Эффективное деление без зависти - Efficient envy-free division

Эффективность и справедливость - две основные цели экономика благосостояния. Учитывая набор ресурсов и набор агентов, цель состоит в том, чтобы разделить ресурсы среди агентов таким образом, чтобы Парето эффективный (PE) и без зависти (EF). Первоначально цель была определена Дэвид Шмейдлер и Менахем Яари.^[1] Позже существование таких распределений было доказано при различных условиях.

Наличие распределения PEEF

Мы предполагаем, что каждый агент имеет отношение предпочтения на множестве всех наборов товаров. Предпочтения бывают полными, переходными и закрытыми. Эквивалентным образом каждое отношение предпочтения может быть представлено непрерывной функцией полезности.^[2]:79

Слабовыпуклые предпочтения

Теорема 1. (Вариан):^[2]:68 Если предпочтения всех агентов выпуклый и сильно монотонный, то существуют распределения PEEF.

Доказательство: Доказательство основывается на существовании конкурентное равновесие с равными доходами. Предположим, что все ресурсы в экономике разделены поровну между агентами. То есть, если общая обеспеченность экономики равна ${ displaystyle E}$, то каждый агент ${ Displaystyle я в 1, точки, п:}$ получает первоначальное пожертвование ${ displaystyle E_ {i} = E / n}$.

Поскольку предпочтения выпуклый, то Модель Эрроу – Дебре означает, что существует конкурентное равновесие. То есть есть ценовой вектор ${ displaystyle P}$ и перегородка ${ displaystyle X}$ такой, что:

• (CE) Все агенты максимизируют свои полезности с учетом своего бюджета. Т.е. если ${ Displaystyle P cdot Y leq P cdot X_ {i}}$ тогда ${ Displaystyle Y prevq _ {я} X_ {я}}$.
• (EI) Все агенты имеют одинаковый доход в равновесных ценах: для всех ${ displaystyle i, j: P cdot X_ {i} = P cdot X_ {j}}$.

Такое распределение всегда EF. Доказательство: по условию (EI) для каждого ${ displaystyle i, j: P cdot X_ {j} leq P cdot X_ {i}}$. Следовательно, по условию (CE) ${ displaystyle X_ {j} prevq _ {i} X_ {i}}$.

Поскольку предпочтения монотонный, любое такое размещение также является РЕ, поскольку из монотонности следует местное нетерпение. Видеть фундаментальные теоремы экономики благосостояния.

Примеры

Все примеры включают экономику с двумя товары, x и y, и два агента, Алиса и Боб. Во всех примерах утилиты слабовыпуклые и непрерывные.

А. Многие распределения PEEF: Общий запас составляет (4,4). Алиса и Боб линейные коммуникации, представляющий товары-заменители:

${ Displaystyle и_ {А} (х, у) = 2х + у}$,

${ Displaystyle и_ {В} (х, у) = х + 2у}$.

Отметим, что утилиты слабо выпуклые и сильно монотонны. Существует множество распределений PEEF. Если Алиса получает не менее 3 единиц x, то ее полезность равна 6, и она не завидует Бобу. Точно так же, если Боб получает хотя бы 3 единицы y, он не завидует Алисе. Итак, выделение [(3,0); (1,4)] - это PEEF с утилитами (6,9). Точно так же распределения [(4,0); (0,4)] и [(4,0.5); (0,3.5)] являются PEEF. С другой стороны, выделение [(0,0); (4,4)] - это PE, а не EF (Алиса завидует Бобу); распределение [(2,2); (2,2)] - это EF, но не PE (утилиты (6,6), но их можно улучшить, например, до (8,8)).

Б. По существу разовое распределение PEEF: Общий запас равен (4,2). Алиса и Боб Леонтьевское коммунальное хозяйство, представляющий дополнительные товары:

${ Displaystyle и_ {А} (х, у) = и_ {В} (х, у) = мин (х, у)}$.

