Электровакуумный раствор - Electrovacuum solution

В общая теория относительности, электровакуумный раствор (электровакуум) является точное решение из Уравнение поля Эйнштейна в котором единственной негравитационной массой-энергией является энергия поля электромагнитное поле, который должен удовлетворять (искривленное пространство-время) без источника Уравнения Максвелла соответствующий заданной геометрии. По этой причине электровакуумы иногда называют (без источника) Решения Эйнштейна-Максвелла.

Математическое определение

В общей теории относительности геометрическая установка физических явлений Лоренцево многообразие, который физически интерпретируется как искривленное пространство-время, и который математически задается путем определения метрический тензор ${ displaystyle , g_ {ab}}$ (или путем определения поле кадра ). В Тензор кривизны Римана ${ displaystyle , R_ {abcd}}$ этого многообразия и связанных с ним величин, таких как Тензор Эйнштейна ${ displaystyle G ^ {ab}}$ , математически четко определены. В общей теории относительности их можно интерпретировать как геометрические проявления (кривизна и силы) гравитационное поле.

Нам также необходимо указать электромагнитное поле, задав тензор электромагнитного поля ${ displaystyle F_ {ab}}$ на нашем лоренцевом многообразии. Эти два тензора необходимы^{[требуется разъяснение ]} чтобы удовлетворить два следующих условия

Тензор электромагнитного поля должен удовлетворять условию без источника искривленное пространство-время уравнения поля Максвелла ${ displaystyle , F_ {ab; c} + F_ {bc; a} + F_ {ca; b} = 0}$ и ${ displaystyle {F ^ {jb}} _ {; j} = 0}$
Тензор Эйнштейна должен соответствовать электромагнитному тензор энергии-импульса, ${ displaystyle G ^ {ab} = 2 , left (F ^ {a} {} _ {j} F ^ {bj} - { frac {1} {4}} g ^ {ab} , F ^ {mn} , F_ {mn} right)}$ .

Первое уравнение Максвелла выполняется автоматически, если мы определим тензор поля в терминах вектор электромагнитного потенциала ${ displaystyle { vec {A}}}$ . С точки зрения двойного ковектор (или потенциальный однотипный) и электромагнитный двойная форма, мы можем сделать это, установив ${ Displaystyle F = dA}$ . Тогда нам нужно только убедиться, что расходимости обращаются в нуль (т.е. что второе уравнение Максвелла выполняется для без источника поле) и электромагнитное напряжение-энергия соответствует тензору Эйнштейна.

Инварианты

Как и в плоском пространстве-времени, тензор электромагнитного поля антисимметричен, имея только два алгебраически независимых скалярных инварианта:

{ Displaystyle I = звезда (F клин звезда F) = F_ {ab} , F ^ {ab} = - 2 , left ( | { vec {E}} | ^ {2} - | { vec {B}} | ^ {2} right)}

{ Displaystyle J = звезда (F клин F) = F_ {ab} , { звезда F} ^ {ab} = - 4 , { vec {E}} cdot { vec {B}} }

Здесь звезда Ходжа звезда.

Используя их, мы можем классифицировать возможные электромагнитные поля следующим образом:

Если ${ displaystyle I <0}$ но ${ displaystyle J = 0}$ , у нас есть электростатическое поле, что обозначает немного наблюдатели будут измерять статическое электрическое поле, а не магнитное.
Если ${ displaystyle I> 0}$ но ${ displaystyle J = 0}$ , у нас есть магнитостатическое поле, что обозначает немного наблюдатели будут измерять статическое магнитное поле и отсутствие электрического поля.
Если ${ displaystyle I = J = 0}$ , электромагнитное поле называется ноль, и у нас есть нулевой электровакуум.

Нулевые электровакуумы связаны с электромагнитным излучением. Электромагнитное поле, которое не является нулевым, называется ненулевой, и тогда у нас есть ненулевой электровакуум.

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поле кадра а не координатная база часто называют физические компоненты, потому что это компоненты, которые в принципе могут быть измерены наблюдателем.

В случае электровакуумного раствора адаптированный Рамка

{ displaystyle { vec {e}} _ {0}, ; { vec {e}} _ {1}, ; { vec {e}} _ {2}, ; { vec {e }} _ {3}}

всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна имеет особенно простой вид. здесь первый вектор понимается как подобный времени единичное векторное поле; он всюду касается мировых линий соответствующего семейства адаптированные наблюдатели, движение которого «согласовано» с электромагнитным полем. Последние три космический единичные векторные поля.

Для ненулевой электровакуум, можно найти адаптированную систему отсчета, в которой тензор Эйнштейна принимает вид

{ displaystyle G ^ {{ hat {a}} { hat {b}}} = 8 pi epsilon , left [{ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {matrix}} right]}

куда ${ displaystyle epsilon}$ - плотность энергии электромагнитного поля, измеренная любым адаптированным наблюдателем. Из этого выражения легко увидеть, что группа изотропии нашего ненулевого электровакуума создается за счет повышения ${ displaystyle { vec {e}} _ {3}}$ направление и вращения вокруг ${ displaystyle { vec {e}} _ {3}}$ ось. Другими словами, группа изотропии любого ненулевого электровакуума является двумерным абелевым Группа Ли изоморфна SO (1,1) x SO (2).

Для ноль электровакуум, можно найти адаптированную систему отсчета, в которой тензор Эйнштейна принимает вид

{ displaystyle G ^ {{ hat {a}} { hat {b}}} = 8 pi epsilon , left [{ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & pm 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 pm 1 & 0 & 0 & 1 end {matrix}} right]}

Отсюда легко видеть, что группа изотропии нашего нулевого электровакуума включает вращения вокруг ${ displaystyle { vec {e}} _ {3}}$ ось; еще два генератора - это два параболический Преобразования Лоренца, согласованные с ${ displaystyle { vec {e}} _ {3}}$ направление дано в статье о Группа Лоренца. Другими словами, группа изотропии любого нулевого электровакуума - это трехмерная группа Ли, изоморфная E (2), группе изометрий евклидовой плоскости.

