Приближенно конечномерная C * -алгебра - Approximately finite-dimensional C*-algebra

В математика, приближенно конечномерная (AF) C * -алгебра это C * -алгебра это индуктивный предел из последовательность из конечномерный C * -алгебры. Приближенная конечномерность была впервые определена и комбинаторно описана Ола Браттели. Позже, Джордж А. Эллиотт дал полную классификацию алгебр AF с помощью K0 функтор, диапазон которого состоит из упорядоченные абелевы группы с достаточно красивой структурой заказов.

Классификационная теорема для AF-алгебр служит прототипом результатов классификации для более крупных классов отделяемый просто ядерный стабильно конечные C * -алгебры. Его доказательство делится на две части. Инвариант здесь K0 с его естественной упорядоченной структурой; это функтор. Во-первых, доказывается существование: гомоморфизм между инвариантами должен подниматься до * -гомоморфизма алгебр. Во-вторых, один показывает уникальность: подъем должен быть уникальным с точностью до приблизительной унитарной эквивалентности. Тогда классификация следует из того, что известно как переплетающийся аргумент. Для унитальных AF-алгебр и существование, и единственность следуют из того факта, что полугруппа проекторов Мюррея-фон Неймана в AF-алгебре сокращается.

Аналог простых AF C * -алгебр в алгебра фон Неймана мира являются сверхконечными факторами, которые были классифицированы Конн и Haagerup.

В контексте некоммутативная геометрия и топология, AF C * -алгебры являются некоммутативными обобщениями C0(Икс), где Икс это полностью отключен метризуемый Космос.

Определение и основные свойства

Конечномерные C * -алгебры

Произвольная конечномерная C * -алгебра А принимает следующий вид, с точностью до изоморфизма:

где Mя обозначает полную матричную алгебру я × я матрицы.

С точностью до унитарной эквивалентности унитальный * -гомоморфизм Φ: MяMj обязательно имеет форму

где р·я = j. Число р называется кратностью Φ. Вообще говоря, унитальный гомоморфизм конечномерных C * -алгебр

задается с точностью до унитарной эквивалентности т × s матрица частичные кратности (рл к) удовлетворительно, для всех л

В неунитарном случае равенство заменяется на ≤. Графически Φ эквивалентно (рл к), может быть представлена ​​его Диаграмма Браттели. Диаграмма Браттели - это ориентированный граф с узлами, соответствующими каждому пk и мл и количество стрелок из пk к мл частичная кратность рlk.

Рассмотрим категория объекты которой являются классами изоморфизмов конечномерных C * -алгебр, а морфизмы - * -гомоморфизмами по модулю унитарной эквивалентности. Согласно приведенному выше обсуждению, объекты можно рассматривать как векторы с записями в N а морфизмы - это матрицы частичных кратностей.

AF алгебры

C * -алгебра - это AF если это прямой предел последовательности конечномерных C * -алгебр:

где каждый Ая является конечномерной C * -алгеброй, а связующие отображения αя являются * -гомоморфизмами. Предположим, что каждый αя является единым. Индуктивная система, задающая алгебру AF, не единственна. Всегда можно перейти к подпоследовательности. Подавляя соединительные карты, А также можно записать как

В Диаграмма Браттели из А формируется диаграммами Браттели {αя} очевидным образом. Например, Треугольник Паскаля с узлами, соединенными соответствующими стрелками вниз, является диаграммой Браттели алгебры AF. Диаграмма Браттели CAR алгебра дается справа. Две стрелки между узлами означают, что каждая соединяющая карта является вложением кратности 2.

(Диаграмма Браттели алгебры CAR)

Если алгебра AF А = (∪пАп), то идеальный J в А принимает вид ∪п (JАп). Особенно, J является алгеброй AF. Учитывая диаграмму Браттели А и некоторое подмножество S узлов, поддиаграмма, созданная S дает индуктивную систему, которая определяет идеал А. Фактически, каждый идеал возникает таким образом.

Благодаря наличию матричных единиц в индуктивной последовательности AF-алгебры имеют следующую локальную характеризацию: C * -алгебра А является AF тогда и только тогда, когда А отделимо и любое конечное подмножество А «почти содержится» в некоторой конечномерной С * -подалгебре.

Проекции в ∪пАп фактически образуют приблизительная единица из А.

