Модуль Demazure - Википедия - Demazure module

В математике Модуль Demazure, представлен Демазюр  (1974a, 1974b ), это подмодуль конечномерного представления, порожденного экстремальным масса пространство под действием Подалгебра Бореля. В Формула демазура персонажа, представлен Демазюр  (1974b, теорема 2), дает характеры модулей Демазюра и является обобщением Формула характера Вейля.Размерность модуля Демазюра - это многочлен от старшего веса, называемый Полином Демазюра.

Модули Demazure

Предположим, что грамм является комплексной полупростой алгеброй Ли с Подалгебра Бореля б содержащий Подалгебра Картана час. Неприводимое конечномерное представление V из грамм разбивается как сумма собственных подпространств час, а пространство наивысшего веса одномерно и является собственным подпространством б. В Группа Вейля W действует на вес V, а конъюгаты шλ вектора старшего веса λ при этом действии являются экстремальными весами, все весовые пространства которых одномерны.

Модуль Demazure - это б-подмодуль V порожденная весовым пространством экстремального вектора шλ, поэтому подмодули Демазура V параметризованы группой Вейля W.

Есть два крайних случая: если ш тривиален, модуль Демазюра одномерен, и если ш - элемент максимальной длины W то модуль Демазюра - это все неприводимое представление V.

Модули Demazure могут быть определены аналогичным образом для представлений наивысшего веса Алгебры Каца – Муди, за исключением того, что теперь имеется 2 случая, поскольку можно рассматривать подмодули, порожденные либо борелевской подалгеброй б или его противоположная подалгебра. В конечномерном их заменяет самый длинный элемент группы Вейля, но это уже не так в бесконечных измерениях, поскольку нет самого длинного элемента.

Формула демазура персонажа

История

Формула характера Демазюра была введена (Демазюр 1974b, теорема 2).Виктор Кац указал, что в доказательстве Демазура есть серьезный пробел, так как оно зависит от (Демазюр 1974a, Предложение 11, раздел 2), что неверно; видеть (Джозеф 1985, раздел 4) для контрпримера Каца. Андерсен (1985) дал доказательство формулы характера Демазура, используя работу по геометрии Разновидности Шуберта к Раманан и Раманатан (1985) и Мехта и Раманатан (1985). Джозеф (1985) дал доказательство для достаточно больших доминантных модулей старшего веса, используя методы алгебры Ли. Кашивара (1993) доказал уточненную версию формулы характера Демазура, которая Литтельманн (1995) предположил (и доказал во многих случаях).

Заявление

Формула характера Демазура:

${ displaystyle { text {Ch}} (F (w lambda)) = Delta _ {1} Delta _ {2} cdots Delta _ {n} e ^ { lambda}}$

Здесь:

• ш является элементом группы Вейля с приведенным разложением ш = s₁...s_п как продукт отражений простых корней.
• λ - младший вес, а е^λ соответствующий элемент группового кольца весовой решетки.
• Ch (F(шλ)) - характер модуля Демазюра F(шλ).
• п - весовая решетка, а Z[п] - его групповое кольцо.
• ${ displaystyle rho}$ представляет собой сумму основных весов, а действие точки определяется формулой ${ Displaystyle вес cdot и = вес (и + rho) - rho}$.
• Δ_α для α корень - это эндоморфизм Z-модуль Z[п] определяется

${ displaystyle Delta _ { alpha} (u) = { frac {u-s _ { alpha} cdot u} {1-e ^ {- alpha}}}}$

и Δ_j есть Δ_α для α корень s_j

Рекомендации

• Андерсен, Х. Х. (1985), "Многообразия Шуберта и формула характера Демазюра", Inventiones Mathematicae, 79 (3): 611–618, Дои:10.1007 / BF01388527, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0782239
• Демазюр, Мишель (1974a), "Дезингуляризация разновидностей Schubert généralisées", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сборник статей, посвященных Анри Картан по случаю его 70-летия, I, 7 (Série 4): 53–88, Дои:10.24033 / asens.1261, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0354697
• Демазюр, Мишель (1974b), «Новая формула персонажей», Bulletin des Sciences Mathématiques. 2e Série, 98 (3): 163–172, ISSN  0007-4497, МИСТЕР  0430001
• Джозеф, Энтони (1985), «О формуле характера Демазура», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 18 (3): 389–419, Дои:10.24033 / asens.1493, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0826100
• Кашивара, Масаки (1993), «Кристаллическая основа и изысканная формула характера Демазура Литтельмана», Математический журнал герцога, 71 (3): 839–858, Дои:10.1215 / S0012-7094-93-07131-1, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  1240605
• Литтельманн, Питер (1995), "Кристаллические графы и таблицы Юнга", Журнал алгебры, 175 (1): 65–87, Дои:10.1006 / jabr.1995.1175, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  1338967
• Mehta, V. B .; Раманатан, А. (1985), "Расщепление Фробениуса и исчезновение когомологий для многообразий Шуберта", Анналы математики, Вторая серия, 122 (1): 27–40, Дои:10.2307/1971368, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971368, МИСТЕР  0799251
• Ramanan, S .; Раманатан, А. (1985), "Проективная нормальность многообразий флагов и многообразий Шуберта", Inventiones Mathematicae, 79 (2): 217–224, Дои:10.1007 / BF01388970, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0778124