Тот факт, что эти результаты в искривленном пространстве-времени точно такие же, как и для электродинамики в плоском пространстве. Пространство-время Минковского это одно из проявлений принцип эквивалентности.

Собственные значения

В характеристический многочлен тензора Эйнштейна ненулевой электровакуум должен иметь вид

{ Displaystyle чи ( лямбда) = влево ( лямбда +8 пи эпсилон вправо) ^ {2} , влево ( лямбда -8 пи эпсилон вправо) ^ {2}}

С помощью Личности Ньютона, это условие может быть переформулировано через следы степеней тензора Эйнштейна как

{ displaystyle t_ {1} = t_ {3} = 0, ; t_ {4} = t_ {2} ^ {2} / 4}

куда

{ displaystyle t_ {1} = {G ^ {a}} _ {a}, ; t_ {2} = {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a }, ; t_ {3} = {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a}, ; t_ {4} = {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {а}}

Этот необходимый критерий может быть полезен для проверки правдоподобности предполагаемого ненулевого электровакуумного решения и иногда полезен для поиска ненулевого электровакуумного решения.

Характеристический многочлен ноль электровакуум исчезает одинаково, даже если плотность энергии ненулевой. Эта возможность является тензорным аналогом хорошо известного нулевой вектор всегда имеет нулевую длину, даже если это не нулевой вектор. Таким образом, каждый нулевой электровакуум имеет одну четверное собственное значение, а именно ноль.

Условия Райнича

В 1925 г. Георгий Юрий Райнич представили чисто математические условия, которые необходимы и достаточны для того, чтобы лоренцево многообразие допускало интерпретацию в общей теории относительности как ненулевой электровакуум. Они включают три алгебраических условия и одно дифференциальное условие. Условия иногда полезны для проверки того, что предполагаемый ненулевой электровакуум действительно является тем, о чем он заявляет, или даже для поиска таких решений.

Аналогичные необходимые и достаточные условия для нулевой электровакуум были найдены Чарльзом Торре.^[1]

Тестовые поля

Иногда можно предположить, что энергия любого электромагнитного поля настолько мала, что его гравитационными эффектами можно пренебречь. Тогда, чтобы получить приближенное электровакуумное решение, нам нужно только решить уравнения Максвелла на заданном вакуумный раствор. В этом случае электромагнитное поле часто называют тестовое поле, по аналогии с термином тестовая частица (обозначает небольшой объект, масса которого слишком мала, чтобы вносить заметный вклад в окружающее гравитационное поле).

Здесь полезно знать, что любые векторы Киллинга, которые могут присутствовать, будут (в случае вакуумного решения) автоматически удовлетворять искривленное пространство-время уравнения Максвелла.^[2]

Обратите внимание, что эта процедура сводится к предположению, что электромагнитное поле, но не гравитационное поле, является «слабым». Иногда мы можем пойти еще дальше; если гравитационное поле также считается «слабым», мы можем независимо решить линеаризованные уравнения поля Эйнштейна и уравнения Максвелла (плоское пространство-время) на фоне вакуума Минковски. Тогда (слабый) метрический тензор дает приближенную геометрию; фон Минковского ненаблюдаем с помощью физических средств, но математически с ним гораздо проще работать, когда мы можем уйти от такой ловкости рук.

Примеры

Примечательные индивидуальные ненулевые электровакуумные решения включают:

Электровакуум Рейсснера – Нордстрема (который описывает геометрию вокруг заряженной сферической массы),
Электровакуум Керра – Ньюмана (который описывает геометрию вокруг заряженного вращающегося объекта),
Электровакуум Мелвина (модель цилиндрически-симметричного магнитостатического поля),
Электровакуум Гарфинкля – Мелвина (как и предыдущий, но с гравитационной волной, бегущей вдоль оси симметрии),
Электровакуум Бертотти – Робинсона: это простое пространство-время с замечательной структурой продукта; он возникает из-за своего рода «взрыва» горизонта электровакуума Рейсснера-Нордстрёма,
Электровакуум Виттена (открыл Луи Виттен, отец Эдвард Виттен ).

Примечательные индивидуальные нулевые электровакуумные решения включают:

в плоская монохроматическая электромагнитная волна, точное решение, которое является общей релятивитской анагой плоских волн в классическом электромагнетизме,
Электровакуум Белла – Секереса (модель сталкивающейся плоской волны).

Некоторые хорошо известные семейства электровакуумов:

Электровакуумы Вейля – Максвелла: это семейство всех статических осесимметричных электровакуумных решений; в него входит электровакуум Рейсснера-Нордстрёма,
Электровакуумы Эрнста – Максвелла: это семейство всех стационарных осесимметричных электровакуумных решений; он включает электровакуум Керра-Ньюмана,
Электровакуумы Бека – Максвелла: все невращающиеся цилиндрически симметричные электровакуумные решения,
Электровакуумы Элерса – Максвелла: все стационарные цилиндрически симметричные электровакуумные решения,
Электровакуумы Секереса: все пары сталкивающихся плоских волн, каждая из которых может содержать как гравитационное, так и электромагнитное излучение; эти решения являются нулевыми электровакуумами вне зона взаимодействия, но обычно ненулевые электровакуумы внутри зоны взаимодействия из-за нелинейного взаимодействия двух волн после их столкновения.

Много pp-волновые пространства-времени допускают тензор электромагнитного поля, превращающий их в точные нулевые электровакуумные решения.