Ясно, что расширение конечномерной C * -алгебры другой конечномерной C * -алгеброй снова конечномерно. В более общем смысле, расширение AF-алгебры другой AF-алгеброй снова является AF.[1]

Классификация

K0

В K-теоретический группа K0 является инвариантом C * -алгебр. Он берет свое начало в топологическая K-теория и служит диапазоном своеобразной «размерной функции». Для алгебры AF А, K0(А) можно определить следующим образом. Mп(А) - С * -алгебра п × п матрицы, элементы которых являются элементами А. Mп(А) можно вложить в Mп + 1(А) канонически, в «левый верхний угол». Рассмотрим алгебраический прямой предел

Обозначим прогнозы (самосопряженные идемпотенты) в этой алгебре п(А). Два элемента п и q как говорят Эквивалент Мюррея-фон Неймана, обозначаемый п ~ q, если п = vv * и q = v * v для некоторых частичная изометрия v в M(А). Ясно, что ~ - отношение эквивалентности. Определите бинарную операцию + на множестве эквивалентностей п(А) / ~ пользователем

где ⊕ - ортогональная прямая сумма.[требуется разъяснение ] Это делает п(А) / ~ а полугруппа это имеет аннулирование собственности. Обозначим эту полугруппу через K0(А)+. Выполнение Группа Гротендик конструкция дает абелеву группу, которая K0(А).

K0(А) несет в себе естественную структуру порядка: мы говорим [п] ≤ [q] если п является эквивалентом Мюррея-фон Неймана подпроекции q. Это делает K0(А) упорядоченная группа чей положительный конус K0(А)+.

Например, для конечномерной C * -алгебры

надо

Две важные особенности отображения АK0(А) находятся:

  1. K0 является (ковариантным) функтор. А * -гомоморфизм α : АB между AF алгебрами индуцирует групповой гомоморфизм α* : K0(А) → K0(B). В частности, когда А и B оба конечномерны, α* можно отождествить с матрицей частичных кратностей α.
  2. K0 уважает прямые ограничения. Если А = ∪пαп(Ап), тогда K0(А) - прямой предел ∪пαп*(K0(Ап)).

Группа измерений

поскольку M(M(А)) изоморфна M(А), K0 может различать AF-алгебры только с точностью до стабильный изоморфизм. Например, M2 и M4 не изоморфны, но стабильно изоморфны; K0(M2) = K0(M4) = Z.

Для обнаружения классов изоморфизма необходим более тонкий инвариант. Для алгебры AF А, мы определяем масштаб из K0(А), обозначаемый Γ (А), как подмножество, элементы которого представлены проекциями в А:

Когда А унитарен с единицей 1А, то K0 element [1А] - максимальный элемент в Γ (А) и на самом деле,

Тройной (K0, K0+, Γ (А)) называется группа измерений из А.Если А = Ms, его группа размерностей (Z, Z+, {1, 2,..., s}).

Групповой гомоморфизм между группами размерностей называется сжимающий если он сохраняет накипь. Двумерная группа называется изоморфной, если между ними существует сжимающий групповой изоморфизм.

Группа измерений сохраняет основные свойства K0:

  1. А * -гомоморфизм α : АB между AF алгебрами на самом деле индуцирует сжимающий групповой гомоморфизм α* по группам измерений. Когда А и B оба конечномерны, соответствующие каждой матрице частичных кратностей ψсуществует единственный с точностью до унитарной эквивалентности * -гомоморфизм α : АB такой, что α* = ψ.
  2. Если А = ∪пαп(Ап), то группа измерений А прямой предел Ап.

Теорема Эллиотта

Коммутативные диаграммы для теоремы Эллиотта.

Теорема Эллиотта говорит, что группа размерностей является полным инвариантом AF-алгебр: две AF-алгебры А и B изоморфны тогда и только тогда, когда их группы размерностей изоморфны.

Прежде чем можно будет набросать доказательство теоремы Эллиотта, необходимы два предварительных факта. Первый суммирует приведенное выше обсуждение конечномерных C * -алгебр.

Лемма Для двух конечномерных C * -алгебр А и B, и сжимающий гомоморфизм ψ: K0(А) → K0(B) существует * -гомоморфизм φ: АB такой, что φ* = ψ, и φ единственно с точностью до унитарной эквивалентности.

