Основные теоремы экономики благосостояния - Википедия - Fundamental theorems of welfare economics

Экономику благосостояния можно связать с концепцией Адама Смита. Богатство народов. Он описывает и количественно оценивает благосостояние общества, а его цель - определить, какие меры политики приводят к оптимальным результатам, и следует ли выбрать несколько оптимумов. Есть два основные теоремы экономика благосостояния. В первый заявляет, что в экономическое равновесие, комплект полного рынки, с полная информация, И в идеальное соревнование, будет Оптимальный по Парето (в том смысле, что никакой дальнейший обмен не улучшит положение одного человека, но не ухудшит положение другого). Требования к совершенной конкуренции таковы:^[1]

1. Нет внешние эффекты и у каждого актера есть идеальная информация.
2. Фирмы и потребители брать цены как дано (ни один экономический субъект или группа субъектов не рыночная власть ).

Теорема иногда рассматривается как аналитическое подтверждение Адам Смит "s"невидимая рука "принцип, а именно, что конкурентные рынки обеспечивают эффективное распределение ресурсов. Однако нет гарантии, что оптимальный по Парето исход рынка является социально желательным, поскольку существует множество возможных способов распределения ресурсов, эффективных по Парето, различающихся по своей желательности (например, один человек может владеть всем, а все остальные - ничем).^[2]

В второй Теорема утверждает, что любой оптимум Парето может поддерживаться как конкурентное равновесие для некоторого начального набора ресурсов. Подразумевается, что может поддерживаться любой желаемый результат, оптимальный по Парето; Эффективность по Парето может быть достигнута при любом перераспределении первоначального богатства. Однако попытки исправить распределение могут внести искажения, и поэтому полная оптимальность может оказаться недостижимой при перераспределении.^[3]

Теоремы можно визуализировать графически для простого чистая меновая экономика с помощью Коробка Эджворта диаграмма.

История основных теорем

Адам Смит (1776 г.)

При обсуждении импортных тарифов Адам Смит написал, что:

Каждый человек обязательно трудится, чтобы сделать годовой доход общества настолько большим, насколько он может ... В этом, как и во многих других отношениях, его ведет невидимая рука способствовать достижению цели, которая не входила в его намерения ... Преследуя свои собственные интересы, он часто продвигает интересы общества более эффективно, чем когда он действительно намеревается содействовать этому.^[4]

Леон Вальрас (1870)

Вальрас писали, что «обмен в условиях свободной конкуренции - это операция, посредством которой все стороны получают максимальное удовлетворение при условии покупки и продажи по единой цене».^[5]

Ф. И. Эджворт (1881)

Эджворт сделал шаг к первой фундаментальной теореме в своей «Математической психике», рассматривая чистую экономику обмена без производства. Он включил в свой анализ несовершенную конкуренцию.^[6] Его определение равновесия почти такое же, как и более позднее определение оптимальности Парето: это точка, в которой ...

в любом направлении мы делаем бесконечно маленький шаг, п и Π [полезности покупателя и продавца] не увеличиваются вместе, но, когда одно увеличивается, другое уменьшается.^[7]

Вместо того чтобы сделать вывод, что равновесие было оптимальным по Парето, Эджворт пришел к выводу, что равновесие максимизирует сумму полезностей сторон, что является частным случаем эффективности Парето:

Кажется, следует из общих динамических принципов, примененных к этому частному случаю, что равновесие достигается, когда суммарная энергия удовольствия подрядчиков - максимальная относительная, или при соблюдении условий ... ^[8]

Вильфредо Парето (1906/9)

Парето сформулировал первую фундаментальную теорему в его Мануале (1906) и с большей строгостью во французской редакции (Мануэль, 1909).^[9] Он был первым, кто заявил об оптимальности по собственному критерию или поддержал это утверждение убедительными аргументами.^{[нужна цитата ]}

Он определяет равновесие более абстрактно, чем Эджворт, как состояние, которое будет поддерживать себя бесконечно в отсутствие внешнего давления.^[10] и показывает, что в экономике обмена это точка, в которой общая касательная к кривым безразличия сторон проходит через эндаумент.^[11]

