Теория индекса Конли - Conley index theory

В теория динамических систем, Теория индекса Конли, названный в честь Чарльз Конли, анализирует топологическую структуру инвариантных множеств диффеоморфизмы и гладкой потоки. Это далеко идущее обобщение Теорема Хопфа об индексе предсказывающий наличие неподвижных точек потока внутри плоской области с точки зрения информации о его поведении на границе. Теория Конли связана с Теория Морса, который описывает топологическую структуру замкнутого многообразие с помощью невырожденного градиентное векторное поле. Он имеет огромный спектр приложений для изучения динамики, включая существование периодические орбиты в Гамильтоновы системы и бегущая волна решения для уравнения в частных производных, структура глобальной аттракторы за уравнения реакции-диффузии и дифференциальные уравнения с запаздыванием, доказательство чего-либо хаотичное поведение в динамических системах, и теория бифуркации. Теория индекса Конли легла в основу разработки Гомология Флора.

Краткое описание

Ключевую роль в теории играют понятия изолирующий район N и изолированное инвариантное множество S. В Индекс Конли час(S) это гомотопический тип определенной пары (N1, N2) компактных подмножеств N, называется индексная пара. Чарльз Конли показал, что пары индексов существуют и что индекс S не зависит от выбора изолированной окрестности N и индексная пара. В частном случае отрицательного градиентного потока к гладкой функции индекс Конли невырожденной (морсовской) критической точки индекса k - точечный гомотопический тип k-сфера Sk.

Глубокая теорема Конли утверждает инвариантность продолжения: Индекс Конли инвариантен относительно некоторых деформаций динамической системы. Следовательно, вычисление индекса может быть сведено к случаю диффеоморфизма или векторного поля, инвариантные множества которого хорошо изучены.

Если индекс нетривиален, то инвариантное множество S непусто. Этот принцип может быть расширен, чтобы установить существование неподвижных точек и периодических орбит внутри N.

Рекомендации

  • Чарльз Конли, Изолированные инвариантные множества и индекс Морса. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 38. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978. ISBN  0-8218-1688-8
  • Томас Барч (2001) [1994], «Индекс Конли», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Джон Фрэнкс, Михал Мисюревич, Топологические методы в динамике. Глава 7 в Справочник динамических систем, том 1, часть 1, стр 547–598, Elsevier 2002 ISBN  978-0-444-82669-5
  • Юрген Йост, Динамические системы. Примеры сложного поведения. Universitext. Springer-Verlag, Берлин, 2005 г. ISBN  978-3-540-22908-7
  • Константин Мишайков, Мариан Мрозек, Индекс Конли. Глава 9 в Справочник динамических систем, vol 2, pp 393–460, Elsevier 2002 ISBN  978-0-444-50168-4
  • Разван М.Р., О фундаментальной теореме Конли о динамических системах, 2002.

внешняя ссылка