Матрица Грунского - Википедия - Grunsky matrix

Математический анализ → Комплексный анализ
Комплексный анализ
Сложные числа
Настоящий номер Мнимое число Комплексная плоскость Комплексное сопряжение Комплексное число единицы
Комплексные функции
Комплексная функция Аналитическая функция Голоморфная функция Уравнения Коши – Римана Формальный степенной ряд
Основная теория
Нули и полюсы Интегральная теорема Коши Местный примитив Интегральная формула Коши Номер обмотки Серия Laurent Изолированная особенность Теорема об остатке Конформная карта Лемма Шварца Гармоническая функция Уравнение Лапласа
Геометрическая теория функций
Люди
Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер Карл Фридрих Гаусс Жак Адамар Киёси Ока Бернхард Риманн Карл Вейерштрасс
Математический портал

В комплексный анализ и геометрическая теория функций, то Матрицы Грунского, или же Грунские операторы, - бесконечные матрицы, введенные в 1939 г. Гельмут Грунский. Матрицы соответствуют либо одному голоморфная функция на единичный диск или пара голоморфных функций на единичном круге и его дополнении. В Неравенства Грунского выражают свойства ограниченности этих матриц, которые в общем случае операторы сжатия или в важных особых случаях унитарные операторы. Как показал Грунский, эти неравенства выполняются тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет вид однозначный. Неравенства эквивалентны неравенствам Голузина, открытым в 1947 году. Неравенства Грунского, грубо говоря, дают информацию о коэффициентах логарифма однолистной функции; более поздние обобщения Милин, начиная с Неравенство Лебедева – Милина, удалось возвести в степень неравенства, чтобы получить неравенства для коэффициентов самой однолистной функции. Матрица Грунского и связанные с ней неравенства были первоначально сформулированы в более общем контексте однолистных функций между областью, ограниченной конечным числом достаточно гладких Кривые Иордании и его дополнение: результаты Грунского, Голузина и Милина обобщаются на этот случай.

Исторически неравенства для диска использовались при доказательстве частных случаев Гипотеза Бибербаха до шестого коэффициента; возведенные в степень неравенства Милина использовались де Бранж в окончательном решении. Подробное изложение этих методов можно найти в Хейман (1994). Операторы Грунского и их Детерминанты Фредгольма также связаны со спектральными свойствами ограниченных областей в комплексная плоскость. У операторов есть другие приложения в конформное отображение, Теория Тейхмюллера и конформная теория поля.

Матрица Грунского

Если ж(z) - голоморфная однолистная функция на единичном круге, нормированная так, что ж(0) = 0 и f ′(0) = 1, функция

${ Displaystyle г (г) = е (г ^ {- 1}) ^ {- 1}}$

- ненулевая однолистная функция на |z| > 1 с простым полюсом в ∞ с вычетом 1:

${ displaystyle g (z) = z + b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

Та же формула обращения применяется к грамм возвращает ж и устанавливает однозначное соответствие между этими двумя классами функций.

В Матрица Грунского (c_нм) из грамм определяется уравнением

${ displaystyle log { frac {g (z) -g ( zeta)} {z- zeta}} = - sum _ {m, n> 0} c_ {nm} z ^ {- m} zeta ^ {- n}}$

Это симметричная матрица. Его записи называются Коэффициенты Грунского из грамм.

Обратите внимание, что

${ displaystyle log {g (z ^ {- 1}) - g ( zeta ^ {- 1}) over z ^ {- 1} - zeta ^ {- 1}} = log {f (z ) -f ( zeta) over z- zeta} - log {f (z) over z} - log {f ( zeta) over zeta},}$

так что коэффициенты могут быть выражены непосредственно через ж. Действительно, если

${ Displaystyle журнал {е (z) -f ( zeta) над z- zeta} = - sum _ {m, n geq 0} d_ {mn} z ^ {n} zeta ^ {n },}$

тогда для м, п > 0

${ displaystyle d_ {mn} = c_ {mn}}$

и d_0п = d_п0 дан кем-то

${ displaystyle log { frac {f (z)} {z}} = sum _ {n> 0} d_ {0n} z ^ {n}}$

с

${ displaystyle d_ {00} = 0.}$

Неравенства Грунского

Если ж - голоморфная функция в единичном круге с матрицей Грунского (c_нм), Неравенства Грунского утверждать, что

${ displaystyle left | sum _ {1 leq m, n leq N} c_ {mn} lambda _ {m} lambda _ {n} right | leq sum _ {1 leq n leq N} { frac {| lambda _ {n} | ^ {2}} {n}}}$

для любой конечной последовательности комплексных чисел λ₁, ..., λ_N.

Многочлены Фабера

Коэффициенты Грунского нормированной однолистной функции в |z| > 1

${ displaystyle g (z) = z + b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

- многочлены от коэффициентов б_я который может быть вычислен рекурсивно в терминах Полиномы Фабера Φ_п, монический многочлен степени п в зависимости от грамм.

