Приближенно конечномерная C * -алгебра - Approximately finite-dimensional C*-algebra
В математика, приближенно конечномерная (AF) C * -алгебра это C * -алгебра это индуктивный предел из последовательность из конечномерный C * -алгебры. Приближенная конечномерность была впервые определена и комбинаторно описана Ола Браттели. Позже, Джордж А. Эллиотт дал полную классификацию алгебр AF с помощью K0 функтор, диапазон которого состоит из упорядоченные абелевы группы с достаточно красивой структурой заказов.
Классификационная теорема для AF-алгебр служит прототипом результатов классификации для более крупных классов отделяемый просто ядерный стабильно конечные C * -алгебры. Его доказательство делится на две части. Инвариант здесь K0 с его естественной упорядоченной структурой; это функтор. Во-первых, доказывается существование: гомоморфизм между инвариантами должен подниматься до * -гомоморфизма алгебр. Во-вторых, один показывает уникальность: подъем должен быть уникальным с точностью до приблизительной унитарной эквивалентности. Тогда классификация следует из того, что известно как переплетающийся аргумент. Для унитальных AF-алгебр и существование, и единственность следуют из того факта, что полугруппа проекторов Мюррея-фон Неймана в AF-алгебре сокращается.
Аналог простых AF C * -алгебр в алгебра фон Неймана мира являются сверхконечными факторами, которые были классифицированы Конн и Haagerup.
В контексте некоммутативная геометрия и топология, AF C * -алгебры являются некоммутативными обобщениями C0(Икс), где Икс это полностью отключен метризуемый Космос.
Определение и основные свойства
Конечномерные C * -алгебры
Произвольная конечномерная C * -алгебра А принимает следующий вид, с точностью до изоморфизма:
где Mя обозначает полную матричную алгебру я × я матрицы.
С точностью до унитарной эквивалентности унитальный * -гомоморфизм Φ: Mя → Mj обязательно имеет форму
где р·я = j. Число р называется кратностью Φ. Вообще говоря, унитальный гомоморфизм конечномерных C * -алгебр
задается с точностью до унитарной эквивалентности т × s матрица частичные кратности (рл к) удовлетворительно, для всех л
В неунитарном случае равенство заменяется на ≤. Графически Φ эквивалентно (рл к), может быть представлена его Диаграмма Браттели. Диаграмма Браттели - это ориентированный граф с узлами, соответствующими каждому пk и мл и количество стрелок из пk к мл частичная кратность рlk.
Рассмотрим категория объекты которой являются классами изоморфизмов конечномерных C * -алгебр, а морфизмы - * -гомоморфизмами по модулю унитарной эквивалентности. Согласно приведенному выше обсуждению, объекты можно рассматривать как векторы с записями в N а морфизмы - это матрицы частичных кратностей.
AF алгебры
C * -алгебра - это AF если это прямой предел последовательности конечномерных C * -алгебр:
где каждый Ая является конечномерной C * -алгеброй, а связующие отображения αя являются * -гомоморфизмами. Предположим, что каждый αя является единым. Индуктивная система, задающая алгебру AF, не единственна. Всегда можно перейти к подпоследовательности. Подавляя соединительные карты, А также можно записать как
В Диаграмма Браттели из А формируется диаграммами Браттели {αя} очевидным образом. Например, Треугольник Паскаля с узлами, соединенными соответствующими стрелками вниз, является диаграммой Браттели алгебры AF. Диаграмма Браттели CAR алгебра дается справа. Две стрелки между узлами означают, что каждая соединяющая карта является вложением кратности 2.
- (Диаграмма Браттели алгебры CAR)
Если алгебра AF А = (∪пАп)−, то идеальный J в А принимает вид ∪п (J ∩ Ап)−. Особенно, J является алгеброй AF. Учитывая диаграмму Браттели А и некоторое подмножество S узлов, поддиаграмма, созданная S дает индуктивную систему, которая определяет идеал А. Фактически, каждый идеал возникает таким образом.
Благодаря наличию матричных единиц в индуктивной последовательности AF-алгебры имеют следующую локальную характеризацию: C * -алгебра А является AF тогда и только тогда, когда А отделимо и любое конечное подмножество А «почти содержится» в некоторой конечномерной С * -подалгебре.
Проекции в ∪пАп фактически образуют приблизительная единица из А.