Обратите внимание, что утилиты слабовыпуклые и только слабо монотонны. Тем не менее распределение PEEF существует. Равное распределение [(2,1); (2,1)] - это PEEF с вектором полезности (1,1). EF очевиден (каждое равное распределение - это EF). Что касается PE, обратите внимание, что оба агента теперь хотят только y, поэтому единственный способ увеличить полезность агента - взять некоторое y у другого агента, но это снижает полезность другого агента. Хотя есть и другие распределения PEEF, например [(1.5,1); (2.5,1)], все они имеют один и тот же вектор полезности (1,1), так как невозможно дать обоим агентам больше 1.^[3]

Топологические условия на пространстве эффективных размещений

Распределение PEEF существует даже тогда, когда предпочтения агентов не являются выпуклыми. Существует несколько достаточных условий, которые связаны с формой набора распределений, соответствующих конкретному профилю эффективности полезности. G Даже для вектора полезности u, определите A (u) = множество всех распределений, для которых профиль полезности равен u. Следующие последовательно более общие теоремы были доказаны разными авторами:

Теорема 2. (Вариан):^[2]:69 Предположим, что предпочтения всех агентов строго монотонный. Если для каждого Слабо эффективный по Парето Утилита-профиль u, набор A (u) является одноэлементным (т. е. не существует двух выделений WPE, так что все агенты между ними безразличны), тогда существуют выделения PEEF.

Доказательство использует Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича..

Примечание: Условия теоремы 1 и теоремы 2 независимы - ни одно из них не влечет другого. Тем не мение, строго-выпуклость предпочтений подразумевает оба из них. Очевидно, что из строгой выпуклости следует слабая выпуклость (теорема 1). Чтобы увидеть, что из этого следует условие теоремы 2, предположим, что есть два разных распределения x, y с одним и тем же профилем полезности u. Определите z = x / 2 + y / 2. В силу строгой выпуклости все агенты строго предпочитают z вместо x и y. Следовательно, x и y не могут быть слабо-PE.

Теорема 3. (Свенссон):^[4] Если предпочтения всех агентов строго монотонный, и для каждого PE-профиля полезности u множество A (u) является выпуклым, тогда существуют распределения PEEF.

Доказательство использует Теорема Какутани о неподвижной точке.

Примечание: если предпочтения всех агентов выпуклые (как в теореме 1), то A (u), очевидно, тоже выпукла. Более того, если A (u) одноэлементный (как в теореме 2), то он, очевидно, тоже выпуклый. Следовательно, теорема Свенссона более общая, чем обе теоремы Вариана.

Теорема 4. (Диамантарас):^[5] Если предпочтения всех агентов строго монотонный, и для любого PE-профиля u полезности множество A (u) является сжимаемое пространство (может быть непрерывно сокращен до точки в этом пространстве), тогда существуют распределения PEEF.

Доказательство использует теорему о неподвижной точке Эйленберга и Монтгомери.^[6]

Примечание: Каждое выпуклое множество стягиваемо, поэтому теорема Диамантараса более общая, чем предыдущие три.

Сигма-оптимальность

Свенссон доказал еще одно достаточное условие существования распределения PEEF. Опять же, все предпочтения представлены непрерывными функциями полезности. Более того, все функции полезности непрерывно дифференцируются внутри пространства потребления.

Основная концепция сигма-оптимальность. Предположим, мы создаем для каждого агента k копий с одинаковыми настройками. Позволять Икс быть распределением в исходной экономике. Позволять Хк быть распределением в k-реплицируемой экономике, где все копии одного и того же агента получают тот же пакет, что и исходный агент в X. Икс называется сигма-оптимальный если для каждого k, распределение Хк оптимален по Парето.

Лемма:^[7]:528 Распределение является сигма-оптимальным, если и только если оно конкурентное равновесие.

Теорема 5. (Свенссон):^[7]:531 если все оптимальные по Парето распределения являются сигма-оптимальными, то распределения PEEF существуют.

Повышение маржинальной прибыли

Распределение PEEF может не существовать, даже если все предпочтения являются выпуклыми, если есть производство и технология дает возрастающую предельную прибыль.

Предложение 6. (Вохра):^[8] Тздесь существуют экономики, в которых все предпочтения являются непрерывными, сильно монотонными и выпуклыми, единственный источник невыпуклости в технологии связан с постоянными затратами, и не существует распределения PEEF.

Таким образом, наличие возрастающей отдачи вносит фундаментальный конфликт между эффективностью и справедливостью.

