Дифференцируемый стек - Differentiable stack

В дифференциальная геометрия, а дифференцируемый стек это куча над категория из дифференцируемые многообразия (с обычным открытым покрывающая топология ) который допускает атлас. Другими словами, дифференцируемый стек - это стек, который может быть представлен Ложь группоид.

Связь с группоидами Ли

Каждый Ложь группоид Γ порождает дифференцируемый стек, который является категорией Γ-торсоры. Фактически, каждый дифференцируемый стек имеет такую форму. Следовательно, грубо говоря, «дифференцируемый стек является группоидом Ли с точностью до Эквивалентность Морита."^[1]

Дифференциальное пространство

А дифференцируемое пространство является дифференцируемым стеком с тривиальными стабилизаторами. Например, если Группа Ли действует свободно, но не обязательно собственно на многообразии, то факторное по нему, вообще говоря, не многообразие, а дифференцируемое пространство.

С топологией Гротендика

Дифференцируемый стек Икс может быть оснащен Топология Гротендика определенным образом (см. ссылку). Это дает понятие пучок над Икс. Например, связка ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p}}$ дифференциала п-формируется Икс дается, для любого Икс в Икс над многообразием U, позволяя ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} (x)}$ быть пространством п-форма на U. Связка ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {0}}$ называется структурная связка на Икс и обозначается ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ . ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {*}}$ приходит с внешняя производная и таким образом комплекс связок из векторные пространства над Икс: таким образом, у человека есть понятие когомологии де Рама из Икс.

Герберы

Эпиморфизм между дифференцируемыми стеками ${ displaystyle G to X}$ называется герб над Икс если ${ displaystyle G to G times _ {X} G}$ тоже эпиморфизм. Например, если Икс это стек, ${ displaystyle BS ^ {1} times X to X}$ это герб. Теорема Жиро гласит, что ${ displaystyle H ^ {2} (X, S ^ {1})}$ однозначно соответствует множеству гербов над Икс которые локально изоморфны ${ displaystyle BS ^ {1} times X to X}$ и это связано с тривиализацией их группы.