Дискретное преобразование Хартли - Discrete Hartley transform

А дискретное преобразование Хартли (DHT) это Преобразование Фурье дискретных периодических данных, подобных дискретное преобразование Фурье (DFT) с аналогичными приложениями в обработке сигналов и смежных областях. Его главное отличие от DFT заключается в том, что он преобразует реальные входные данные в реальные выходы без внутреннего участия сложные числа. Подобно тому, как ДПФ является дискретным аналогом непрерывного преобразование Фурье (FT), DHT является дискретным аналогом непрерывного Преобразование Хартли (HT), введенный Ральф В. Л. Хартли в 1942 г.^[1]

Потому что есть быстрые алгоритмы DHT, аналогичные быстрое преобразование Фурье (FFT), DHT был первоначально предложен Рональд Н. Брейсвелл в 1983 г.^[2] как более эффективный вычислительный инструмент в общем случае, когда данные являются чисто реальными. Однако впоследствии утверждалось, что специализированные алгоритмы БПФ для реальных входов или выходов обычно можно найти с немного меньшим количеством операций, чем любой соответствующий алгоритм для DHT.

Определение

Формально дискретное преобразование Хартли представляет собой линейное обратимое функция ЧАС: р^п → р^п (куда р обозначает набор действительные числа ). В N действительные числа Икс₀, ..., Икс_N−1 превращаются в N действительные числа ЧАС₀, ..., ЧАС_N−1 в соответствии с формулой

{ displaystyle H_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} operatorname {cas} left ({ frac {2 pi} {N}} nk right) = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} left [ cos left ({ frac {2 pi} {N}} nk right) + sin left ({ frac {2 pi} {N}} nk right) right] quad quad k = 0, dots, N-1.}

Комбинация ${ Displaystyle соз (г) + грех (г)}$ ${ displaystyle = { sqrt {2}} cos left (z - { frac { pi} {4}} right)}$ иногда обозначается $cas (z)$ , и его не следует путать с $цис (z) = е iz = cos (z) + я грех (z)$ , или же $е - iz = цис (- z)$ которое появляется в определении ДПФ (где я это мнимая единица ).

Как и в случае с ДПФ, общий масштабный коэффициент перед преобразованием и знак синусоидального члена являются условием. Хотя эти соглашения иногда различаются между авторами, они не влияют на основные свойства преобразования.

Характеристики

Преобразование можно интерпретировать как умножение вектора (Икс₀, ...., Икс_N−1) от N-от-N матрица; следовательно, дискретное преобразование Хартли является линейный оператор. Матрица обратимая; обратное преобразование, позволяющее восстановить Икс_п от ЧАС_k, это просто DHT ЧАС_k умноженное на 1 /N. То есть DHT - это собственная инверсия (инволютивный ), с точностью до общего масштабного коэффициента.

DHT можно использовать для вычисления ДПФ и наоборот. Для реальных входов Икс_п, вывод ДПФ Икс_k имеет реальную часть (ЧАС_k + ЧАС_{N − k}) / 2 и мнимой части (ЧАС_{N − k} − ЧАС_k) / 2. И наоборот, DHT эквивалентен вычислению ДПФ Икс_п умноженный на 1 +я, затем взяв реальную часть результата.

Как и в случае с ДПФ, циклический свертка z = Икс∗у двух векторов Икс = (Икс_п) и у = (у_п) для создания вектора z = (z_п), вся длина N, становится простой операцией после DHT. В частности, предположим, что векторы Икс, Y, и Z обозначают DHT Икс, у, и z соответственно. Тогда элементы Z даны:

{ Displaystyle { begin {matrix} Z_ {k} & = & left [X_ {k} left (Y_ {k} + Y_ {Nk} right) + X_ {Nk} left (Y_ {k} -Y_ {Nk} right) right] / 2 Z_ {Nk} & = & left [X_ {Nk} left (Y_ {k} + Y_ {Nk} right) -X_ {k} left (Y_ {k} -Y_ {Nk} right) right] / 2 end {matrix}}}

где мы берем все векторы периодическими по N (Икс_N = Икс₀и так далее). Таким образом, подобно тому, как ДПФ преобразует свертку в поточечное умножение комплексных чисел (пары действительной и мнимой частей), DHT преобразует свертку в простую комбинацию пары реальных частотных составляющих. Затем обратный DHT дает желаемый вектор z. Таким образом, быстрый алгоритм DHT (см. Ниже) дает быстрый алгоритм свертки. (Это немного дороже, чем соответствующая процедура для ДПФ, не считая затрат на приведенные ниже преобразования, потому что вышеупомянутая попарная операция требует 8 действительных арифметических операций по сравнению с 6 операциями комплексного умножения. Это количество не включает деление на 2, которое может быть поглощено, например, в 1 /N нормализация обратной DHT.)