Ясно, что расширение конечномерной C * -алгебры другой конечномерной C * -алгеброй снова конечномерно. В более общем смысле, расширение AF-алгебры другой AF-алгеброй снова является AF.[1]
Классификация
K0
В K-теоретический группа K0 является инвариантом C * -алгебр. Он берет свое начало в топологическая K-теория и служит диапазоном своеобразной «размерной функции». Для алгебры AF А, K0(А) можно определить следующим образом. Mп(А) - С * -алгебра п × п матрицы, элементы которых являются элементами А. Mп(А) можно вложить в Mп + 1(А) канонически, в «левый верхний угол». Рассмотрим алгебраический прямой предел
Обозначим прогнозы (самосопряженные идемпотенты) в этой алгебре п(А). Два элемента п и q как говорят Эквивалент Мюррея-фон Неймана, обозначаемый п ~ q, если п = vv * и q = v * v для некоторых частичная изометрия v в M∞(А). Ясно, что ~ - отношение эквивалентности. Определите бинарную операцию + на множестве эквивалентностей п(А) / ~ пользователем
где ⊕ - ортогональная прямая сумма.[требуется разъяснение ] Это делает п(А) / ~ а полугруппа это имеет аннулирование собственности. Обозначим эту полугруппу через K0(А)+. Выполнение Группа Гротендик конструкция дает абелеву группу, которая K0(А).
K0(А) несет в себе естественную структуру порядка: мы говорим [п] ≤ [q] если п является эквивалентом Мюррея-фон Неймана подпроекции q. Это делает K0(А) упорядоченная группа чей положительный конус K0(А)+.
Например, для конечномерной C * -алгебры
надо
Две важные особенности отображения А ↦ K0(А) находятся:
- K0 является (ковариантным) функтор. А * -гомоморфизм α : А → B между AF алгебрами индуцирует групповой гомоморфизм α* : K0(А) → K0(B). В частности, когда А и B оба конечномерны, α* можно отождествить с матрицей частичных кратностей α.
- K0 уважает прямые ограничения. Если А = ∪пαп(Ап)−, тогда K0(А) - прямой предел ∪пαп*(K0(Ап)).
Группа измерений
поскольку M∞(M∞(А)) изоморфна M∞(А), K0 может различать AF-алгебры только с точностью до стабильный изоморфизм. Например, M2 и M4 не изоморфны, но стабильно изоморфны; K0(M2) = K0(M4) = Z.
Для обнаружения классов изоморфизма необходим более тонкий инвариант. Для алгебры AF А, мы определяем масштаб из K0(А), обозначаемый Γ (А), как подмножество, элементы которого представлены проекциями в А:
Когда А унитарен с единицей 1А, то K0 element [1А] - максимальный элемент в Γ (А) и на самом деле,
Тройной (K0, K0+, Γ (А)) называется группа измерений из А.Если А = Ms, его группа размерностей (Z, Z+, {1, 2,..., s}).
Групповой гомоморфизм между группами размерностей называется сжимающий если он сохраняет накипь. Двумерная группа называется изоморфной, если между ними существует сжимающий групповой изоморфизм.
Группа измерений сохраняет основные свойства K0:
- А * -гомоморфизм α : А → B между AF алгебрами на самом деле индуцирует сжимающий групповой гомоморфизм α* по группам измерений. Когда А и B оба конечномерны, соответствующие каждой матрице частичных кратностей ψсуществует единственный с точностью до унитарной эквивалентности * -гомоморфизм α : А → B такой, что α* = ψ.
- Если А = ∪пαп(Ап)−, то группа измерений А прямой предел Ап.
Теорема Эллиотта
Теорема Эллиотта говорит, что группа размерностей является полным инвариантом AF-алгебр: две AF-алгебры А и B изоморфны тогда и только тогда, когда их группы размерностей изоморфны.
Прежде чем можно будет набросать доказательство теоремы Эллиотта, необходимы два предварительных факта. Первый суммирует приведенное выше обсуждение конечномерных C * -алгебр.
Лемма Для двух конечномерных C * -алгебр А и B, и сжимающий гомоморфизм ψ: K0(А) → K0(B) существует * -гомоморфизм φ: А → B такой, что φ* = ψ, и φ единственно с точностью до унитарной эквивалентности.
Лемму можно распространить на случай, когда B это AF. Карта ψ на уровне K0 может быть «перемещен назад» на уровне алгебр на некоторый конечный этап индуктивной системы.
Лемма Позволять А быть конечномерным и B AF, B = (∪пBп)−. Позволять βм - канонический гомоморфизм Bм в B. Тогда для любого сжимающего гомоморфизма ψ: K0(А) → K0(B) существует * -гомоморфизм φ: А → Bм такой, что βм * φ* = ψ, и φ единственно с точностью до унитарной эквивалентности в B.
