Теорема Фостерса о реактивном сопротивлении - Википедия - Fosters reactance theorem

Теорема Фостера о реактивном сопротивлении является важной теоремой в области электрических сетевой анализ и синтез. Теорема утверждает, что реактивное сопротивление пассивного двухполюсника без потерь (однопортовый ) сеть всегда строго монотонно увеличивается с частотой. Легко видеть, что реактивные сопротивления индукторы и конденсаторы индивидуально увеличиваются с частотой, и на этой основе обычно может быть построено доказательство пассивных сетей без потерь. Доказательство теоремы представил Рональд Мартин Фостер в 1924 г., хотя ранее этот принцип был опубликован коллегами Фостера в Американский телефон и телеграф.

Теорема распространяется на допуски и всеобъемлющая концепция иммитансы. Следствием теоремы Фостера является то, что нули и полюсы реактивного сопротивления должно чередоваться с частотой. Фостер использовал это свойство для разработки двух канонические формы для реализации этих сетей. Работа Фостера стала важной отправной точкой для развития сетевой синтез.

Можно построить сети не-Фостера, используя активные компоненты, такие как усилители. Они могут вызвать сопротивление эквивалент отрицательной индуктивности или емкости. В преобразователь отрицательного импеданса является примером такой схемы.

Объяснение

Реактивность - это воображаемый часть комплекса электрический импеданс. Обе конденсаторы и индукторы обладают реактивным сопротивлением (но противоположного знака) и зависят от частоты. Спецификация, согласно которой сеть должна быть пассивной и без потерь, подразумевает, что в сети нет резисторов (без потерь), усилителей или источников энергии (пассивных). Следовательно, сеть должна полностью состоять из катушек индуктивности и конденсаторов, а полное сопротивление будет чисто мнимым числом с нулевой действительной частью. Теорема Фостера в равной степени применима к допуск сети, то есть восприимчивость (мнимая часть допуска) пассивного без потерь однопортовый монотонно увеличивается с частотой. Этот результат может показаться нелогичным, так как проводимость обратно пропорциональна импедансу, но его легко доказать. Если импеданс равен

${ Displaystyle Z = iX ,}$

куда ${ displaystyle scriptstyle X}$ реактивное сопротивление и ${ displaystyle scriptstyle i}$ это мнимая единица, то допуск определяется выражением

${ displaystyle Y = { frac {1} {iX}} = - i { frac {1} {X}} = iB}$

куда ${ displaystyle scriptstyle B}$ это подозрительность.

Если Икс монотонно возрастает с частотой, то 1 /Икс должен монотонно убывать. −1 /Икс следовательно, должно быть монотонно возрастающим, и, следовательно, доказано, что B тоже увеличивается.

В теории сетей часто бывает так, что принцип или процедура одинаково хорошо применимы к импедансу или допустимости, что отражает принцип двойственность для электрических сетей. В этих условиях удобно использовать понятие иммитанс, что может означать либо импеданс, либо полную проводимость. Математика выполняется без указания единиц измерения, пока не потребуется вычислить конкретный пример. Таким образом, теорему Фостера можно сформулировать в более общем виде как

Теорема Фостера (форма иммитанса)

Воображаемый иммитант пассивного однопортового устройства без потерь строго монотонно увеличивается с частотой.

Теорема Фостера довольно общая. В частности, это касается распределенный элемент сетей, хотя Фостер сформулировал это в терминах дискретных катушек индуктивности и конденсаторов. Поэтому он применим как на микроволновых частотах, так и на более низких частотах.^[1][2]

Примеры

График зависимости реактивного сопротивления катушки индуктивности от частоты	График зависимости реактивного сопротивления конденсатора от частоты
График реактивного сопротивления серии LC схема против частоты	График реактивного сопротивления параллельной LC схема против частоты

Следующие ниже примеры иллюстрируют эту теорему на ряде простых схем.

Индуктор

Импеданс индуктор дан кем-то,

${ Displaystyle Z = я омега L ,}$

${ displaystyle scriptstyle L}$ является индуктивность

${ displaystyle scriptstyle omega}$ является угловая частота

так что реактивное сопротивление,

${ Displaystyle X = омега L ,}$

который при осмотре можно увидеть монотонно (и линейно) возрастающим с частотой.^[3]

Конденсатор

Импеданс конденсатор дан кем-то,

${ displaystyle Z = { frac {1} {я omega C}}}$

${ displaystyle scriptstyle C}$ является емкость

так что реактивное сопротивление,

${ displaystyle X = - { frac {1} { omega C}}}$

который снова монотонно увеличивается с частотой. Функция импеданса конденсатора идентична функции полной проводимости катушки индуктивности и наоборот. Это общий результат, что двойной любой функции иммитанса, которая подчиняется теореме Фостера, также будет следовать теореме Фостера.^[3]