Однако ослабить зависть можно следующим образом. Распределение X определяется как по существу без зависти (EEF) если для каждого агента я, есть допустимое распределение Йи с одинаковым профилем полезности (все агенты безразличны между X и Yi), в котором агент i никому не завидует. Очевидно, что каждое выделение EF является EEF, поскольку мы можем принять Yi как X для всех i.

Теорема 7. (Вохра):^[8] Предположим, что предпочтения всех агентов строго монотонный, и представлен непрерывными функциями полезности. Тогда существуют эффективные по Парето распределения EEF.

Отсутствие распределения PEEF

Невыпуклые предпочтения

Распределение PEEF может не существовать даже без производства, когда предпочтения невыпуклые.

В качестве примера предположим, что общий запас равен (4,2), а Алиса и Боб имеют идентичные вогнутые полезности:

${ displaystyle u_ {A} (x, y) = u_ {B} (x, y) = max (x, y)}$.

Равное распределение [(2,1); (2,1)] - это EF с вектором полезности (2,2). Более того, каждый Распределение EF должно давать обоим агентам одинаковую полезность (поскольку у них одна и та же функция полезности), и эта полезность может быть не более 2. Однако такое распределение не является PE, так как оно определяется распределением по Парето [(4,0); (0,2)], вектор полезности которого равен (4,2).

Несуществование остается, даже если мы ослабим зависть к нет господства - ни один агент не получает от каждого товара больше, чем другой агент.

Предложение 8 (Манике):^[9] Существуют экономики с разделением на 2 хороших и 3 агента со строго монотонными, непрерывными и даже дифференцируемыми предпочтениями, где доминирует каждое эффективное по Парето распределение.

Поиск распределения PEEF

Для двух агентов скорректированная процедура победителя - это простая процедура, которая находит распределение PEEF с двумя дополнительными свойствами: распределение также является справедливым, и два агента разделяют не более одного товара.

Для трех и более агентов с линейной полезностью любые Оптимальное по Нэшу распределение это PEEF. Оптимальное по Нэшу распределение - это распределение, которое максимизирует товар полезностей агентов, или, что то же самое, сумму логарифмов полезностей. Нахождение такого распределения - это выпуклая оптимизация проблема:

${ displaystyle { text {maximize}} sum _ {i = 1} ^ {n} log (u_ {i} (X_ {i})) ~~~ { text {такой, что}} ~~~ (X_ {1}, ldots, X_ {n}) ~~~ { text {это раздел}} ~~~}$.

и, таким образом, его можно найти эффективно. Тот факт, что любое оптимальное по Нэшу распределение является PEEF, верен даже в более общих условиях ярмарка разрезания торта.^[10]

Доказательство: Рассмотрим бесконечно малый кусок пирога, Z. Для каждого агента ябесконечно малый вклад Z к ${ Displaystyle журнал (и_ {я} (Х_ {я}))}$является

${ displaystyle u_ {i} (Z) cdot {d log (u_ {i} (X_ {i})) over d (u_ {i} (X_ {i}))} = {u_ {i} (Z) над u_ {i} (X_ {i})}}$.

Следовательно, оптимальное по Нэшу правило дает каждой такой фигуре Z агенту j для которых это выражение наибольшее:

${ displaystyle forall j in [n]: Z substeq X_ {j} iff forall i in [n]: {u_ {j} (Z) over u_ {j} (X_ {j}) } geq {u_ {i} (Z) over u_ {i} (X_ {i})}}$

Суммируя все бесконечно малые подмножества Икс_j, мы получили:

${ displaystyle forall i, j in [n]: {u_ {j} (X_ {j}) over u_ {j} (X_ {j})} geq {u_ {i} (X_ {j}) ) над u_ {i} (X_ {i})}}$

Это подразумевает определение распределения без зависти:

${ displaystyle forall i, j in [n]: {u_ {i} (X_ {i})} geq {u_ {i} (X_ {j})}}$

Смотрите также

• Теорема Веллера - о наличии отчислений ПЭФ при нарезке торта.
• Другие связанные теоремы автора Хэл Вариан можно найти в.^[11]
• Теоремы о распределении PEEF в странах с производственной экономикой можно найти в.^[12]

Рекомендации