Дифференциальный позет - Differential poset

В математика, а дифференциальное положение это частично заказанный набор (или же посеть для краткости) удовлетворяющие определенным локальным свойствам. (Формальное определение дано ниже.) Это семейство множеств было введено Стэнли (1988) как обобщение Решетка Юнга (позиция целые разделы упорядочены включением), многие из которых комбинаторный Свойства являются общими для всех дифференциальных поз. Помимо решетки Юнга, другим наиболее значимым примером дифференциального ч.у.м. является Решетка Юнга – Фибоначчи.

Определения

Позет п называется дифференциальным ЧУМ, и, в частности, р-дифференциальный (где р является целым положительным числом), если оно удовлетворяет следующим условиям:

п является оцененный и локально конечный с уникальным минимальным элементом;
для каждых двух различных элементов Икс, у из п, количество элементов покрытие обе Икс и у равно количеству элементов, охватываемых обоими Икс иу; и
для каждого элемента Икс из п, количество элементов, покрывающих Икс точно р больше, чем количество элементов, охватываемыхИкс.

Эти основные свойства можно переформулировать по-разному. Например, Стэнли показывает, что количество элементов, покрывающих два различных элемента Икс и у дифференциального ЧУМа всегда либо 0, либо 1, поэтому второе определяющее свойство может быть изменено соответствующим образом.

Определяющие свойства также могут быть переформулированы следующим образом линейная алгебраическая установка: взятие элементов посета п быть формальным основа векторов (бесконечномерного) векторное пространство, позволять D и U быть операторы определено так, что D Икс равна сумме элементов, охватываемых Икс, и U Икс равна сумме элементов, покрывающихИкс. (Операторы D и U называются вниз и оператор вверх, по понятным причинам.) Тогда второе и третье условия можно заменить утверждением, что DU – UD = rI (куда я это тождество).

Эта последняя переформулировка превращает дифференциальное ЧУМ в комбинаторную реализацию Алгебра Вейля, и, в частности, объясняет название дифференциал: операторы "d/dx"и" умножение на Икс"на векторном пространстве многочленов подчиняются тому же коммутационному соотношению, что и U и D/р.

Примеры

Граф Юнга – Фибоначчи, Диаграмма Хассе решетки Юнга – Фибоначчи.

Каноническими примерами дифференциальных множеств являются решетка Юнга. целые разделы упорядоченная по включению, и решетка Юнга – Фибоначчи. В первоначальной работе Стэнли было установлено, что решетка Юнга является единственной 1-дифференциальной распределительная решетка, пока Бирнс (2012) показал, что это единственные 1-дифференциальные решетки.

Существует каноническая конструкция (называемая «отражением») дифференциального ч.у. по заданному конечному ч.у., которое подчиняется всем определяющим аксиомам ниже своего верхнего ранга. (Решетка Юнга – Фибоначчи - это ч.у., которая возникает при применении этой конструкции, начиная с одной точки.) Это можно использовать, чтобы показать, что существует бесконечно много дифференциальных множеств. Стэнли (1988) включает замечание, что «[Дэвид] Вагнер описал очень общий метод построения дифференциальных множеств, который делает маловероятным [их можно классифицировать]». Это уточняется в Льюис (2007), где показано, что существует несчетное количество 1-дифференциальных множеств. С другой стороны, явные примеры дифференциальных множеств редки; Льюис (2007) дает запутанное описание дифференциального ч.у., отличного от решеток Юнга и Юнга – Фибоначчи.

Решетка Юнга-Фибоначчи имеет естественную р-дифференциальный аналог для любого натурального числар. Эти элементы представляют собой решетки и могут быть построены путем изменения конструкции отражения. Кроме того, продукт р-дифференциальный и s-дифференциальный позет всегда (р + s) -дифференциальный поз. Эта конструкция также сохраняет решеточное свойство. Неизвестно ни р > 1 есть ли р-дифференциальные решетки, отличные от тех, которые возникают при произведении решеток Юнга – Фибоначчи и решетки Юнга.

Нерешенная проблема в математике:

Существуют ли какие-либо дифференциальные решетки, не являющиеся произведением решетки Юнга и решеток Юнга – Фибоначчи?