Последовательный резонансный контур

Серия LC схема имеет импеданс, который является суммой импедансов катушки индуктивности и конденсатора,

${ Displaystyle Z = я omega L + { frac {1} {я omega C}} = i left ( omega L - { frac {1} { omega C}} right)}$

На низких частотах в реактивном сопротивлении преобладает конденсатор, поэтому оно велико и отрицательно. Оно монотонно увеличивается до нуля (величина реактивного сопротивления конденсатора становится меньше). Реактивное сопротивление проходит через ноль в точке, где величины реактивных сопротивлений конденсатора и катушки индуктивности равны ( резонансная частота ), а затем продолжает монотонно увеличиваться, поскольку реактивное сопротивление катушки индуктивности становится все более доминирующим.^[4]

Параллельный резонансный контур

Параллель LC цепь является двойником последовательной цепи и, следовательно, ее функция проводимости имеет ту же форму, что и функция полного сопротивления последовательной цепи,

${ Displaystyle Y = я омега С + { гидроразрыва {1} {я омега L}}}$

Функция импеданса:

${ Displaystyle Z = я влево ({ гидроразрыва { omega L} {1- omega ^ {2} LC}} right)}$

На низких частотах реактивное сопротивление, в котором преобладает индуктор, небольшое и положительное. Это монотонно возрастает в сторону столб на антирезонансный частота, при которой индуктивности индуктивности и конденсатора равны, противоположны и компенсируются. За полюсом реактивное сопротивление большое и отрицательное и увеличивается до нуля, где преобладает емкость.^[4]

Нули и полюсы

График реактивного сопротивления первой формы канонического импеданса движущей точки Фостера, показывающий схему чередования полюсов и нулей. Для реализации этой функции импеданса требуются три антирезонатора.

Следствием теоремы Фостера является то, что нули и полюсы любой функции пассивного иммитанса должны чередоваться с увеличением частоты. После прохождения полюса функция будет отрицательной и должна пройти через ноль перед достижением следующего полюса, если она должна монотонно возрастать.^[1]

Полюса и нули функции иммитанса полностью определяют частота характеристики сети Фостера. Две сети Фостера с одинаковыми полюсами и нулями будут схемы замещения в том смысле, что их функции иммитанса будут идентичными. Между ними может быть разница в коэффициенте масштабирования (все элементы иммитанса, умноженные на один и тот же коэффициент масштабирования), но форма двух функций иммитанса будут идентичны.^[5]

Еще одно следствие теоремы Фостера состоит в том, что фаза иммитанса должен монотонно возрастать с увеличением частоты. Следовательно, график функции иммитанса Фостера на Диаграмма Смита должен всегда перемещаться по карте по часовой стрелке с нарастающей частотой.^[2]

Реализация

Первая форма реализации канонического импеданса движущей точки Фостера. Если полиномиальная функция имеет полюс в точке ω= 0 один из LC секции уменьшатся до одного конденсатора. Если полиномиальная функция имеет полюс в точке ω= ∞ один из LC секции сократятся до одного индуктора. Если присутствуют оба полюса, то две секции сводятся к серии LC схема.

Вторая форма реализации канонического импеданса движущей точки Фостера. Если полиномиальная функция имеет нуль в точке ω= 0 один из LC секции сократятся до одного индуктора. Если полиномиальная функция имеет нуль в точке ω= ∞ один из LC секции уменьшатся до одного конденсатора. Если присутствуют оба нуля, то две секции сводятся к параллельному LC схема.

Однопортовый пассивный иммитанс, состоящий из дискретных элементов (т. Е. Не распределенные элементы ) можно представить как рациональная функция из s,

${ Displaystyle Z (s) = { гидроразрыва {P (s)} {Q (s)}}}$

куда,

${ displaystyle scriptstyle Z (s)}$ иммитанс

${ Displaystyle scriptstyle P (s), Q (s)}$ находятся многочлены с действительными положительными коэффициентами

${ displaystyle scriptstyle s}$ это Преобразование Лапласа переменная, которую можно заменить на ${ displaystyle scriptstyle i omega}$ при работе с устойчивое состояние AC сигналы.

Это следует из того, что импеданс L и C элементы сами по себе являются простыми рациональными функциями, и любая алгебраическая комбинация рациональных функций приводит к другой рациональной функции.