Лемму можно распространить на случай, когда B это AF. Карта ψ на уровне K0 может быть «перемещен назад» на уровне алгебр на некоторый конечный этап индуктивной системы.

Лемма Позволять А быть конечномерным и B AF, B = (∪пBп). Позволять βм - канонический гомоморфизм Bм в B. Тогда для любого сжимающего гомоморфизма ψ: K0(А) → K0(B) существует * -гомоморфизм φ: АBм такой, что βм * φ* = ψ, и φ единственно с точностью до унитарной эквивалентности в B.

Доказательство леммы основано на простом наблюдении, что K0(А) конечно порождена и, поскольку K0 уважает прямые ограничения, K0(B) = ∪п βп * K0 (Bп).

Теорема (Эллиотт) Две алгебры AF А и B изоморфны тогда и только тогда, когда их группы размерностей (K0(А), K0+(А), Γ (А)) и (K0(B), K0+(B), Γ (B)) изоморфны.

Суть доказательства стала известна как Сплетенный аргумент Эллиотта. Учитывая изоморфизм между группами размерностей, строят диаграмму коммутирующих треугольников между прямыми системами А и B применяя вторую лемму.

Сделаем набросок доказательства нетривиальной части теоремы, соответствующей последовательности коммутативных диаграмм справа.

Пусть Φ: (K0(А), K0+(А), Γ (А)) → (K0(B), K0+(B), Γ (B)) - изоморфизм группы размерностей.

  1. Рассмотрим композицию отображений Φ α1* : K0(А1) → K0(B). По предыдущей лемме существует B1 и * -гомоморфизм φ1: А1B1 такая, что коммутирует первая диаграмма справа.
  2. Тот же аргумент применим к β1* Φ−1 показывает, что вторая диаграмма коммутирует для некоторых А2.
  3. Сравнение диаграмм 1 и 2 дает диаграмму 3.
  4. Используя свойство прямого предела и перемещения А2 далее вниз, если необходимо, получим диаграмму 4 - коммутативный треугольник на уровне K0.
  5. Для конечномерных алгебр два * -гомоморфизма индуцируют одно и то же отображение на K0 тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны. Итак, составив ψ1 с унитарным сопряжением, если необходимо, мы получаем коммутативный треугольник на уровне алгебр.
  6. По индукции у нас есть диаграмма коммутирующих треугольников, указанная на последней диаграмме. Карта φ: АB - прямой предел последовательности {φп}. Позволять ψ: BА - прямой предел последовательности {ψп}. Ясно, что φ и ψ взаимно обратные. Следовательно, А и B изоморфны.
Теорема Эллиотта 2.png

Кроме того, на уровне K0, соседняя диаграмма коммутирует для каждого k. В силу единственности прямого предела отображений φ* = Φ.

Теорема Эффроса-Гендельмана-Шена

Группа размерностей алгебры AF - это Группа Рисса. Теорема Эффроса-Гендельмана-Шена утверждает, что верно обратное. Каждая группа Рисса с заданным масштабом возникает как группа размерностей некоторой алгебры AF. Это определяет диапазон классифицирующего функтора K0 для AF-алгебр и завершает классификацию.

Группы Рисса

Группа г с частичным порядком называется упорядоченная группа. Набор г+ элементов ≥ 0 называется положительный конус из г. Один говорит, что г без перфорации, если k·гг+ подразумевает гг+.

Следующее свойство называется Свойство разложения Рисса: если Икс, yя ≥ 0 и Икс ≤ ∑ yя, то существует Икся ≥ 0 такой, что Икс = ∑ Икся, и Иксяyя для каждого я.

А Группа Рисса (г, г+) - это упорядоченная группа без перфорации, обладающая свойством разложения Рисса.

Понятно, что если А конечномерна, (K0, K0+) - группа Рисса, где Zk задан порядок входа. Два свойства групп Рисса сохраняются за счет прямых ограничений, если предполагается, что упорядоченная структура в прямом пределе происходит от таковых в индуктивной системе. Так (K0, K0+) является группой Рисса для AF алгебры А.

Ключевым шагом на пути к теореме Эффроса-Гендельмана-Шена является тот факт, что каждая группа Рисса является прямым пределом Zk 's, каждый со структурой канонического порядка. Это зависит от следующей технической леммы, которую иногда называют Критерий Шена в литературе.

Критерий Шена.