Его определение оптимальности дано в гл. VI:

Мы скажем, что члены коллектива пользуются максимум безупречность [т.е. полезности] в определенном положении, когда невозможно отойти ни на шаг, так что телесность, которой пользуется каждый индивид в коллективе, увеличивается или уменьшается. [Ранее он определял увеличение индивидуального телосложения как переход к более высокой кривой безразличия.] То есть любой маленький шаг неизбежно увеличивает телосложение одних людей, уменьшая при этом других.^[12]

Следующий абзац дает нам теорему:

Для явлений типа I [т.е. совершенная конкуренция], когда равновесие имеет место в точке пересечения кривых безразличия, члены коллектива пользуются максимумом бесполезности.

Он добавляет, что «строгое доказательство не может быть дано без помощи математики», и ссылается на свое Приложение.^[13]

Wicksell, ссылаясь на свое определение оптимальности, прокомментировал:

При таком определении почти самоочевидно, что этот так называемый максимум достигается в условиях свободной конкуренции, потому что еслипосле того, как обмен был произведен, можно было с помощью следующей серии прямых или косвенных обменов произвести дополнительное удовлетворение потребностей участников, тогда в той степени, в какой такой продолжающийся обмен, несомненно, имел бы место, и исходное положение не может быть одного из окончательного равновесия.^[14]

Парето не считал это таким простым. В своем тексте он приводит схематические аргументы, относящиеся исключительно к обмену,^[15] и 32-страничный математический аргумент в Приложении^[16] который Самуэльсон обнаружил, что "нелегко".^[17] Парето мешало то, что он не понимал граница производственных возможностей, развитие которого частично произошло благодаря его соавтору Энрико Бароне.^[18] Его собственные «кривые безразличия к препятствиям», похоже, были ложным путем.

Вскоре после формулировки первой фундаментальной теоремы Парето задает вопрос о распределении:

Рассмотрим коллективистское общество, стремящееся к максимальному совершенствованию своих членов. Проблема делится на две части. Во-первых, у нас есть проблема распределения: как должны распределяться блага внутри общества между его членами? И, во-вторых, как организовать производство, чтобы при таком распределении товаров члены общества получали максимальную свободу?

Его ответ является неформальным предшественником второй теоремы:

Распределив товары в соответствии с ответом на первую проблему, государство должно позволить членам коллектива управлять вторым распределением или управлять им самим, в любом случае убедившись, что оно осуществляется в соответствии с принципами свободной конкуренции.^[19]

Энрико Бароне (1908)

Barone, сотрудник Парето, доказал свойство оптимальности совершенной конкуренции,^[20] а именно, что - при условии экзогенных цен - он максимизирует денежную стоимость прибыли от производственной деятельности, которая представляет собой сумму стоимости досуга, сбережений и товаров для потребления, взятых в желаемых пропорциях.^[21] Он не утверждает, что цены, выбранные рынком, сами по себе являются оптимальными.

Его статья не была переведена на английский до 1935 года. Она получила одобрительное резюме от Самуэльсона.^[22] но, похоже, не повлиял на развитие теорем благосостояния в их нынешнем виде.

Абба Лернер (1934)

В 1934 г. Лернер переформулировал условие обмена Эджворта, согласно которому кривые безразличия должны пересекаться как касательные, представив его как свойство оптимальности. Он заявил аналогичное условие для производства, а именно, что граница производственных возможностей (PPF, которому он дал альтернативное название «продуктивная кривая безразличия») должна касаться кривой безразличия для сообщества. Он был одним из создателей PPF, использовав его в статье о международной торговле в 1932 году.^[23] Он показывает, что эти два аргумента могут быть представлены в одних и тех же терминах, поскольку PPF играет ту же роль, что и кривая безразличия зеркального отображения в ящике Эджворта. Он также упоминает, что кривые не должны быть дифференцируемыми, поскольку тот же результат достигается, если они касаются заостренных углов.

Его определение оптимальности было эквивалентно определению Парето:

Если ... возможно переместить одного человека в предпочтительное положение, не перемещая другого человека в худшее положение ... мы можем сказать, что относительный оптимум не достигнут ...