Быстрые алгоритмы

Как и в случае с DFT, прямая оценка определения DHT потребует O (N²) арифметические операции (см. Обозначение Big O ). Однако существуют быстрые алгоритмы, подобные БПФ, которые вычисляют тот же результат только за O (N бревно N) операции. Почти каждый алгоритм БПФ, начиная с Кули – Тьюки к главный фактор Винограду (1985)^[3] к Брууна (1993),^[4] имеет прямой аналог для дискретного преобразования Хартли. (Однако некоторые из более экзотических алгоритмов БПФ, такие как QFT, еще не исследовались в контексте DHT.)

В частности, аналог DHT алгоритма Кули – Тьюки широко известен как быстрое преобразование Хартли (FHT) и впервые был описан Брейсвеллом в 1984 году.^[5] Этот алгоритм БПА, по крайней мере, применительно к степень двойки размеры N, является предметом Соединенных Штатов патент номер 4646256, выданный в 1987 г. Стэндфордский Университет. Стэнфорд поместил этот патент в общественное достояние в 1994 г. (Bracewell, 1995).^[6]

Как упоминалось выше, алгоритмы DHT обычно немного менее эффективны (с точки зрения количества плавающая точка операций), чем соответствующий алгоритм ДПФ (БПФ), специализированный для реальных входов (или выходов). Впервые это утверждали Соренсен и др. (1987)^[7] и Дюамель и Веттерли (1987).^[8] Последние авторы получили, по-видимому, самое низкое опубликованное количество операций для DHT размера степени двойки, используя алгоритм с разделенным основанием (похожий на алгоритм БПФ с разделенным основанием ), который нарушает DHT длины N в DHT длины N/ 2 и два ДПФ с реальным входом (нет DHT) длины N/ 4. Таким образом, они утверждали, что DHT длины, равной степени двойки, может быть вычислено в лучшем случае на 2 сложения больше, чем соответствующее количество арифметических операций для ДПФ с реальным вводом.

На современных компьютерах производительность больше определяется тайник и Конвейер процессора соображений, чем строгий подсчет операций, и небольшая разница в арифметических затратах вряд ли будет значительной. Поскольку алгоритмы БПФ и БПФ с реальным вводом имеют схожие вычислительные структуры, ни один из них не имеет существенного априори преимущество в скорости (Попович [SR ] и Шевич, 1994).^[9] На практике высокооптимизированные библиотеки БПФ с реальным вводом доступны из многих источников (например, от поставщиков ЦП, таких как Intel ), тогда как высокооптимизированные библиотеки DHT встречаются реже.

С другой стороны, избыточные вычисления в БПФ из-за реальных входных данных труднее устранить для больших основной N, несмотря на существование O (N бревно N) алгоритмы сложных данных для таких случаев, потому что избыточность скрыта за сложными перестановками и / или фазовыми поворотами в этих алгоритмах. Напротив, стандартный алгоритм БПФ простого размера, Алгоритм Рейдера, может быть непосредственно применен к DHT реальных данных примерно в два раза меньше вычислений, чем эквивалентное комплексное БПФ (Frigo and Johnson, 2005).^[10] С другой стороны, также возможна адаптация алгоритма Райдера к ДПФ с реальным входом (Chu & Буррус, 1982).^[11]

Многомерное дискретное преобразование Хартли (MD-DHT)

RD-DHT (MD-DHT с размерами "r") определяется как

${ displaystyle X (k_ {1}, k_ {2}, ..., k_ {r}) = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} sum _ {n_ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} dots sum _ {n_ {r} = 0} ^ {N_ {r} -1} x (n_ {1}, n_ {2} ,. .., n_ {r}) { rm {cas}} ({ frac {2 pi n_ {1} k_ {1}} {N_ {1}}} + dots + { frac {2 pi n_ {r} k_ {r}} {N_ {r}}}),}$

