топологическом пространстве со счетной базой полно; когда топологическое пространство представляет собой действительные числа, алгебру иногда называют Алгебра Кантора.
Другой пример неполной булевой алгебры - это булева алгебра P (ω) всех множеств натуральные числа, выделенный идеальным Плавник конечных подмножеств. Результирующий объект, обозначенный P (ω) / Fin, состоит из всех классы эквивалентности наборов натуральных компонентов, где соответствующие отношение эквивалентности состоит в том, что два набора натуральных чисел эквивалентны, если их симметричная разница конечно. Аналогично определяются логические операции, например, если А и B два класса эквивалентности в P (ω) / Fin, определим ${ displaystyle A land B}$ быть классом эквивалентности ${ displaystyle a cap b}$ , куда а и б некоторые (любые) элементы А и B соответственно.

Теперь позвольте₀, а₁, ... - попарно непересекающиеся бесконечные множества натуральных чисел, и пусть А₀, А₁, ... - соответствующие им классы эквивалентности в P (ω) / Fin. Тогда с учетом любой верхней границы Икс из А₀, А₁, ... в P (ω) / Fin можно найти меньший верхняя граница, сняв с представителя Икс один элемент каждого а_п. Следовательно А_п не имеют супремума.

Булева алгебра полна тогда и только тогда, когда ее Каменное пространство основных идеалов экстремально отключенный.

Свойства полных булевых алгебр

Теорема Сикорского о продолжении утверждает, что

если А является подалгеброй булевой алгебры B, то любой гомоморфизм из А к полной булевой алгебре C может быть расширен до морфизма из B к C.

Каждое подмножество полной булевой алгебры по определению имеет супремум; отсюда следует, что каждое подмножество также имеет инфимум (точная нижняя граница).
Для полной булевой алгебры выполняются оба бесконечных закона распределения.
Для полной булевой алгебры бесконечные законы де-Моргана держать.

Пополнение булевой алгебры

Пополнение булевой алгебры можно определить несколькими эквивалентными способами:

Завершение А является (с точностью до изоморфизма) единственной полной булевой алгеброй B содержащий А такой, что А плотно в B; это означает, что для каждого ненулевого элемента B есть меньший ненулевой элемент А.
Завершение А является (с точностью до изоморфизма) единственной полной булевой алгеброй B содержащий А так что каждый элемент B является супремумом некоторого подмножества А.

Пополнение булевой алгебры А можно построить несколькими способами:

Пополнение - это булева алгебра регулярных открытых множеств в Каменное пространство главных идеалов А. Каждый элемент Икс из А соответствует открытому множеству простых идеалов, не содержащему Икс (который бывает открытым и закрытым, а значит, и регулярным).
Пополнение - это булева алгебра регулярных разрезов А. Здесь резать это подмножество U из А⁺ (ненулевые элементы А) такой, что если q в U и п≤q тогда п в U, и называется обычный если когда-нибудь п не в U существует некоторое р ≤ п такой, что U не имеет элементов ≤р. Каждый элемент п из А соответствует нарезке элементов ≤п.

Если А метрическое пространство и B его завершение, то любая изометрия из А в полное метрическое пространство C можно продолжить до единственной изометрии из B к C. Аналогичное утверждение для полных булевых алгебр неверно: гомоморфизм из булевой алгебры А к полной булевой алгебре C не обязательно продолжается до (сохраняющего супремум) гомоморфизма полных булевых алгебр из пополнения B из А к C. (По теореме Сикорского о расширении его можно продолжить до гомоморфизма булевых алгебр из B к C, но это, вообще говоря, не будет гомоморфизмом полных булевых алгебр; другими словами, он не должен сохранять супрему.)

Свободные κ-полные булевы алгебры

Если только Аксиома выбора расслаблен,^[1] свободный полных булевых алгебр, порожденных набором, не существует (если набор не является конечным). Точнее, для любого кардинала κ существует полная булева алгебра мощности 2^κ больше, чем κ, которое порождается как полная булева алгебра счетным подмножеством; например, булева алгебра регулярных открытых множеств в пространстве произведения κ^ω, где κ имеет дискретную топологию. Счетный генераторный агрегат состоит из всех комплектов а_м,п за м, п целые числа, состоящие из элементов Икс∈κ^ω такой, что Икс(м)<Икс(п). (Эта логическая алгебра называется схлопывающаяся алгебра, потому что принуждение с ним коллапсирует кардинал κ на ω.)

В частности, забывчивый функтор из полных булевых алгебр в множества не имеет сопряженного слева, даже если он непрерывен, а категория булевых алгебр мало полна. Это показывает, что «условие набора решения» в Теорема Фрейда о присоединенном функторе необходимо.

Учитывая набор Икс, можно составить свободную булеву алгебру А сгенерированный этим набором, а затем принять его завершение B. тем не мение B не является "свободной" полной булевой алгеброй, порожденной Икс (пока не Икс конечно или AC опущено), потому что функция из Икс к свободной булевой алгебре C вообще не может быть продолжен до (сохраняющего супремум) морфизма булевых алгебр из B к C.

С другой стороны, для любого фиксированного кардинала κ существует свободная (или универсальная) κ-полная булева алгебра, порожденная любым данным множеством.

Полная булева алгебра - Википедия - Complete Boolean algebra

Содержание

Примеры

Свойства полных булевых алгебр

Пополнение булевой алгебры

Свободные κ-полные булевы алгебры

Смотрите также

Рекомендации