Условие оптимальности производства эквивалентно паре требований, согласно которым (i) цена должна равняться предельным издержкам и (ii) выпуск должен быть максимальным при соблюдении (i). Таким образом, Лернер сводит оптимальность к касательной как для производства, так и для обмена, но не говорит, почему подразумеваемая точка на PPF должна быть условием равновесия для свободного рынка. Возможно, он считал это уже достаточно хорошо установленным.^[24]

Лернер отдает должное своему коллеге из Лондонской фондовой биржи Виктору Эдельбергу, который предложил использовать кривые безразличия. Самуэльсон предположил, что Лернер получил свои результаты независимо от работы Парето.^[25]

Гарольд Хотеллинг (1938)

Hotelling выдвинули новый аргумент, чтобы показать, что «продажи по предельным издержкам являются условием максимального общего благосостояния» (согласно определению Парето). Он признал, что этому условию удовлетворяет совершенная конкуренция, но в результате утверждал, что совершенная конкуренция не могла быть оптимальным, поскольку некоторые выгодные проекты не смогут окупить свои постоянные затраты за счет взимания платы по этой ставке (например, в естественная монополия ).^[26]

Оскар Ланге (1942)

Lange Статья «Основы экономики благосостояния» является источником ставшего уже традиционным сочетания двух теорем, одна из которых описывает рынки, а другая - распределение. Он обосновал определение оптимальности по Парето для первой теоремы ссылкой на Лайонел Роббинс отказ от межличностных сравнений полезности,^[27] и предложил различные способы повторного введения межличностных сравнений для второй теоремы, такие как решения демократически избранного Конгресса.

Его рассуждения - это математический перевод (на Множители Лагранжа ) графического аргумента Лернера. Вторая теорема не принимает в его руках привычной формы; скорее он просто показывает, что условия оптимизации для настоящего функция социальной полезности аналогичны оптимальности по Парето.

Абрам Бергсон и Пол Самуэльсон (1947)

Самуэльсон (зачисление Абрам Бергсон по существу своих идей) привел вторую теорему Ланге о благосостоянии примерно в ее современный вид.^[28] Он следует за Ланге в выводе набора уравнений, необходимых для оптимальности по Парето, а затем рассматривает, какие дополнительные ограничения возникают, если экономика должна удовлетворять истинной функции общественного благосостояния, находя дополнительную систему уравнений, из которых следует, что `` все действия, необходимые для достижения данной этической Desideratum может принять форму единовременные налоги или вознаграждения '.^[29]

Кеннет Эрроу и Жерар Дебре (по отдельности, 1951)

Стрелка 'песок Дебре две бумаги^[30] (написанная независимо и опубликованная почти одновременно) стремилась улучшить строгость первой теоремы Ланге. Их счета относятся к (краткосрочному) производству, а также к обмену, выражая условия для обоих через линейные функции.

Равновесие для производства выражается ограничением, согласно которому стоимость чистого выпуска производителя, т. Е. Скалярного произведения вектор производства с ценовым вектором, должна быть максимальна над производственной производственный набор. Это интерпретируется как максимизация прибыли. Максимальный объем производства фирмы, как и всей экономики в целом, будет достигнут только в том случае, если невидимая рука будет вести сотрудников, каждый из которых ищет своего собственного удовлетворения, к достижению цели, которая не является частью их намерений; так же, как и Лернер, Эрроу и Дебро полагались на мощную предпосылку (в их случае воплощенную в определениях), чтобы сделать большую часть работы.

Равновесие для обмена интерпретируется как означающее, что полезность индивида должна быть максимизирована по отношению к позициям, получаемым от пожертвования посредством обмена, это те позиции, стоимость которых не превышает стоимость его или ее вклада, где стоимость распределения является его скалярный продукт с вектором цен.

Таким образом, концепция равновесия интерпретируется как означающая оптимальность вдоль прямой линии цен. Это новое значение получило специальное название «вальрасианское» или «вальрасианское».конкурентное равновесие ', и не является истинным условием равновесия в смысле баланса сил.