с ${ displaystyle k_ {i} = 0,1, ldots, N_ {i} -1}$ и где ${ Displaystyle { rm {cas}} (х) = соз (х) + грех (х).}$

Как и в случае 1-D, как действительное и симметричное преобразование, MD-DHT проще, чем MD-DFT. Во-первых, обратный DHT идентичен прямому преобразованию с добавлением коэффициента масштабирования;

и, во-вторых, поскольку ядро реально, оно позволяет избежать вычислительной сложности сложные числа. Кроме того, DFT можно напрямую получить из DHT с помощью простой аддитивной операции (Bracewell, 1983).^[2]

MD-DHT широко используется в таких областях, как обработка изображений и оптических сигналов. Конкретные приложения включают компьютерное зрение, телевидение высокой четкости и телеконференции, области, которые обрабатывают или анализируют движущиеся изображения (Zeng, 2000).^[12]

Быстрые алгоритмы для MD-DHT

По мере того, как скорость вычислений продолжает расти, более крупные многомерные задачи становятся вычислительно выполнимыми, что требует быстрых многомерных алгоритмов. Следуют три таких алгоритма.

В поисках отделимости для эффективности мы рассматриваем следующее преобразование (Bracewell, 1983):^[2]

${ displaystyle { hat {X}} (k_ {1}, k_ {2}, ..., k_ {r}) = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1 } sum _ {n_ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} dots sum _ {n_ {r} = 0} ^ {N_ {r} -1} x (n_ {1}, n_ {2}, ..., n_ {r}) { rm {cas}} ({ frac {2 pi n_ {1} k_ {1}} {N_ {1}}}) dots { rm {cas}} ({ frac {2 pi n_ {r} k_ {r}} {N_ {r}}}).}$

Это было показано в Bortfeld (1995),^[13] что их можно связать несколькими дополнениями. Например, в 3-D,

${ displaystyle X (k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}) = { frac {1} {2}} [{ hat {X}} (k_ {1}, k_ {2}, -k_ {3}) + { hat {X}} (k_ {1}, - k_ {2}, k_ {3}) + { hat {X}} (- k_ {1}, k_ {2} , k_ {3}) - { hat {X}} (- k_ {1}, - k_ {2}, - k_ {3})].}$

За ${ displaystyle { hat {X}}}$ затем могут быть реализованы алгоритмы строка-столбец. Этот метод обычно используется из-за простоты таких алгоритмов R-C, но они не оптимизированы для общих пространств M-D.

Были разработаны другие быстрые алгоритмы, такие как radix-2, radix-4 и split radix. Например, Буссакта (2000)^[14] разработал трехмерную векторную систему счисления,

${ displaystyle X (k_ {1}, k_ {2}, ..., k_ {r}) = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N-1} sum _ {n_ {2} = 0} ^ {N-1} sum _ {n_ {r} = 0} ^ {N-1} x (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) { rm {cas}} ({ frac {2 pi} {N}} (n_ {1} k_ {1} + n_ {2} k_ {2} + n_ {3} k_ {3}))}$

${ displaystyle = sum _ {n_ {1}: even} sum _ {n_ {2}: even} sum _ {n_ {3}: even} + sum _ {n_ {1}: even} sum _ {n_ {2}: even} sum _ {n_ {3}: odd} + sum _ {n_ {1}: even} sum _ {n_ {2}: odd} sum _ {n_ { 3}: даже}}$

${ displaystyle + sum _ {n_ {1}: even} sum _ {n_ {2}: odd} sum _ {n_ {3}: odd} + sum _ {n_ {1}: odd} sum _ {n_ {2}: even} sum _ {n_ {3}: even} + sum _ {n_ {1}: odd} sum _ {n_ {2}: even} sum _ {n_ { 3}: odd}}$

${ displaystyle + sum _ {n_ {1}: odd} sum _ {n_ {2}: odd} sum _ {n_ {3}: even} + sum _ {n_ {1}: odd} sum _ {n_ {2}: odd} sum _ {n_ {3}: odd}.}$

Он также был представлен в Boussakta (2000).^[14] что этот алгоритм системы счисления 3D-вектора принимает ${ displaystyle ({ frac {7} {4}}) N ^ {3} log _ {2} N}$ умножения и ${ displaystyle ({ frac {31} {8}}) N ^ {3} log _ {2} N}$ дополнения по сравнению с ${ displaystyle 3N ^ {3} log _ {2} N}$ умножения и ${ displaystyle ({ frac {9} {2}}) N ^ {3} log _ {2} N + 3N ^ {2}}$ дополнения по принципу "строка-столбец". Недостатком является то, что реализация этих алгоритмов основанного на системе счисления трудно обобщить для сигналов произвольной размерности.

