Алгебра Кунца - Википедия - Cuntz algebra

В математике Алгебра Кунца ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ , названный в честь Иоахим Кунц, это универсальная C * -алгебра создано ${ displaystyle n}$ изометрии бесконечное измерение Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ удовлетворение определенных отношений.^[1] Эти алгебры были введены как первые конкретные примеры отделяемый бесконечная простая C * -алгебра, то есть гильбертово пространство, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ изометрично пространство последовательности

${ Displaystyle л ^ {2} ( mathbb {N})}$

и в нем нет нетривиальных замкнутых идеалов. Эти алгебры являются фундаментальными для изучения простых бесконечных C * -алгебр, поскольку любая такая алгебра содержит для любого данного п, подалгебра, имеющая ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ как частное.

Определения

Позволять п ≥ 2 и ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ быть отделяемый Гильбертово пространство. Рассмотрим C * -алгебра ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ генерируется набором

{ Displaystyle {S_ {я} } _ {я = 1} ^ {п}}

из изометрии (т.е. ${ Displaystyle S_ {я} ^ {*} S_ {я} = 1}$ ) действующий на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ удовлетворение

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} S_ {i} S_ {i} ^ {*} = I.}

Эта универсальная C * -алгебра называется Алгебра Кунца, обозначаемый ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ .

А просто C * -алгебра называется чисто бесконечно если каждый наследственная C * -подалгебра его бесконечно. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ - сепарабельная простая чисто бесконечная C * -алгебра. Любая простая бесконечная C * -алгебра содержит подалгебру, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ как частное.

Характеристики

Классификация

Алгебры Кунца попарно неизоморфны, т. Е. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ неизоморфны для п ≠ м. В K₀ группа ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ является ${ Displaystyle mathbb {Z} / п}$ , то циклическая группа порядка п - 1. Поскольку K₀ это функтор, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {n}}$ и ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ неизоморфны.

Связь между конкретными C * -алгебрами и универсальной C * -алгеброй

Теорема. Конкретная C * -алгебра ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ изоморфна универсальной C * -алгебре ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ создано п генераторы s₁... s_п при условии отношений s_я* с_я = 1 для всех я и ∑ s_яs_я* = 1.

Доказательство теоремы опирается на следующий факт: любая C * -алгебра, порожденная п изометрии s₁... s_п с ортогональными диапазонами содержит копию УВЧ алгебра ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ тип п^∞. А именно ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ охватывает слова вида

{ displaystyle s_ {i_ {1}} cdots s_ {i_ {k}} s_ {j_ {1}} ^ {*} cdots s_ {j_ {k}} ^ {*}, k geq 0.}

* -Подалгебра ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ , существование приблизительно конечномерный, имеет единственную C * -норму. Подалгебра ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ играет роль пространства Коэффициенты Фурье для элементов алгебры. Ключевая техническая лемма, принадлежащая Кунцу, состоит в том, что элемент алгебры равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты Фурье равны нулю. Используя это, можно показать, что фактор-карта из ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ к ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ инъективно, что доказывает теорему.

Алгебра УВЧ ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ имеет неунитальную подалгебру ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ который канонически изоморфен ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ Сама: В M_п этап определения прямой системы ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ рассмотрим проекцию ранга 1 е₁₁, матрица, равная 1 в верхнем левом углу и нулю в другом месте. Распространите эту проекцию через прямую систему. На них_п^k стадия прямой системы, имеет ранг п^{k - 1} проекция. в прямой предел, это дает проекцию п в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . Угол

{ Displaystyle P { mathcal {F}} P = { mathcal {F '}}}

изоморфен ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ . * -Эндоморфизм Φ, отображающий ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ реализуется изометрией s₁, т.е. Φ (·) = s₁(·)s₁*. ${ displaystyle ; { mathcal {O}} _ {n}}$ на самом деле скрещенный продукт из ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ с эндоморфизмом Φ.

Обобщения

Алгебры Кунца получили множество обобщений. Примечательны, среди которых Алгебры Кунца – Кригера, граф C * -алгебры и k-граф C * -алгебры.

Прикладная математика

В обработка сигналов, а поддиапазонный фильтр с точной реконструкцией порождают представления алгебры Кунца. Такой же фильтр также поступает из анализ с несколькими разрешениями строительство в вейвлет теория.^[2]