Теорема Грунского - Википедия - Grunskys theorem

В математика, Теорема Грунского, благодаря немецкому математику Гельмут Грунский, является результатом комплексный анализ касательно голоморфный однолистные функции определены на единичный диск в сложные числа. Теорема утверждает, что однолистная функция, определенная на единичном круге, фиксируя точку 0, отображает каждый диск | z | < р на звездный домен за р ≤ tanh π / 4. Самый большой р для которого это верно, называется радиус звездности функции.

Заявление

Позволять ж - однолистная голоморфная функция на единичном круге D такой, что ж(0) = 0. Тогда для всех р ≤ tanh π / 4, образ диска | z | < р является звездный относительно 0, т.е. инвариантно относительно умножения на действительные числа в (0,1).

Неравенство Грунского

Если ж(z) однозначно на D с ж(0) = 0, тогда

${ displaystyle left | log {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq log {1+ | z | более 1- | z |}.}$

Взяв действительную и мнимую части логарифма, получаем два неравенства

${ displaystyle left | {zf ^ { prime} (z) над f (z)} right | leq {1+ | z | более 1- | z |}}$

и

${ displaystyle left | arg {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq log {1+ | z | более 1- | z |}.}$

Для фиксированных z, оба эти равенства достигаются подходящими Функции Кебе

${ displaystyle g_ {w} ( zeta) = { zeta over (1 - { overline {w}} zeta) ^ {2}},}$

куда | w | = 1.

Доказательство

Грунский (1932) изначально эти неравенства были доказаны на основе экстремальной техники Людвиг Бибербах. Последующие доказательства, изложенные в Голузин (1939), полагался на Уравнение Лёвнера. Позднее были даны более элементарные доказательства, основанные на Неравенства Голузина, эквивалентная форма неравенств Грунского (1939) для Матрица Грунского.

Для однолистной функции грамм в z > 1 с расширением

${ displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots.}$

Неравенства Голузина утверждают, что

${ displaystyle left | sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} lambda _ {i} lambda _ {j} log {g (z_ {i }) - g (z_ {j}) over z_ {i} -z_ {j}} right | leq sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n } lambda _ {i} { overline { lambda _ {j}}} log {z_ {i} { overline {z_ {j}}} over z_ {i} { overline {z_ {j} }} - 1},}$

где z_я различные точки с |z_я| > 1 и λ_я - произвольные комплексные числа.

Принимая п = 2. с λ₁ = - λ₂ = λ, из неравенства следует

${ displaystyle left | log {g ^ { prime} ( zeta) g ^ { prime} ( eta) ( zeta - eta) ^ {2} over (g ( zeta) -g ( eta)) ^ {2}} right | leq log {| 1- zeta { overline { eta}} | ^ {2} over (| zeta | ^ {2} -1) (| eta | ^ {2} -1)}.}$

Если грамм - нечетная функция и η = - ζ, отсюда следует

${ displaystyle left | log { zeta g ^ { prime} ( zeta) over g ( zeta)} right | leq {| zeta | ^ {2} +1 over | zeta | ^ {2} -1}.}$

Наконец, если ж - любая нормализованная однолистная функция в D, требуемое неравенство для ж следует, взяв

${ Displaystyle г ( дзета) = е ( дзета ^ {- 2}) ^ {- {1 более 2}}}$

с ${ displaystyle z = zeta ^ {- 2}.}$

Доказательство теоремы

Позволять ж быть однолистной функцией на D с ж(0) = 0. По Критерий Неванлинны, ж звездный на | z | < р если и только если

${ Displaystyle Re {zf ^ { prime} (z) над f (z)} geq 0}$

за | z | < р. Эквивалентно

${ displaystyle left | arg {zf ^ { prime} (z) over f (z)} right | leq { pi over 2}.}$

С другой стороны, по неравенству Грунского выше,

${ displaystyle left | arg {zf ^ { prime} (z) над f (z)} right | leq log {1+ | z | более 1- | z |}.}$

Таким образом, если

${ displaystyle log {1+ | z | над 1- | z |} leq { pi над 2},}$

неравенство выполняется при z. Это условие эквивалентно

${ displaystyle | z | leq tanh { pi over 4}}$

и поэтому ж звездообразно на любом диске | z | < р с р ≤ tanh π / 4.

Рекомендации

• Дурен, П. Л. (1983), Унивалентные функции, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, стр. 95–98, ISBN  0-387-90795-5
• Голузин, Г. (1939), «Внутренние проблемы теории однолистных функций», Успехи матем. Наук, 6: 26–89 (на русском)
• Голузин, Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного, Переводы математических монографий, 26, Американское математическое общество
• Гудман, А. (1983), Унивалентные функции, я, Маринер Паблишинг Ко., ISBN  0-936166-10-X
• Гудман, А. (1983), Унивалентные функции, II, Маринер Паблишинг Ко., ISBN  0-936166-11-8
• Грунский, Х. (1932), "Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche (вступительная диссертация)", Schr. Математика. Inst. U. Inst. Энгью. Математика. Univ. Берлин, 1: 95–140, архивировано с оригинал на 2015-02-11, получено 2011-12-07 (на немецком)
• Грунский, Х. (1934), "Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung", Jber. Deutsch. Math.-Verein., 43: 140–143 (на немецком)
• Хейман, В. К. (1994), Многовалентные функции, Кембриджские трактаты по математике, 110 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  0-521-46026-3
• Неванлинна, Р. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Öfvers. Finska Vet. Soc. Для ч., 53: 1–21
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht