Теорема Эрдеша – Тетали - Erdős–Tetali theorem

В аддитивная теория чисел, площадь математика, то Теорема Эрдеша – Тетали является теорема существования относительно экономических аддитивные основы каждого заказа. В частности, он утверждает, что для каждого фиксированного целого числа , существует подмножество натуральных чисел удовлетворение

куда обозначает количество способов, которыми натуральное число п можно выразить как сумму час элементы B.

Теорема названа в честь Пол Эрдёш и Прасад В. Тетали, опубликовавший его в 1990 году.

Мотивация

Первоначальная мотивация для этого результата приписывается проблеме, поставленной С. Сидоном в 1932 г. экономические основы. Аддитивная основа называется экономичный[1] (или иногда тонкий[2]) когда это аддитивная основа порядка час и

то есть, для каждого . Другими словами, это аддитивные основы, которые используют как можно меньше чисел для представления данного п, и все же представляют каждое натуральное число. Связанные понятия включают -последовательности[3] и Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях.

Вопрос Сидона заключался в том, существует ли экономическая основа второго порядка. Положительный ответ дал П. Эрдёш в 1956 г.[4] урегулирование еще не названной теоремы Эрдеша – Тетали для случая . Хотя общая версия считалась верной, полного доказательства в литературе до публикации Erdős & Tetali (1990) не появлялось.[5]

Идеи в доказательстве

Доказательство является примером вероятностный метод, и его можно разделить на три основных этапа. Во-первых, начнем с определения случайная последовательность к

куда какая-то большая действительная константа, фиксированное целое число и п достаточно велико, так что приведенная выше формула является корректной. Подробное обсуждение вероятностного пространства, связанного с этим типом конструкции, можно найти у Halberstam & Roth (1983).[6] Во-вторых, затем показано, что ожидаемое значение из случайная переменная имеет порядок бревно. То есть,
Наконец, показано, что почти наверняка концентрируется вокруг своего среднего. Более подробно:
Это критический шаг доказательства. Первоначально это решалось с помощью Неравенство Янсона, тип неравенство концентраций для многомерных многочленов. Дао и Ву (2006)[7] представьте это доказательство с более сложным двусторонним неравенством концентрации В. Ву (2000),[8] таким образом, относительно упрощая этот шаг. Alon & Spencer (2016) классифицируют это доказательство как пример Парадигма Пуассона.[9]

Дальнейшие разработки

Темпы роста, отличные от журнала

Возникает естественный вопрос, применимы ли аналогичные результаты для функций, отличных от log. То есть исправление целого числа , для которых функции ж можем ли мы найти подмножество натуральных чисел удовлетворение ? Как следует из результата C. Táfula (2018)[10] что если ж это локально интегрируемый, положительный реальная функция удовлетворение

  • , и
  • для некоторых ,

то существует аддитивный базис порядка час что удовлетворяет . Хотя улучшения верхней границы для ж можно разумно ожидать (например, неясно, необходимо), любые улучшения нижней границы могут создать контрпример к сильной версии Эрдеша – Турана (подробности см. ниже).

Вычислимые экономические основы

Все известные доказательства теоремы Эрдеша – Тетали по характеру используемого бесконечного вероятностного пространства таковы: неконструктивные доказательства. Однако Колунзакис (1995)[11] показал существование рекурсивный набор удовлетворение такой, что занимает полиномиальное время в п быть вычисленным. Вопрос для остается открытым.

Экономичные подбазы

Для произвольного аддитивного базиса , можно спросить, существует ли такой, что это экономическая основа. В. Ву (2000)[12] показал, что это так для Базы товаров , где для каждого фиксированного k есть экономичные подосновы порядка для каждого , для некоторой большой вычислимой постоянной .

Сильная форма гипотезы Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях

Оригинал Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях заявляет в самой общей форме, что если аддитивная основа порядка час тогда . Тем не менее в его статье 1956 г. Эрдёша-Тетали, П. Эрдеш спросил, может ли быть так, что в любое время является аддитивным базисом порядка 2. Вопрос естественным образом распространяется на , что делает его утверждение более сильным, чем утверждение Эрдеша – Турана. В некотором смысле высказывается предположение, что не существует аддитивных базисов, существенно более экономичных, чем те, существование которых гарантировано теоремой Эрдеша – Тетали.

Смотрите также

  • Теорема Эрдеша – Фукса: Для любого ненулевого , есть нет набор что удовлетворяет .
  • Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях: Если аддитивный базис порядка 2, то .
  • Проблема Варинга, проблема представления чисел в виде суммы k-мощи, для фиксированных .

Рекомендации

  1. ^ Как в Halberstam & Roth (1983), стр. 111.
  2. ^ Как и в Tao & Vu (2006), стр. 13.
  3. ^ См. Определение 3 (стр. 3) O'Bryant, K. (2004), «Полная аннотированная библиография работ, связанных с последовательностями Сидона» (PDF), Электронный журнал комбинаторики, 11: 39.
  4. ^ Эрдеш, П. (1956). «Проблемы и результаты аддитивной теории чисел». Коллок-сюр-ла-Теория Номбр: 127–137.
  5. ^ п. 264 из Erdős & Tetali (1990).
  6. ^ См. Теорему 1 в главе III.
  7. ^ Раздел 1.8 книги Tao & Vu (2006).
  8. ^ Ву, Ван Х. (2000-07-01). «О концентрации многомерных многочленов с малым математическим ожиданием». Случайные структуры и алгоритмы. 16 (4): 344–363. CiteSeerX  10.1.1.116.1310. Дои:10.1002 / 1098-2418 (200007) 16: 4 <344 :: aid-rsa4> 3.0.co; 2-5. ISSN  1098-2418.[постоянная мертвая ссылка ]
  9. ^ Глава 8, с. 139 книги Alon & Spencer (2016).
  10. ^ Тафула, Кристиан (2019). «Расширение теоремы Эрдеша-Тетали». Случайные структуры и алгоритмы. 0: 173–214. arXiv:1807.10200. Дои:10.1002 / rsa.20812. ISSN  1098-2418.
  11. ^ Колунзакис, Михаил Н. (1995-10-13). «Эффективная аддитивная основа для целых чисел». Дискретная математика. 145 (1): 307–313. Дои:10.1016 / 0012-365X (94) 00044-J.
  12. ^ Ву, Ван Х. (2000-10-15). «Об уточнении проблемы Варинга». Математический журнал герцога. 105 (1): 107–134. CiteSeerX  10.1.1.140.3008. Дои:10.1215 / s0012-7094-00-10516-9. ISSN  0012-7094.