Доказательство леммы основано на простом наблюдении, что K0(А) конечно порождена и, поскольку K0 уважает прямые ограничения, K0(B) = ∪п βп * K0 (Bп).
Теорема (Эллиотт) Две алгебры AF А и B изоморфны тогда и только тогда, когда их группы размерностей (K0(А), K0+(А), Γ (А)) и (K0(B), K0+(B), Γ (B)) изоморфны.
Суть доказательства стала известна как Сплетенный аргумент Эллиотта. Учитывая изоморфизм между группами размерностей, строят диаграмму коммутирующих треугольников между прямыми системами А и B применяя вторую лемму.
Сделаем набросок доказательства нетривиальной части теоремы, соответствующей последовательности коммутативных диаграмм справа.
Пусть Φ: (K0(А), K0+(А), Γ (А)) → (K0(B), K0+(B), Γ (B)) - изоморфизм группы размерностей.
- Рассмотрим композицию отображений Φ α1* : K0(А1) → K0(B). По предыдущей лемме существует B1 и * -гомоморфизм φ1: А1 → B1 такая, что коммутирует первая диаграмма справа.
- Тот же аргумент применим к β1* Φ−1 показывает, что вторая диаграмма коммутирует для некоторых А2.
- Сравнение диаграмм 1 и 2 дает диаграмму 3.
- Используя свойство прямого предела и перемещения А2 далее вниз, если необходимо, получим диаграмму 4 - коммутативный треугольник на уровне K0.
- Для конечномерных алгебр два * -гомоморфизма индуцируют одно и то же отображение на K0 тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны. Итак, составив ψ1 с унитарным сопряжением, если необходимо, мы получаем коммутативный треугольник на уровне алгебр.
- По индукции у нас есть диаграмма коммутирующих треугольников, указанная на последней диаграмме. Карта φ: А → B - прямой предел последовательности {φп}. Позволять ψ: B → А - прямой предел последовательности {ψп}. Ясно, что φ и ψ взаимно обратные. Следовательно, А и B изоморфны.
Кроме того, на уровне K0, соседняя диаграмма коммутирует для каждого k. В силу единственности прямого предела отображений φ* = Φ.
Теорема Эффроса-Гендельмана-Шена
Группа размерностей алгебры AF - это Группа Рисса. Теорема Эффроса-Гендельмана-Шена утверждает, что верно обратное. Каждая группа Рисса с заданным масштабом возникает как группа размерностей некоторой алгебры AF. Это определяет диапазон классифицирующего функтора K0 для AF-алгебр и завершает классификацию.
Группы Рисса
Группа г с частичным порядком называется упорядоченная группа. Набор г+ элементов ≥ 0 называется положительный конус из г. Один говорит, что г без перфорации, если k·г ∈ г+ подразумевает г ∈ г+.
Следующее свойство называется Свойство разложения Рисса: если Икс, yя ≥ 0 и Икс ≤ ∑ yя, то существует Икся ≥ 0 такой, что Икс = ∑ Икся, и Икся ≤ yя для каждого я.
А Группа Рисса (г, г+) - это упорядоченная группа без перфорации, обладающая свойством разложения Рисса.
Понятно, что если А конечномерна, (K0, K0+) - группа Рисса, где Zk задан порядок входа. Два свойства групп Рисса сохраняются за счет прямых ограничений, если предполагается, что упорядоченная структура в прямом пределе происходит от таковых в индуктивной системе. Так (K0, K0+) является группой Рисса для AF алгебры А.
Ключевым шагом на пути к теореме Эффроса-Гендельмана-Шена является тот факт, что каждая группа Рисса является прямым пределом Zk 's, каждый со структурой канонического порядка. Это зависит от следующей технической леммы, которую иногда называют Критерий Шена в литературе.
Лемма Позволять (г, г+) - группа Рисса, ϕ: (Zk, Zk+) → (г, г+) - положительный гомоморфизм. Тогда существуют карты σ и ψ, как показано на соседней диаграмме, так что ker (σ) = ker (ϕ).
Следствие Каждая группа Рисса (г, г+) можно выразить как прямой предел
где все связывающие гомоморфизмы в направленной системе в правой части положительны.