Доказательства Эрроу и Дебре потребовали изменения математического стиля с исчисления на выпуклый набор теория. Эрроу мотивировал свою статью ссылкой на необходимость расширить доказательства, чтобы охватить равновесия на краю пространства, а Дебре - возможностью того, что кривые безразличия не дифференцируемы. Современные тексты следуют своему стилю доказательства.

Теорема Гринвальда-Стиглица

В своей статье 1986 года «Внешние эффекты в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками», Брюс Гринвальд и Джозеф Стиглиц показали, что фундаментальные теоремы благосостояния не верны, если есть неполные рынки или несовершенная информация.^[31] В статье установлено, что конкурентное равновесие экономики с асимметричной информацией в целом даже не ограничивается парето-эффективным. Правительство, сталкивающееся с теми же информационными ограничениями, что и частные лица в экономике, тем не менее, может найти меры по улучшению политики по Парето.^[32]

Гринвальд и Стиглиц отметили несколько важных ситуаций, в том числе то, как моральный ущерб может сделать ситуацию неэффективной (например, налог на алкоголь может быть улучшен, поскольку он снижает количество автомобильных аварий.^[33]

Доказательство первой фундаментальной теоремы.

Первая основная теорема верна при общих условиях.^[34] Формальное заявление выглядит следующим образом: Если предпочтения локально не удовлетворены, и если ${ displaystyle ( mathbf {X ^ {*}}, mathbf {Y ^ {*}}, mathbf {p})}$ является ценовым равновесием с трансфертами, то распределение ${ displaystyle ( mathbf {X ^ {*}}, mathbf {Y ^ {*}})}$оптимален по Парето. Равновесие в этом смысле относится либо только к экономике обмена, либо предполагает, что фирмы эффективны с точки зрения распределения и производства, что, как можно доказать, следует из совершенно конкурентных рынков факторов производства и производства.^[34]

Учитывая набор ${ displaystyle G}$ типов товаров мы работаем в реальном векторном пространстве над ${ displaystyle G}$, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {G}}$ и используйте жирный шрифт для векторных переменных. Например, если ${ displaystyle G = lbrace { text {масло}}, { text {cookie}}, { text {milk}} rbrace}$ тогда ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {G}}$ будет трехмерным векторным пространством, а вектор ${ Displaystyle langle 1,2,3 rangle}$ будет представлять собой набор товаров, содержащий одну единицу масла, 2 единицы печенья и 3 единицы молока.

Предположим, что потребитель я имеет богатство ${ displaystyle w_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle Sigma _ {i} w_ {i} = mathbf {p} cdot mathbf {e} + Sigma _ {j} mathbf {p} cdot mathbf {y_ {j} ^ {* }}}$ куда ${ displaystyle mathbf {e}}$ является совокупным запасом товаров (т. е. сумма всех ресурсов потребителя и производителя) и ${ displaystyle mathbf {y_ {j} ^ {*}}}$ это продукция фирмы j.

Максимизация предпочтений (из определения равновесия цен с трансфертами) подразумевает (используя ${ displaystyle> _ {i}}$ для обозначения отношения предпочтений для потребителя я):

если ${ displaystyle mathbf {x_ {i}}> _ {i} mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ тогда ${ Displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}}> mathbf {w_ {i}}}$

Другими словами, если пачка товаров строго предпочтительнее ${ displaystyle mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ это должно быть недоступно по цене ${ displaystyle mathbf {p}}$. Местное спокойствие дополнительно подразумевает:

если ${ displaystyle mathbf {x_ {i}} geq _ {i} mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ тогда ${ Displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}} geq mathbf {w_ {i}}}$

Чтобы понять почему, представьте, что ${ displaystyle mathbf {x_ {i}} geq _ {i} mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ но ${ Displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}}$. Тогда путем локального неутверждения мы могли найти ${ Displaystyle mathbf {х '_ {я}}}$ произвольно близко к ${ displaystyle mathbf {x_ {i}}}$ (и поэтому все еще доступный), но который строго предпочтительнее ${ displaystyle mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$. Но ${ displaystyle mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ является результатом максимизации предпочтений, поэтому приходим к противоречию.

