Теорема Эрдеша – Тетали - Erdős–Tetali theorem
В аддитивная теория чисел, площадь математика, то Теорема Эрдеша – Тетали является теорема существования относительно экономических аддитивные основы каждого заказа. В частности, он утверждает, что для каждого фиксированного целого числа , существует подмножество натуральных чисел удовлетворение
Теорема названа в честь Пол Эрдёш и Прасад В. Тетали, опубликовавший его в 1990 году.
Мотивация
Первоначальная мотивация для этого результата приписывается проблеме, поставленной С. Сидоном в 1932 г. экономические основы. Аддитивная основа называется экономичный[1] (или иногда тонкий[2]) когда это аддитивная основа порядка час и
Вопрос Сидона заключался в том, существует ли экономическая основа второго порядка. Положительный ответ дал П. Эрдёш в 1956 г.[4] урегулирование еще не названной теоремы Эрдеша – Тетали для случая . Хотя общая версия считалась верной, полного доказательства в литературе до публикации Erdős & Tetali (1990) не появлялось.[5]
Идеи в доказательстве
Доказательство является примером вероятностный метод, и его можно разделить на три основных этапа. Во-первых, начнем с определения случайная последовательность к
Дальнейшие разработки
Темпы роста, отличные от журнала
Возникает естественный вопрос, применимы ли аналогичные результаты для функций, отличных от log. То есть исправление целого числа , для которых функции ж можем ли мы найти подмножество натуральных чисел удовлетворение ? Как следует из результата C. Táfula (2018)[10] что если ж это локально интегрируемый, положительный реальная функция удовлетворение
- , и
- для некоторых ,
то существует аддитивный базис порядка час что удовлетворяет . Хотя улучшения верхней границы для ж можно разумно ожидать (например, неясно, необходимо), любые улучшения нижней границы могут создать контрпример к сильной версии Эрдеша – Турана (подробности см. ниже).
Вычислимые экономические основы
Все известные доказательства теоремы Эрдеша – Тетали по характеру используемого бесконечного вероятностного пространства таковы: неконструктивные доказательства. Однако Колунзакис (1995)[11] показал существование рекурсивный набор удовлетворение такой, что занимает полиномиальное время в п быть вычисленным. Вопрос для остается открытым.
Экономичные подбазы
Для произвольного аддитивного базиса , можно спросить, существует ли такой, что это экономическая основа. В. Ву (2000)[12] показал, что это так для Базы товаров , где для каждого фиксированного k есть экономичные подосновы порядка для каждого , для некоторой большой вычислимой постоянной .
Сильная форма гипотезы Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях
Оригинал Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях заявляет в самой общей форме, что если аддитивная основа порядка час тогда . Тем не менее в его статье 1956 г. Эрдёша-Тетали, П. Эрдеш спросил, может ли быть так, что в любое время является аддитивным базисом порядка 2. Вопрос естественным образом распространяется на , что делает его утверждение более сильным, чем утверждение Эрдеша – Турана. В некотором смысле высказывается предположение, что не существует аддитивных базисов, существенно более экономичных, чем те, существование которых гарантировано теоремой Эрдеша – Тетали.
Смотрите также
- Теорема Эрдеша – Фукса: Для любого ненулевого , есть нет набор что удовлетворяет .
- Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях: Если аддитивный базис порядка 2, то .
- Проблема Варинга, проблема представления чисел в виде суммы k-мощи, для фиксированных .
Рекомендации
- ^ Как в Halberstam & Roth (1983), стр. 111.
- ^ Как и в Tao & Vu (2006), стр. 13.
- ^ См. Определение 3 (стр. 3) O'Bryant, K. (2004), «Полная аннотированная библиография работ, связанных с последовательностями Сидона» (PDF), Электронный журнал комбинаторики, 11: 39.
- ^ Эрдеш, П. (1956). «Проблемы и результаты аддитивной теории чисел». Коллок-сюр-ла-Теория Номбр: 127–137.
- ^ п. 264 из Erdős & Tetali (1990).
- ^ См. Теорему 1 в главе III.
- ^ Раздел 1.8 книги Tao & Vu (2006).
- ^ Ву, Ван Х. (2000-07-01). «О концентрации многомерных многочленов с малым математическим ожиданием». Случайные структуры и алгоритмы. 16 (4): 344–363. CiteSeerX 10.1.1.116.1310. Дои:10.1002 / 1098-2418 (200007) 16: 4 <344 :: aid-rsa4> 3.0.co; 2-5. ISSN 1098-2418.[постоянная мертвая ссылка ]
- ^ Глава 8, с. 139 книги Alon & Spencer (2016).
- ^ Тафула, Кристиан (2019). «Расширение теоремы Эрдеша-Тетали». Случайные структуры и алгоритмы. 0: 173–214. arXiv:1807.10200. Дои:10.1002 / rsa.20812. ISSN 1098-2418.
- ^ Колунзакис, Михаил Н. (1995-10-13). «Эффективная аддитивная основа для целых чисел». Дискретная математика. 145 (1): 307–313. Дои:10.1016 / 0012-365X (94) 00044-J.
- ^ Ву, Ван Х. (2000-10-15). «Об уточнении проблемы Варинга». Математический журнал герцога. 105 (1): 107–134. CiteSeerX 10.1.1.140.3008. Дои:10.1215 / s0012-7094-00-10516-9. ISSN 0012-7094.
- Erdös, P .; Тетали, П. (1990). «Представления целых чисел в виде суммы k членов». Случайные структуры и алгоритмы. 1 (3): 245–261. ISSN 1098-2418. doi:10.1002 / RSA.3240010302.
- Halberstam, H .; Рот, К. Ф. (1983). Последовательности. Springer Нью-Йорк. ISBN 978-1-4613-8227-0. OCLC 840282845.
- Alon, N .; Спенсер, Дж. (2016). Вероятностный метод (4-е изд.). Вайли. ISBN 978-1-1190-6195-3. OCLC 910535517.
- Тао, Т .; Ву В. (2006). Аддитивная комбинаторика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521853869. OCLC 71262684.