Теорема
Теорема Если (г, г+) - счетная группа Рисса с масштабом Γ (г), то существует AF-алгебра А такой, что (K0, K0+, Γ (А)) = (г, г+, Γ (г)). В частности, если Γ (г) = [0, тыг] с максимальным элементом тыг, тогда А является единым с [1А] = [тыг].
Рассмотрим сначала частный случай, когда Γ (г) = [0, тыг] с максимальным элементом тыг. Предположим
Переходя при необходимости к подпоследовательности, пусть
где φ1(ты1) = тыг для какого-то элемента ты1. Теперь рассмотрим идеальный порядок г1 Сгенерированно с помощью ты1. Потому что каждый ЧАС1 имеет каноническую структуру порядка, г1 прямая сумма Z (с возможным количеством копий меньше, чем в ЧАС1). Итак, это дает конечномерную алгебру А1 чья группа измерений (г1 г1+, [0, ты1]). Следующий ход ты1 вперед, определив ты2 = φ12(ты1). Очередной раз ты2 определяет конечномерную алгебру А2. Соответствующий гомоморфизм α12 такой, что α12* = φ12. Индукция дает направленную систему
чья K0 является
со шкалой
Это доказывает частный случай.
Аналогичный аргумент применим в целом. Обратите внимание, что масштаб по определению направленный набор. Если Γ (г) = {vk}, можно выбрать тыk ∈ Γ (г) такие, что тыk ≥ v1 ... vk. Те же аргументы, что и выше, доказывают теорему.
Примеры
По определению, равномерно гиперконечные алгебры AF и единичные. Их размерные группы являются подгруппами Q. Например, для матриц 2 × 2 M2, K0(M2) - группа рациональных чисел вида а/ 2 для а в Z. Масштаб Γ (M2) = {0, ½, 1}. Для CAR алгебра А, K0(А) - группа диадические рациональные числа со шкалой K0(А) ∩ [0, 1], где 1 = [1А]. Все такие группы просто, в некотором смысле подходящим для упорядоченных групп. Таким образом, UHF-алгебры являются простыми C * -алгебрами. В общем случае группы, не плотные в Q группы измерений Mk для некоторых k.
Коммутативные C * -алгебры, характеризуемые Гельфанд, являются AF именно тогда, когда спектр является полностью отключен.[2] Непрерывные функции C(Икс) на Кантор набор Икс один из таких примеров.
Программа классификации Эллиотта
Эллиотом было предложено, что другие классы C * -алгебр могут быть классифицированы с помощью K-теоретических инвариантов. Для C * -алгебры А, то Инвариант Эллиотта определяется как
где Т+(А) - следовые положительные линейные функционалы в слабой топологии, а ρА это естественное соединение между Т+(А) и K0(А).
Оригинал догадка Эллиотт заявил, что инвариант Эллиотта классифицирует простые унитальные сепарабельные ядерные C * -алгебры.
В литературе можно найти несколько таких гипотез с соответствующими модифицированными / уточненными инвариантами Эллиотта.
Алгебры фон Неймана
В связанном контексте приблизительно конечномерный, или гиперконечный, алгебра фон Неймана является алгеброй с сепарабельным предуалом и содержит слабо плотную AF C * -алгебру. Мюррей и фон Нейман показали, что с точностью до изоморфизма существует единственный гиперконечный тип II1 фактор. Конн получил аналогичный результат для II∞ фактор. Полномочия обнаружено семейство неизоморфных гиперконечных факторов типа III с мощностью континуума. Сегодня у нас есть полная классификация гиперконечных факторов.
Заметки
использованная литература
- Браттели, Ола. (1972), Индуктивные пределы конечномерных C * -алгебр, Пер. Амер. Математика. Soc. 171, 195-234.
- Дэвидсон, К. (1996), C * -алгебры на примере, Монографии полевого института 6, Американское математическое общество.
- Эффрос, Э.Г., Хендельман, Д.Э., и Шен С.Л. (1980), Группы размерностей и их аффинные представления, Амер. J. Math. 102, 385-402.
- Эллиотт, Г.А. (1976), О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр, J. Алгебра 38, 29-44.
- Эллиотт, Г.А. и Томс, А. (2008), Свойства регулярности в программе классификации сепарабельных аменабельных C-алгебр, Бык. Амер. Математика. Soc. 45, 229-245.
- Филмор, П.А. (1996), Руководство пользователя операторских алгебр, Wiley-Interscience.
- Рёрдам, М. (2002), Классификация ядерных C * -алгебр, Энциклопедия математических наук 126, Springer-Verlag.
внешние ссылки
- «AF-алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]