Теоретико-числовые преобразования также использовались для решения MD-DHT, поскольку они выполняют чрезвычайно быстрые свертки. В Boussakta (1988),^[15] было показано, как разложить преобразование MD-DHT в форму, состоящую из сверток:

Для случая 2-D (случай 3-D также рассматривается в указанной ссылке),

${ Displaystyle Икс (к, л) = сумма _ {п = 0} ^ {N-1} сумма _ {м = 0} ^ {М-1} х (п, м) { rm {cas} } ({ frac {2 pi nk} {N}} + { frac {2 pi ml} {M}}), ;}$ ${ Displaystyle к = 0,1, ldots, N-1}$ , ${ Displaystyle L = 0,1, ldots, M-1}$

можно разложить на 1-D и 2-D круговые свертки следующим образом:

${ Displaystyle X (к, l) = { begin {case} X_ {1} (k, 0) X_ {2} (0, l) X_ {3} (k, l) end { случаи}}}$

куда

${ Displaystyle X_ {1} (к, 0) = сумма _ {n = 0} ^ {N-1} ( sum _ {m = 0} ^ {M-1} x (n, m)) { rm {cas}} ({ frac {2 pi nk} {N}}), ;}$ ${ Displaystyle к = 0,1, ldots, N-1}$

${ Displaystyle X_ {2} (0, l) = sum _ {m = 0} ^ {M-1} ( sum _ {n = 0} ^ {N-1} x (n, m)) { rm {cas}} ({ frac {2 pi ml} {M}}), ;}$ ${ Displaystyle л = 1,2, точки, М-1}$

${ Displaystyle X_ {3} (к, л) = сумма _ {п = 0} ^ {N-1} сумма _ {м = 0} ^ {М-1} х (п, м) { rm {cas}} ({ frac {2 pi nk} {N}} + { frac {2 pi ml} {M}}) ;,}$

${ Displaystyle к = 1,2, ldots, N-1}$

${ displaystyle l = 1,2, ldots, M-1.}$

Развитие ${ displaystyle X_ {3}}$ дальше,

${ displaystyle X_ {3} (k, l) = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x (n, 0) { rm {cas}} ({ frac {2 pi nk}) {N}}) + sum _ {m = 1} ^ {M-1} x (0, m) { rm {cas}} ({ frac {2 pi ml} {M}})}$

${ displaystyle + sum _ {n = 1} ^ {N-1} sum _ {m = 1} ^ {M-1} x (n, m) { rm {cas}} ({ frac { 2 pi nk} {N}} + { frac {2 pi ml} {M}}).}$

На этом этапе мы представляем преобразование числа Ферма (FNT). Т^th Число Ферма дан кем-то ${ displaystyle F_ {t} = 2 ^ {b} +1}$ , с ${ displaystyle b = 2 ^ {t}}$ . Хорошо известные числа Ферма предназначены для ${ displaystyle t = 0,1,2,3,4,5,6}$ ( ${ displaystyle F_ {t}}$ является основным для ${ Displaystyle 0 Leq т Leq 4}$ ), (Буссакта, 1988).^[15] Преобразование числа Ферма дается формулой

${ Displaystyle Икс (к, л) = сумма _ {п = 0} ^ {N-1} сумма _ {м = 0} ^ {M-1} х (п, м) альфа _ {1} ^ {nk} alpha _ {2} ^ {ml} mod F_ {t}}$

с ${ Displaystyle к = 0, ldots, N-1, l = 0, ldots, M-1}$ . ${ displaystyle alpha _ {1}}$ и ${ displaystyle alpha _ {2}}$ корни единства порядка ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle M}$ соответственно ${ displaystyle ( alpha _ {1} ^ {N} = alpha _ {2} ^ {M} = 1 mod F_ {t})}$ .