Распределение - это пара ${ Displaystyle ( mathbf {X}, mathbf {Y})}$ куда ${ Displaystyle mathbf {X} in Pi _ {я in I} mathbb {R} ^ {G}}$ и ${ displaystyle mathbf {Y} in Pi _ {j in J} mathbb {R} ^ {G}}$, т.е. ${ displaystyle mathbf {X}}$ это «матрица» (допускающая потенциально бесконечные строки / столбцы), чья ястолбец - пачка товаров, выделенная потребителю я и ${ displaystyle mathbf {Y}}$ это «матрица», чья j-я колонка - продукция фирмы j. Мы ограничиваем наше внимание возможным распределением, которое представляет собой такое распределение, при котором ни один потребитель не продает, а производитель не потребляет товары, которых им не хватает, то есть для каждого товара и каждого потребителя, которые изначально обеспечиваются потребителями, плюс их чистый спрос должны быть положительными для производителей.

Теперь рассмотрим распределение ${ Displaystyle ( mathbf {X}, mathbf {Y})}$ что Парето доминирует ${ displaystyle ( mathbf {X ^ {*}}, Y ^ {*})}$. Это означает, что ${ displaystyle mathbf {x_ {i}} geq _ {i} mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ для всех я и ${ displaystyle mathbf {x_ {i}}> _ {i} mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ для некоторых я. Из вышесказанного мы знаем ${ Displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}} geq w_ {i}}$ для всех я и ${ displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}}> w_ {i}}$ для некоторых я. Суммируя, находим:

${ displaystyle Sigma _ {i} mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}}> Sigma _ {i} w_ {i} = Sigma _ {j} mathbf {p} cdot mathbf {y_ {j} ^ {*}}}$.

Потому что ${ displaystyle mathbf {Y ^ {*}}}$ максимизация прибыли, мы знаем ${ Displaystyle Sigma _ {j} mathbf {p} cdot y_ {j} ^ {*} geq Sigma _ {j} p cdot y_ {j}}$, так ${ Displaystyle Sigma _ {я} mathbf {p} cdot mathbf {x_ {i}}> Sigma _ {j} mathbf {p} cdot mathbf {y_ {j}}}$. Но товары должны быть сохранены, поэтому ${ Displaystyle Sigma _ {я} mathbf {x_ {i}}> Sigma _ {j} mathbf {y_ {j}}}$. Следовательно, ${ Displaystyle ( mathbf {X}, mathbf {Y})}$ неосуществимо. Поскольку все распределения с преобладанием Парето неосуществимы, ${ displaystyle ( mathbf {X ^ {*}}, mathbf {Y ^ {*}})}$ сам должен быть оптимальным по Парето.^[34]

Обратите внимание, что хотя тот факт, что ${ displaystyle mathbf {Y ^ {*}}}$ Если максимизация прибыли просто предполагается в формулировке теоремы, результат будет полезен / интересен только в той степени, в которой возможно такое распределение производства с максимизацией прибыли. К счастью, при любом ограничении размещения продукции ${ displaystyle mathbf {Y ^ {*}}}$ и цена - к замкнутому подмножеству, на котором предельная цена ограничена от 0, например, любой разумный выбор непрерывных функций для параметризации возможных производств, такой максимум существует. Это следует из того факта, что минимальная предельная цена и конечное богатство ограничивают максимально возможное производство (0 ограничивает минимум) и Теорема Тихонова обеспечивает компактность продукта этих компактных пространств, обеспечивая нам максимум любой непрерывной функции, которую мы желаем.

Доказательство второй основной теоремы

Вторая теорема формально утверждает, что в предположении, что каждое производственное множество ${ displaystyle Y_ {j}}$ является выпуклый и каждое отношение предпочтений ${ displaystyle geq _ {я}}$ выпуклый и местно неутомимый, любое желаемое распределение, эффективное по Парето, может поддерживаться как цена квази-равновесие с переводами.^[34] Дальнейшие предположения необходимы, чтобы доказать это утверждение для ценового равновесия с трансфертами.

Доказательство проводится в два этапа: во-первых, мы доказываем, что любое эффективное по Парето распределение может поддерживаться как квазиравновесие цен с трансфертами; затем мы даем условия, при которых квазиравновесие цен также является равновесием цен.

