Экспоненциальный тип - Exponential type

График функции выделен серым цветом. ${displaystyle e ^ {- pi z ^ {2}}}$, гауссиан, ограниченный действительной осью. Гауссиан не имеет экспоненциального типа, но функции, выделенные красным и синим цветом, являются односторонними приближениями, которые имеют экспоненциальный тип. ${displaystyle 2pi}$.

В комплексный анализ, филиал математика, а голоморфная функция Говорят, что из экспоненциальный тип C если это рост ограничен посредством экспоненциальная функция е^C|z| для некоторых ценный постоянный C как |z| → ∞. Когда функция ограничена таким образом, тогда ее можно выразить как определенные виды сходящихся суммирований по ряду других сложных функций, а также понимание того, когда можно применять такие методы, как Суммирование по Борелю, или, например, применить Преобразование Меллина, или выполнить приближение с помощью Формула Эйлера – Маклорена. Общий случай рассматривается Теорема Нахбина, что определяет аналогичное понятие Ψ-тип для общей функции Ψ (z) в отличие от е^z.

Основная идея

Функция ж(z), определенные на комплексная плоскость называется экспоненциальным типом, если существуют действительные константы M и τ такой, что

${displaystyle | f (re ^ {i heta}) | leq Me ^ {au r}}$

в пределах ${displaystyle r o infty}$. Здесь комплексная переменная z был написан как ${displaystyle z = re ^ {i heta}}$ чтобы подчеркнуть, что предел должен соблюдаться во всех направлениях θ. Обозначая τ инфимум всех таких τ тогда говорят, что функция ж имеет экспоненциальный тип τ.

Например, пусть ${displaystyle f (z) = sin (pi z)}$. Тогда говорят, что ${displaystyle sin (pi z)}$ имеет экспоненциальный тип π, поскольку π - наименьшее число, ограничивающее рост ${displaystyle sin (pi z)}$ вдоль мнимой оси. Итак, в этом примере Теорема Карлсона не может применяться, так как требует функций экспоненциального типа меньше, чем π. Точно так же Формула Эйлера – Маклорена также не может быть применен, поскольку он также выражает теорему, в конечном итоге закрепленную в теории конечные разности.

Формальное определение

А голоморфная функция ${displaystyle F (z)}$ Говорят, что из экспоненциальный тип ${displaystyle sigma> 0}$ если для каждого ${displaystyle varepsilon> 0}$ существует действительная постоянная ${displaystyle A_ {varepsilon}}$ такой, что

${displaystyle | F (z) | leq A_ {varepsilon} e ^ {(sigma + varepsilon) | z |}}$

за ${displaystyle | z | o infty}$ куда ${displaystyle zin mathbb {C}}$.Мы говорим ${displaystyle F (z)}$ имеет экспоненциальный тип, если ${displaystyle F (z)}$ имеет экспоненциальный тип ${displaystyle sigma}$ для некоторых ${displaystyle sigma> 0}$. Номер

${displaystyle au (F) = sigma = displaystyle limsup _ {| z | ightarrow infty} | z | ^ {- 1} log | F (z) |}$

экспоненциальный тип ${displaystyle F (z)}$. В предел высшего здесь означает предел супремум отношения вне заданного радиуса, когда радиус стремится к бесконечности. Это также верхний предел максимального отношения на данном радиусе, когда радиус стремится к бесконечности. Превышение предела может существовать, даже если максимальное значение радиуса р не имеет предела как р уходит в бесконечность. Например, для функции

${displaystyle F (z) = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {z ^ {10 ^ {n!}}} {(10 ^ {n!})!}}}$

значение

${displaystyle (max _ {| z | = r} log | F (z) |) / r}$

в ${displaystyle r = 10 ^ {n! -1}}$ асимптотичен ${displaystyle (log 10 ^ {(n-1)! (n-1) -1}) / 10 ^ {(n-1)! (n-1) -1}}$ и, таким образом, стремится к нулю при п уходит в бесконечность,^[1] но F(z) тем не менее имеет экспоненциальный тип 1, что можно увидеть, посмотрев на точки ${displaystyle z = 10 ^ {n!}}$.

Экспоненциальный тип относительно симметричного выпуклого тела

Штейн (1957) дал обобщение экспоненциального типа для целые функции из несколько сложных переменных. Предполагать ${displaystyle K}$ это выпуклый, компактный, и симметричный подмножество ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Известно, что для каждого такого ${displaystyle K}$ есть связанный норма ${displaystyle | cdot | _ {K}}$ со свойством, что

${displaystyle K = {xin mathbb {R} ^ {n}: | x | _ {K} leq 1}.}$

Другими словами, ${displaystyle K}$ это единичный шар в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ относительно ${displaystyle | cdot | _ {K}}$. Набор

${displaystyle K ^ {*} = {yin mathbb {R} ^ {n}: xcdot yleq 1 {ext {для всех}} xin {K}}}$

называется полярный набор а также выпуклый, компактный, и симметричный подмножество ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Кроме того, мы можем написать

${displaystyle | x | _ {K} = displaystyle sup _ {yin K ^ {*}} | xcdot y |.}$

Мы продлеваем ${displaystyle | cdot | _ {K}}$ из ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ к ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ к

${displaystyle | z | _ {K} = displaystyle sup _ {yin K ^ {*}} | zcdot y |.}$

Целая функция ${displaystyle F (z)}$ из ${displaystyle n}$-комплексные переменные называются экспоненциальными по отношению к ${displaystyle K}$ если для каждого ${displaystyle varepsilon> 0}$ существует действительная постоянная ${displaystyle A_ {varepsilon}}$ такой, что

${displaystyle | F (z) |$

для всех ${displaystyle zin mathbb {C} ^ {n}}$.

Fréchet space

Коллекции функций экспоненциального типа ${displaystyle au}$ может сформировать полный однородное пространство, а именно Fréchet space, посредством топология индуцированный счетным семейством нормы

${displaystyle | f | _ {n} = sup _ {zin mathbb {C}} exp left [-left (au + {frac {1} {n}} ight) | z | ight] | f (z) |. }$

Смотрите также

• Теорема Пэли – Винера.
• Пространство Пэли – Винера

Рекомендации

• Штейн, Э. (1957), «Функции экспоненциального типа», Анна. математики., 2, 65: 582–592, Дои:10.2307/1970066, JSTOR  1970066, МИСТЕР  0085342