Возвращаясь к разложению, последний член для ${ Displaystyle X_ {3} (к, л)}$ будем обозначать ${ Displaystyle X_ {4} (к, л)}$ , тогда

${ Displaystyle X_ {4} (k, l) = sum _ {n = 1} ^ {N-1} sum _ {m = 1} ^ {M-1} x (n, m) { rm {cas}} ({ frac {2 pi nk} {N}} + { frac {2 pi ml} {M}}),}$

${ Displaystyle к = 1,2, ldots, N-1}$

${ displaystyle l = 1,2, ldots, M-1.}$

Если ${ displaystyle g_ {1}}$ и ${ displaystyle g_ {2}}$ находятся первобытные корни из ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle M}$ (которые гарантированно существуют, если ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle N}$ находятся основной ) тогда ${ displaystyle g_ {1}}$ и ${ displaystyle g_ {2}}$ карта ${ Displaystyle (п, м)}$ к ${ displaystyle (g_ {1} ^ {n} mod N, g_ {2} ^ {m} mod M).}$ Итак, отображение ${ Displaystyle п, м, к}$ и ${ displaystyle l}$ к ${ displaystyle g_ {1} ^ {- n}, g_ {2} ^ {- m}, g_ {1} ^ {k}}$ и ${ displaystyle g_ {2} ^ {l}}$ , получается следующее,

${ displaystyle X_ {4} (g_ {1} ^ {k}, g_ {2} ^ {l}) = sum _ {n = 0} ^ {N-2} sum _ {m = 0} ^ {M-2} x (g_ {1} ^ {- n}, g_ {2} ^ {- m}) { rm {cas}} ({ frac {2 pi g_ {1} ^ {(- n + k)}} {N}} + { frac {2 pi g_ {2} ^ {(- m + l)}} {M}}),}$

${ Displaystyle к = 0,1, ldots, N-2}$

${ Displaystyle l = 0,1, ldots, M-2}$ .

Который сейчас круговая свертка. С участием ${ Displaystyle Y (к, l) = X_ {4} (g_ {1} ^ {k}, g_ {2} ^ {l})}$ , ${ displaystyle y (n, m) = x (g_ {1} ^ {- n}, g_ {2} ^ {- m})}$ , и ${ displaystyle h (n, m) = { rm {cas}} ({ frac {2 pi g_ {1} ^ {n}} {N}} + { frac {2 pi g_ {2}) ^ {m}} {M}})}$ , надо

${ Displaystyle Y (k, l) = sum _ {n = 0} ^ {N-2} sum _ {m = 0} ^ {M-2} y (n, m) h ( _ {N}, _ {M})}$

${ Displaystyle Y (к, l) = FNT ^ {- 1} {FNT [y (n, m)] otimes FNT [h (n, m)]}$

куда ${ displaystyle otimes}$ обозначает посрочное умножение. Об этом также говорилось в (Boussakta, 1988).^[15] что этот алгоритм уменьшает количество умножений в 8–20 раз по сравнению с другими алгоритмами DHT за счет небольшого увеличения количества операций сдвига и сложения, которые считаются более простыми, чем умножения. Недостатком этого алгоритма является ограничение, заключающееся в том, что каждое измерение преобразования имеет первобытный корень.

дальнейшее чтение

Брейсуэлл, Рональд Н. (1986). Преобразование Хартли (1-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19503969-6.
Буссакта, Саид; Холт, Алан Дж. Дж. (1988). «Быстрое многомерное дискретное преобразование Хартли с использованием преобразования числа Ферма». IEE Proceedings G - Электронные схемы и системы. 135 (6): 235–237. Дои:10.1049 / ip-g-1.1988.0036.
Хонг, Джонатан; Веттерли, Мартин; Дюамель, Пьер (1994). «Бейсфилд трансформируется со свойством свертки» (PDF). Труды IEEE. 82 (3): 400–412. Дои:10.1109/5.272145.
О'Нил, Марк А. (1988). «Быстрее быстрого Фурье». БАЙТ. 13 (4): 293–300.
Olnejniczak, Kraig J .; Хейдт, Джеральд Т. (март 1994). «Сканирование специального раздела по преобразованию Хартли». Труды IEEE. 82: 372–380. (NB. Содержит обширную библиографию.)

