Оператор ковариации - Википедия - Covariance operator

В теория вероятности, для вероятностная мера п на Гильбертово пространство ЧАС с внутренний продукт ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$, то ковариация из п это билинейная форма Cov:ЧАС × ЧАС → р данный

${ displaystyle mathrm {Cov} (x, y) = int _ {H} langle x, z rangle langle y, z rangle , mathrm {d} mathbf {P} (z)}$

для всех Икс и у в ЧАС. В ковариационный оператор C тогда определяется как

${ Displaystyle mathrm {Cov} (х, y) = langle Cx, y rangle}$

(от Теорема Рисса о представлении, такой оператор существует, если Cov ограниченный ). Поскольку Cov симметричен по своим аргументам, ковариационный оператор имеет видсамосопряженный (бесконечномерная аналогия транспозиционной симметрии в конечномерном случае). Когда п центрированный Гауссова мера, C также ядерный оператор. В частности, это компактный оператор из класс трассировки, то есть имеет конечное след.

Даже в более общем плане для вероятностная мера п на Банахово пространство Bковариация п это билинейная форма на алгебраический двойственный B^#, определяется

${ Displaystyle mathrm {Cov} (x, y) = int _ {B} langle x, z rangle langle y, z rangle , mathrm {d} mathbf {P} (z)}$

куда ${ Displaystyle langle х, г rangle}$ теперь значение линейного функционала Икс на элементе z.

Точно так же ковариационная функция функциональнозначного случайный элемент (в особых случаях называется случайный процесс или же случайное поле ) z является

${ Displaystyle mathrm {Cov} (х, y) = int z (x) z (y) , mathrm {d} mathbf {P} (z) = E (z (x) z (y) )}$

куда z(Икс) теперь значение функции z в момент Икс, т.е. значение линейный функционал ${ Displaystyle и mapsto и (х)}$ оценивается в z.

Этот вероятность -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.