(больше нерешенных задач по математике)

Рост рейтинга

Помимо вопроса о том, существуют ли другие дифференциальные решетки, существует несколько давних открытых проблем, связанных с ростом ранга дифференциальных множеств. Это было предположено в Стэнли (1988) что если п является дифференциальным ЧУМ с $р п$ вершины в ранге п, тогда

{ Displaystyle п (п) leq r_ {п} leq F_ {п},}

куда п(п) - количество целых разбиений п и $F п$ это пth Число Фибоначчи. Другими словами, гипотеза утверждает, что на каждом ранге у каждого дифференциального ч.у.м. есть некоторое количество вершин, лежащих между числами для решетки Юнга и решетки Юнга-Фибоначчи. Оценка сверху доказана в Бирнс (2012). Нижняя оценка остается открытой. Стэнли и Занелло (2012) оказался асимптотический версия нижней границы, показывающая, что

{ displaystyle r_ {n} gg n ^ {a} exp (2 { sqrt {n}})}

для каждого дифференциального ЧУМа и некоторой постоянной а. Для сравнения, статистическая сумма имеет асимптотику

{ displaystyle p (n) sim { frac {1} {4n { sqrt {3}}}} exp left ({ pi { sqrt { frac {2n} {3}}}} верно).}

Все известные оценки ранговых размеров дифференциальных множеств являются быстрорастущими функциями. В оригинальной статье Стэнли это было показано (с использованием собственные значения оператора DU), что размеры рангов слабо растут. Однако прошло 25 лет, прежде чем Миллер (2013) показал, что размер ранга р-дифференциальный посет строго увеличивается (кроме тривиально между рангами 0 и 1, когда р = 1).

Характеристики

А Диаграмма Хассе решетки Юнга

Каждый дифференциальный позет п обладает большим количеством комбинаторных свойств. Некоторые из них включают:

Количество дорожек длиной 2п на диаграмме Хассе п начало и конец минимального элемента $(2 п - 1)!!$ (здесь восклицательные знаки обозначают двойной факториал ). В р-дифференциальный посет, количество таких путей равно $(2 п - 1)!! р п$ .^[1]
Количество дорожек длиной 2п на диаграмме Хассе п начиная с минимального элемента, такого что первый п шаги охватывают отношения от меньшего к большему элементу п в то время как последний п шаги охватывают отношения от большего к меньшему элементу п является п!. В р-дифференциальный посет, номер $п! р п$ .^[2]
Количество восходящих путей длины п на диаграмме Хассе п начиная с минимального элемента равно количеству инволюции в симметричная группа на п буквы. В р-дифференциальный посет, последовательность этих чисел имеет экспоненциальная производящая функция $е rx + Икс 2 /2$ .^[3]

Обобщения

В дифференциальном poset один и тот же набор ребер используется для вычисления операторов вверх и вниз. U и D. Если разрешить разные наборы верхних и нижних ребер (совместно использующих одни и те же наборы вершин и удовлетворяющих одному и тому же отношению), результирующая концепция будет двойственный градуированный граф, первоначально определенная Фомин (1994). Один восстанавливает дифференциальные положения как случай, когда два набора ребер совпадают.

Большой интерес к дифференциальным позам вызван их связью с теория представлений. Элементами решетки Юнга являются целочисленные разбиения, которые кодируют представления симметричные группы, и подключены к кольцо симметричных функций; Окада (1994) определенный алгебры представление которых кодируется вместо этого решеткой Юнга – Фибоначчи, и допускает аналогичные конструкции, такие как версия Фибоначчи симметричных функций. Неизвестно, существуют ли подобные алгебры для каждого дифференциального ч.у.^{[нужна цитата ]} В другом направлении, Лам и Симозоно (2009) определены дуальные градуированные графы, соответствующие любому Алгебра Каца – Муди.

Возможны другие варианты; Стэнли (1990) определены версии, в которых число р в определении меняется от ранга к рангу, в то время как Лам (2008) определил знаковый аналог дифференциальных множеств, в котором отношениям покрытия может быть присвоен «вес» -1.