[Hartley_1942-1] Хартли, Ральф В. Л. (Март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи». Труды IRE. 30 (3): 144–150. Дои:10.1109 / JRPROC.1942.234333.

[Bracewell_1983-2] а ^б ^c Брейсуэлл, Рональд Н. (1983). «Дискретное преобразование Хартли». Журнал Оптического общества Америки. 73 (12): 1832–1835. Дои:10.1364 / josa.73.001832.

[Sorensen_1985-3] Соренсен, Хенрик В .; Джонс, Дуглас Л.; Буррус, Чарльз Сидни; Хайдеман, Майкл Т. (1985). «О вычислении дискретного преобразования Хартли». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. АССП-33 (4): 1231–1238.

[Bini-Bozzo_1993-4] Бини, Дарио Андреа; Боззо, Энрико (1993). «Быстрое дискретное преобразование с помощью собственных многочленов». Компьютеры и математика (с приложениями). 26 (9): 35–52. Дои:10.1016 / 0898-1221 (93) 90004-ф.

[Bracewell_1984-5] Брейсуэлл, Рональд Н. (1984). «Быстрое преобразование Хартли». Труды IEEE. 72 (8): 1010–1018. Дои:10.1109 / proc.1984.12968.

[Bracewell_1995-6] Брейсуэлл, Рональд Н. (1995). «Вычисления с преобразованием Хартли». Компьютеры в физике. 9 (4): 373–379. Bibcode:1995ComPh ... 9..373B. Дои:10.1063/1.168534.

[Sorensen_1987-7] Соренсен, Хенрик В .; Джонс, Дуглас Л.; Хайдеман, Майкл Т .; Буррус, Чарльз Сидни (1987). «Действительные алгоритмы быстрого преобразования Фурье». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. АССП-35 (6): 849–863.

[Duhamel-Vetterli_1987-8] Дюамель, Пьер; Веттерли, Мартин (1987). «Улучшенные алгоритмы преобразования Фурье и Хартли: приложение к циклической свертке реальных данных». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. АССП-35: 818–824.

[Popović-Šević_1994-9] Поповић [Попович], Миодраг [Миодраг]; Шевич, Драгутин (1994). «Новый взгляд на сравнение быстрых преобразований Хартли и Фурье». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 42 (8): 2178–2182. Bibcode:1994ITSP ... 42.2178P. Дои:10.1109/78.301854.

[Frigo-Johnson_2005-10] Фриго, Маттео; Джонсон, Стивен Г. (2005). «Дизайн и реализация FFTW3» (PDF). Труды IEEE. 93 (2): 216–231. CiteSeerX 10.1.1.66.3097. Дои:10.1109 / jproc.2004.840301.}

[Chu-Burrus_1982-11] Чу, Шуни; Буррус, Чарльз Сидни (1982). "Основной фактор FTT [sic] алгоритм с использованием распределенной арифметики ». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. 30 (2): 217–227. Дои:10.1109 / тассп.1982.1163875.

[Zeng-Bi-Leyman_2000-12] Цзэн, Юнхан; Би, Гоань; Лейман, Абдул Рахим (2000). "Алгоритмы полиномиального преобразования для многомерного дискретного преобразования Хартли". Международный симпозиум IEEE по схемам и системам (V): 517–520.

[Bortfeld-Dinter_1995-13] Бортфельд, Томас; Динтер, Вольфганг (1995). «Вычисление многомерных преобразований Хартли с использованием одномерных преобразований Фурье». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 43 (5): 1306–1310. Bibcode:1995ITSP ... 43.1306B. Дои:10.1109/78.382424.

[Boussakta_2000-14] а ^б Буссакта, Саид; Алшибами, Усама (2000). «Быстрый алгоритм для трехмерного дискретного преобразования Хартли». Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов '00 (4): 2302–2305.

[Boussakta_1988-15] а ^б ^c Буссакта, Саид; Холт, Алан Дж. Дж. (1988). «Быстрое многомерное дискретное преобразование Хартли с использованием преобразования числа Ферма». IEE Proceedings G - Электронные схемы и системы. 135 (6): 235–237. Дои:10.1049 / ip-g-1.1988.0036.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]