Определим квазиравновесие цен с трансфертами как распределение ${ Displaystyle (х ^ {*}, у ^ {*})}$, вектор цен п, и вектор уровней богатства ш (достигается единовременным переводом) с ${ displaystyle Sigma _ {i} w_ {i} = p cdot omega + Sigma _ {j} p cdot y_ {j} ^ {*}}$ (куда ${ displaystyle omega}$ это совокупный запас товаров и ${ displaystyle y_ {j} ^ {*}}$ это продукция фирмы j) такой, что:

я. ${ Displaystyle p cdot y_ {j} leq p cdot y_ {j} ^ {*}}$ для всех ${ displaystyle y_ {j} in Y_ {j}}$ (фирмы максимизируют прибыль, производя ${ displaystyle y_ {j} ^ {*}}$)

II. Для всех я, если ${ displaystyle x_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$ тогда ${ Displaystyle р cdot x_ {i} geq w_ {i}}$ (если ${ displaystyle x_ {i}}$ строго предпочтительнее ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$ тогда это не может стоить меньше чем ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$)

iii. ${ displaystyle Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*} = omega + Sigma _ {j} y_ {j} ^ {*}}$ (бюджетное ограничение выполнено)

Единственное различие между этим определением и стандартным определением ценового равновесия с трансфертами заключается в утверждении (ii). Здесь неравенство слабое (${ Displaystyle р cdot x_ {i} geq w_ {i}}$), что делает его квазиравновесием цен. Позже мы укрепим это, чтобы установить ценовое равновесие.^[34]Определять ${ displaystyle V_ {i}}$ быть набором всех пакетов потребления, строго предпочтительных ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$ потребителем я, и разреши V быть суммой всех ${ displaystyle V_ {i}}$. ${ displaystyle V_ {i}}$ выпукло из-за выпуклости отношения предпочтения ${ displaystyle geq _ {я}}$. V выпуклый, потому что каждый ${ displaystyle V_ {i}}$ выпуклый. по аналогии ${ Displaystyle Y + { omega }}$, объединение всех комплектов продукции ${ displaystyle Y_ {i}}$ плюс совокупный вклад, выпуклый, потому что каждый ${ displaystyle Y_ {i}}$ выпуклый. Мы также знаем, что пересечение V и ${ Displaystyle Y + { omega }}$ должен быть пустым, потому что в противном случае это означало бы, что существует пакет, который строго предпочтительнее ${ Displaystyle (х ^ {*}, у ^ {*})}$ всем, и это также доступно. Это исключается парето-оптимальностью ${ Displaystyle (х ^ {*}, у ^ {*})}$.

Эти два выпуклых непересекающихся множества позволяют нам применять теорема о разделяющей гиперплоскости. Эта теорема утверждает, что существует вектор цен ${ displaystyle p neq 0}$ и ряд р такой, что ${ Displaystyle п cdot г geq г}$ для каждого ${ displaystyle z in V}$ и ${ Displaystyle п cdot г leq г}$ для каждого ${ Displaystyle г в Y + { omega }}$. Другими словами, существует вектор цен, определяющий гиперплоскость, идеально разделяющую два выпуклых множества.

Далее мы утверждаем, что если ${ Displaystyle х_ {я} geq _ {я} х_ {я} ^ {*}}$ для всех я тогда ${ Displaystyle р cdot ( Sigma _ {i} x_ {i}) geq r}$. Это связано с локальным несоответствием: обязательно должен быть пучок ${ displaystyle x '_ {я}}$ произвольно близко к ${ displaystyle x_ {i}}$ это строго предпочтительнее ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$ и, следовательно, часть ${ displaystyle V_ {i}}$, так ${ Displaystyle п cdot ( Sigma _ {я} х '_ {я}) geq r}$. Принимая предел как ${ displaystyle x '_ {i} rightarrow x_ {i}}$ не меняет слабого неравенства, поэтому ${ Displaystyle р cdot ( Sigma _ {i} x_ {i}) geq r}$ также. Другими словами, ${ displaystyle x_ {i}}$ находится в закрытие из V.

