Теорема Эрдеша – Фукса - Erdős–Fuchs theorem

В математика, в районе аддитивная теория чисел, то Теорема Эрдеша – Фукса - это утверждение о количестве способов, которыми числа могут быть представлены в виде суммы элементов данного аддитивная основа, заявив, что средний порядок этого числа не может быть слишком близок к линейная функция.

Теорема названа в честь Пол Эрдёш и Вольфганг Генрих Иоганнес Фукс, опубликовавший его в 1956 году.

Заявление

Позволять быть бесконечным подмножеством натуральные числа и это функция представления, который обозначает количество способов, которыми натуральное число можно выразить как сумму элементы (с учетом заказа). Затем мы рассматриваем функция накопленного представления

который учитывает (также с учетом порядка) количество решений , куда . Затем теорема утверждает, что для любого данного , Соотношение
не можешь быть довольным; то есть есть нет удовлетворяющие приведенной выше оценке.

Теоремы типа Эрдеша – Фукса.

Теорема Эрдеша – Фукса имеет интересную историю прецедентов и обобщений. В 1915 году о нем уже знали Г. Х. Харди[1] что в случае последовательности из идеальные квадраты надо

Эта оценка немного лучше, чем оценка Эрдеша – Фукса, но ценой небольшой потери точности П. Эрдеш и У. Х. Дж. Фукс достигли полной общности своего результата (по крайней мере, для случая ). Другая причина, по которой этот результат так прославлен, может быть связана с тем, что в 1941 г. П. Эрдёш и П. Туран[2] предположил, что при тех же предположениях, что и в сформулированной теореме, соотношение
не мог удержать. Этот факт оставался недоказанным до 1956 г., когда Эрдеш и Фукс получили свою теорему, которая даже сильнее, чем ранее предполагавшаяся оценка.

Улучшенные версии для h = 2

Эта теорема получила развитие в нескольких направлениях. В 1980 г. А. Шаркози[3] рассмотрели две последовательности, которые в некотором смысле «близки». Он доказал следующее:

  • Теорема (Шаркози, 1980). Если и два бесконечных подмножества натуральных чисел с , тогда не может выполняться для любой постоянной .

В 1990 г. Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воган[4] смогли удалить лог из правой части исходного заявления Эрдеша – Фукса, показав, что

не могу удержать. В 2004 г. Г. Хорват[5] расширили оба этих результата, доказав следующее:

  • Теорема (Хорват, 2004). Если и бесконечные подмножества натуральных чисел с и , тогда не может выполняться для любой постоянной .

Общий случай (h ≥ 2)

Естественное обобщение теоремы Эрдеша – Фукса, а именно для , как известно, имеет ту же силу, что и версия Монтгомери-Вона. Фактически, М. Тан[6] в 2009 г. показал, что в тех же условиях, что и в исходном утверждении Эрдеша – Фукса, для каждого Соотношение

не могу удержать. В другом направлении, в 2002 г. Г. Хорват[7] дал точное обобщение результата Шаркози 1980 г., показав, что

  • Теорема (Хорват, 2002) Если () находятся (не менее двух) бесконечных подмножеств натуральных чисел и справедливы следующие оценки:
  1. (за )
тогда отношение:

не может выполняться для любой постоянной .

Нелинейные приближения

Еще одно направление, в котором теорема Эрдеша – Фукса может быть улучшена, - это рассмотрение приближений к Кроме как для некоторых . В 1963 г. П. Т. Бейтман, Э. Э. Кольбекер и Дж. П. Талл[8] оказался немного более сильным вариантом следующего:

  • Теорема (Бейтман – Кольбекер – Талл, 1963). Позволять быть медленно меняющаяся функция что либо выпуклый или же вогнутый с какого-то момента. Тогда при тех же условиях, что и в исходной теореме Эрдеша – Фукса, мы не можем иметь , куда если ограничен, и иначе.

В конце статьи также отмечается, что их метод можно расширить для получения результатов, учитывая с , но такие результаты считаются недостаточно окончательными.

Смотрите также

  • Теорема Эрдеша – Тетали: Для любого , есть набор что удовлетворяет . (Наличие экономических основ)
  • Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях: Если аддитивный базис порядка 2, то . (Базы не могут быть тоже экономичный)

Рекомендации

  • Эрдеш, П.; Фукс, В. Х. Дж. (1956). «К проблеме теории аддитивных чисел». J. London Math. Soc. 31 (1): 67–73. Дои:10.1112 / jlms / s1-31.1.67. HDL:2027 / mdp.39015095244037.
  • Ньюман, Д. Дж. (1998). Аналитическая теория чисел. GTM. 177. Нью-Йорк: Спрингер. С. 31–38. ISBN  0-387-98308-2.
  • Хальберштам, Х.; Рот, К.Ф. (1983) [1966]. Последовательности (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90801-4. МИСТЕР  0210679.
  • ^ Харди, Г. Х. (1915). «О выражении числа как суммы двух квадратов». Кварта. J. Math. 46: 263–83.
  • ^ Erdős, P .; Туран, П. (1941). «О проблеме Сидона в аддитивной теории чисел и некоторых смежных проблемах». J. London Math. Soc. 16: 212–5.
  • ^ Шаркози, А. (1980). «Об одной теореме Эрдеша и Фукса». Acta Arith. 37: 333–338.
  • ^ Montgomery, H.L .; Воган, Р. К. (1990). «О теореме Эрдеша – Фукса». Дань Павлу Эрдёшу. Cambridge Univ. Пресс: 331–338.
  • ^ Хорват, Г. (2004). «Улучшение расширения теоремы Эрдеша и Фукса». Acta Math. Подвешенный. 104: 27–37.
  • ^ Тан, Мин (2009). «Об обобщении теоремы Эрдеша и Фукса». Дискретная математика. 309: 6288–6293.
  • ^ Хорват, Г. (2002). «Об одной теореме Эрдеша и Фукса». Acta Arith. 103 (4): 321–328.
  • ^ Bateman, P.T .; Kohlbecker, E.E .; Талл, Дж. П. (1963). «Об одной теореме Эрдеша и Фукса в аддитивной теории чисел». Proc. Являюсь. Математика. Soc. 14: 278–84.