Лемма Позволять (г, г+) - группа Рисса, ϕ: (Zk, Zk+) → (г, г+) - положительный гомоморфизм. Тогда существуют карты σ и ψ, как показано на соседней диаграмме, так что ker (σ) = ker (ϕ).

Следствие Каждая группа Рисса (г, г+) можно выразить как прямой предел

где все связывающие гомоморфизмы в направленной системе в правой части положительны.

Теорема

Теорема Если (г, г+) - счетная группа Рисса с масштабом Γ (г), то существует AF-алгебра А такой, что (K0, K0+, Γ (А)) = (г, г+, Γ (г)). В частности, если Γ (г) = [0, тыг] с максимальным элементом тыг, тогда А является единым с [1А] = [тыг].

Рассмотрим сначала частный случай, когда Γ (г) = [0, тыг] с максимальным элементом тыг. Предположим

Переходя при необходимости к подпоследовательности, пусть

где φ1(ты1) = тыг для какого-то элемента ты1. Теперь рассмотрим идеальный порядок г1 Сгенерированно с помощью ты1. Потому что каждый ЧАС1 имеет каноническую структуру порядка, г1 прямая сумма Z (с возможным количеством копий меньше, чем в ЧАС1). Итак, это дает конечномерную алгебру А1 чья группа измерений (г1 г1+, [0, ты1]). Следующий ход ты1 вперед, определив ты2 = φ12(ты1). Очередной раз ты2 определяет конечномерную алгебру А2. Соответствующий гомоморфизм α12 такой, что α12* = φ12. Индукция дает направленную систему

чья K0 является

со шкалой

Это доказывает частный случай.

Аналогичный аргумент применим в целом. Обратите внимание, что масштаб по определению направленный набор. Если Γ (г) = {vk}, можно выбрать тыk ∈ Γ (г) такие, что тыkv1 ... vk. Те же аргументы, что и выше, доказывают теорему.

Примеры

По определению, равномерно гиперконечные алгебры AF и единичные. Их размерные группы являются подгруппами Q. Например, для матриц 2 × 2 M2, K0(M2) - группа рациональных чисел вида а/ 2 для а в Z. Масштаб Γ (M2) = {0, ½, 1}. Для CAR алгебра А, K0(А) - группа диадические рациональные числа со шкалой K0(А) ∩ [0, 1], где 1 = [1А]. Все такие группы просто, в некотором смысле подходящим для упорядоченных групп. Таким образом, UHF-алгебры являются простыми C * -алгебрами. В общем случае группы, не плотные в Q группы измерений Mk для некоторых k.

Коммутативные C * -алгебры, характеризуемые Гельфанд, являются AF именно тогда, когда спектр является полностью отключен.[2] Непрерывные функции C(Икс) на Кантор набор Икс один из таких примеров.

Программа классификации Эллиотта

Эллиотом было предложено, что другие классы C * -алгебр могут быть классифицированы с помощью K-теоретических инвариантов. Для C * -алгебры А, то Инвариант Эллиотта определяется как

где Т+(А) - следовые положительные линейные функционалы в слабой топологии, а ρА это естественное соединение между Т+(А) и K0(А).

Оригинал догадка Эллиотт заявил, что инвариант Эллиотта классифицирует простые унитальные сепарабельные ядерные C * -алгебры.

В литературе можно найти несколько таких гипотез с соответствующими модифицированными / уточненными инвариантами Эллиотта.

Алгебры фон Неймана

В связанном контексте приблизительно конечномерный, или гиперконечный, алгебра фон Неймана является алгеброй с сепарабельным предуалом и содержит слабо плотную AF C * -алгебру. Мюррей и фон Нейман показали, что с точностью до изоморфизма существует единственный гиперконечный тип II1 фактор. Конн получил аналогичный результат для II фактор. Полномочия обнаружено семейство неизоморфных гиперконечных факторов типа III с мощностью континуума. Сегодня у нас есть полная классификация гиперконечных факторов.

Заметки

  1. ^ Лоуренс Г. Браун. Расширения алгебр AF: проблема проекционного подъема. Операторные алгебры и приложения, Труды симпозиумов по чистой математике, т. 38, часть 1, стр. 175-176, American Mathematical Soc., 1982
  2. ^ Дэвидсон 1996, стр. 77.

использованная литература

внешние ссылки

  • «AF-алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]