Используя это соотношение, мы видим, что для ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$ сам ${ Displaystyle п cdot ( Sigma _ {я} x_ {i} ^ {*}) geq r}$. Мы также знаем, что ${ displaystyle Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*} in Y + { omega }}$, так ${ displaystyle p cdot ( Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*}) leq r}$ также. Объединяя их, мы находим, что ${ displaystyle p cdot ( Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*}) = r}$. Мы можем использовать это уравнение, чтобы показать, что ${ displaystyle (х ^ {*}, y ^ {*}, p)}$ соответствует определению квазиравновесия цен с трансфертами.

Потому что ${ displaystyle p cdot ( Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*}) = r}$ и ${ displaystyle Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*} = omega + Sigma _ {j} y_ {j} ^ {*}}$ мы знаем, что для любой фирмы j:

${ displaystyle p cdot ( omega + y_ {j} + Sigma _ {h} y_ {h} ^ {*}) leq r = p cdot ( omega + y_ {j} ^ {*} + Sigma _ {h} y_ {h} ^ {*})}$ за ${ displaystyle h neq j}$

что подразумевает ${ Displaystyle p cdot y_ {j} leq p cdot y_ {j} ^ {*}}$. Точно так же мы знаем:

${ displaystyle p cdot (x_ {i} + Sigma _ {k} x_ {k} ^ {*}) geq r = p cdot (x_ {i} ^ {*} + Sigma _ {k} x_ {k} ^ {*})}$ за ${ Displaystyle к neq я}$

что подразумевает ${ Displaystyle p cdot x_ {i} geq p cdot x_ {i} ^ {*}}$. Эти два утверждения, наряду с осуществимостью распределения при оптимуме Парето, удовлетворяют трем условиям квазиравновесия цен с трансфертами, поддерживаемыми уровнями богатства. ${ displaystyle w_ {i} = p cdot x_ {i} ^ {*}}$ для всех я.

Теперь обратимся к условиям, при которых квазиравновесие цен также является равновесием цен, другими словами, к условиям, при которых утверждение «если ${ displaystyle x_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$ тогда ${ Displaystyle р cdot x_ {i} geq w_ {i}}$"реализует", если ${ displaystyle x_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$ тогда ${ displaystyle p cdot x_ {i}> w_ {i}}$". Чтобы это было правдой, нам нужно теперь предположить, что потребление установлено ${ displaystyle X_ {i}}$ выпукло и отношение предпочтения ${ displaystyle geq _ {я}}$ является непрерывный. Тогда, если существует вектор потребления ${ displaystyle x '_ {я}}$ такой, что ${ displaystyle x '_ {i} in X_ {i}}$ и ${ displaystyle p cdot x '_ {i}$, квазиравновесие цен - это равновесие цен.

Чтобы понять почему, предположим противное ${ displaystyle x_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$ и ${ displaystyle p cdot x_ {i} = w_ {i}}$, и ${ displaystyle x_ {i}}$ существуют. Тогда по выпуклости ${ displaystyle X_ {i}}$ у нас есть связка ${ displaystyle x '' _ {i} = alpha x_ {i} + (1- alpha) x '_ {i} in X_ {i}}$ с ${ Displaystyle п cdot х '' _ {я} <ш_ {я}}$. По преемственности ${ displaystyle geq _ {я}}$ за ${ displaystyle alpha}$ близко к 1 у нас есть ${ displaystyle alpha x_ {i} + (1- alpha) x '_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$. Это противоречие, потому что эта связка предпочтительнее ${ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$ и стоит меньше чем ${ displaystyle w_ {i}}$.

Следовательно, чтобы квазиравновесия цен были ценовыми равновесиями, достаточно, чтобы набор потребления был выпуклым, отношение предпочтений было непрерывным и чтобы всегда существовал «более дешевый» набор потребления. ${ displaystyle x '_ {я}}$. Один из способов обеспечить существование такого пакета - это потребовать уровни богатства. ${ displaystyle w_ {i}}$ быть строго позитивным для всех потребителей я.^[34]

Смотрите также

• Выпуклые предпочтения
• Теоремы Вариана - конкурентное равновесие является одновременно эффективным по Парето и без зависти.
• Теория общего равновесия

Рекомендации