Иногда это называют сопротивление ведущей точки потому что это импеданс в том месте в сети, к которому подключена внешняя цепь и «управляет» ею сигналом. В своей статье Фостер описывает, как такая рациональная функция без потерь может быть реализована (если она может быть реализована) двумя способами. Первая форма Фостера состоит из ряда последовательно соединенных параллельных LC-цепей. Вторая форма импеданса возбуждающей точки Фостера состоит из ряда параллельно соединенных последовательных LC-цепей. Реализация импеданса ведущей точки отнюдь не уникальна. Реализация Фостера имеет то преимущество, что полюса и / или нули напрямую связаны с конкретным резонансным контуром, но есть много других реализаций. Возможно, наиболее известным является Вильгельм Кауэр с лестничная реализация от конструкции фильтра.^[6][7][8]

Сети Non-Foster

Сеть Фостера должна быть пассивной, поэтому активная сеть, содержащая источник питания, может не подчиняться теореме Фостера. Это так называемые сети Фостера.^[9] В частности, схемы, содержащие усилитель мощности с положительный отзыв может иметь реактивное сопротивление, которое уменьшается с частотой. Например, можно создать отрицательную емкость и индуктивность с помощью преобразователь отрицательного импеданса схемы. Эти схемы будут иметь функцию иммитанса с фазой ± π / 2, как положительное реактивное сопротивление, но амплитуду реактивного сопротивления с отрицательной крутизной в зависимости от частоты.^[6]

Они интересны, потому что могут выполнять задачи, недоступные для сети Foster. Например, обычный пассивный Фостер согласование импеданса сети могут соответствовать только импедансу антенна с линия передачи на дискретных частотах, что ограничивает полосу пропускания антенны. Сеть, не принадлежащая Фостеру, может согласовывать антенну в непрерывном диапазоне частот.^[9] Это позволило бы создавать компактные антенны с широкой полосой пропускания, нарушая Предел Чу-Харрингтона. Практические не-Фостерные сети - активная область исследований.

История

Теорема разработана в Американский телефон и телеграф в рамках продолжающихся исследований улучшенных фильтров для телефонных мультиплексирование Приложения. Эта работа имела коммерческое значение; большие суммы денег можно было сэкономить, увеличив количество телефонных разговоров, которые можно было вести по одной линии.^[10] Теорема была впервые опубликована Кэмпбелл в 1922 г., но без доказательств.^[11] Эта теорема сразу же широко использовалась при проектировании фильтров, она, наряду с доказательством, широко представлена ​​в Зобель эпохальный документ 1923 года, в котором резюмировалось состояние дел в области проектирования фильтров того времени.^[12] В следующем году Фостер опубликовал свою статью, в которой были указаны его канонические формы реализации.^[13]

Кауэр в Германии осознали важность работы Фостера и использовали ее в качестве основы сетевой синтез. Среди многих нововведений Кауэра было распространение работы Фостера на все двухэлементные сети после открытия изоморфизм между ними. Кауэр был заинтересован в поиске необходимое и достаточное условие для реализации рациональной однопортовой сети на основе ее полиномиальной функции, условие, которое теперь известно как положительно-действительная функция, и обратная задача о том, какие сети были эквивалентными, то есть имели одну и ту же полиномиальную функцию. Обе эти проблемы были важными в теории сетей и проектировании фильтров. Сети Фостера - это только подмножество реализуемых сетей,^[14]

Рекомендации

Библиография

• Фостер, Р. М. "Теорема реактивного сопротивления ", Технический журнал Bell System, том 3, нет. 2. С. 259–267, ноябрь 1924 г.
• Кэмпбелл, Г. А. "Физическая теория фильтра электрических волн ", Технический журнал Bell System, Том 1, нет. 2, стр. 1–32, ноябрь 1922 г.
• Зобель, О. Дж. "Теория и конструкция однородных и составных фильтров электрических волн ", Технический журнал Bell System, том 2, нет. 1. С. 1–46, январь 1923 г.
• Мэтью М. Радманеш, Основы проектирования ВЧ и СВЧ, Дом Автор, 2007 ISBN  1-4259-7242-X.
• Джеймс Т. Аберли, Роберт Лопсингер-Ромак, Антенны с согласующими сетями не Фостера, Morgan & Claypool Publishers, 2007 г. ISBN  1-59829-102-5.
• Колин Черри, Импульсы и переходные процессы в цепях связи, Тейлор и Фрэнсис, 1950.
• К. С. А. Смит, Р. Э. Элли, Электрические схемы: введение, Издательство Кембриджского университета, 1992 г. ISBN  0-521-37769-2.
• Кэрол Грей Монтгомери, Роберт Генри Дике, Эдвард М. Перселл, Принципы СВЧ цепей, ИЭПП, 1987 г. ISBN  0-86341-100-2.
• Э. Кауэр, У. Матис и Р. Паули "Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900–1945) ", Материалы четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000), Перпиньян, июнь 2000 г. Проверено 19 сентября 2008 г.
• Брей, Джей, Инновации и коммуникационная революция, Институт инженеров-электриков, 2002 г. ISBN  0-85296-218-5.