Взяв производную в z определяющего соотношения коэффициентов Грунского и умножением на z дает

${ displaystyle { frac {zg '(z)} {g (z) -g ( zeta)}} - { frac {z} {z- zeta}} = sum _ {m, n> 0 } mc_ {mn} z ^ {- m} zeta ^ {- n}.}$

Многочлены Фабера определяются соотношением

${ displaystyle { frac {zg '(z)} {g (z) -w}} = sum _ {n geq 0} Phi _ {n} (w) z ^ {- n}.}$

Разделив это отношение на z и интеграция между z и ∞ дает

${ displaystyle log { frac {g (z) -w} {z}} = - sum _ {n geq 1} {1 over n} Phi _ {n} (w) z ^ {- n}.}$

Это дает рекуррентные соотношения для п > 0

${ Displaystyle Phi _ {n} (w) = (w-b_ {0}) Phi _ {n-1} (w) -nb_ {n} - sum _ {0 leq i leq n- 1} b_ {ni} Phi _ {i} (w)}$

с

${ Displaystyle Phi _ {0} (ш) экв 1}$

Таким образом

${ displaystyle sum _ {n geq 0} Phi _ {n} (g (z)) zeta ^ {- n} = 1 + sum _ {n geq 1} left (z ^ {n } + sum _ {m geq 1} c_ {nm} z ^ {- m} right) zeta ^ {- n},}$

так что для п ≥ 1

${ displaystyle Phi _ {n} (g (z)) = z ^ {n} + sum _ {m geq 1} c_ {nm} z ^ {- m}.}$

Последнее свойство однозначно определяет многочлен Фабера грамм.

Теорема площади Милина

Позволять грамм(z) - однолистная функция на |z| > 1 нормализовано, так что

${ displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

и разреши ж(z) - непостоянная голоморфная функция на C.

Если

${ Displaystyle е (г (z)) = сумма _ {- infty} ^ { infty} c_ {n} z ^ {n}}$

это расширение Лорана на z > 1, тогда

${ displaystyle sum _ {n> 0} n | c_ {n} | ^ {2} leq sum _ {n> 0} n | c _ {- n} | ^ {2}.}$

Доказательство

Если Ω - открытая ограниченная область с гладкой границей ∂Ω и час - дифференцируемая функция на Ω, продолжающаяся до непрерывной функции на замыкании, то по Теорема Стокса применяется к дифференциальная 1-форма ${ displaystyle omega = h (z) dz,}$

${ Displaystyle int _ { partial Omega} час (z) , dz = int _ { partial Omega} omega = iint _ { Omega} d omega = iint _ { Omega} (i partial _ {x} - partial _ {y}) h , dx , dy = 2i iint _ { Omega} partial _ { overline {z}} h , dx , dy. }$

За р > 1, пусть Ω_р быть дополнением образа |z|> р под грамм(z), ограниченная область. Тогда по указанному выше тождеству с час = f ′, площадь ж(Ω_р) дан кем-то

${ displaystyle A (r) = iint _ { Omega _ {r}} | f '(z) | ^ {2} , dx , dy = {1 over 2i} int _ { partial Омега _ {r}} { overline {f (z)}} f '(z) , dz = {1 over 2i} int _ {| w | = r} { overline {f (g (w )))}} f '(g (w)) g' (w) , dw.}$

Следовательно

${ displaystyle A (r) = pi sum _ {n} n | c _ {- n} | ^ {2} r ^ {2n}.}$

Поскольку площадь неотрицательна

${ displaystyle sum _ {n> 0} n | c_ {n} | ^ {2} r ^ {- 2n} leq sum _ {n> 0} n | c _ {- n} | ^ {2} г ^ {2n}.}$

Результат следует, если позволить р уменьшиться до 1.

Доказательство Милиным неравенств Грунского

Если

${ displaystyle p (w) = sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- 1} lambda _ {n} Phi _ {n} (w),}$

тогда

${ displaystyle p (g (z)) = left ( sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- 1} lambda _ {n} z ^ {n} right) + left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} c_ {nm} z ^ {- m} right).}$

Применяя теорему Милина о площади,

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ { infty} m left | sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {n} right | ^ {2} leq sum _ {n = 1} ^ {N} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

(Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда дополнение образа грамм имеет Мера Лебега нуль.)

Так a fortiori

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ {N} m left | sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {n} right | ^ {2} leq sum _ {n = 1} ^ {N} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

Следовательно, симметричная матрица

${ displaystyle a_ {mn} = { sqrt {mn}} c_ {mn},}$

рассматривается как оператор на C^N со стандартным внутренним продуктом удовлетворяет

${ Displaystyle | Ax | Leq | х |.}$

Так что Неравенство Коши – Шварца

${ Displaystyle | (Ax, y) | Leq | х | CDOT | у |.}$

С

${ displaystyle x_ {n} = { frac { lambda _ {n}} { sqrt {n}}} = { overline {y_ {n}}},}$

это дает неравенство Грунского:

${ displaystyle left | sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {m} lambda _ {n} right | ^ {2} leq sum _ {n = 1} ^ {N} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2},}$

Критерий однолистности

Позволять грамм(z) - голоморфная функция на z > 1 с

${ displaystyle g (z) = z + b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

потом грамм однолистно тогда и только тогда, когда коэффициенты Грунского грамм удовлетворяют неравенствам Грунского для всех N.

Фактически уже было показано, что условия необходимы. Чтобы убедиться в достаточности, обратите внимание, что

${ Displaystyle log {g (z) -g ( zeta) over z- zeta} = - sum _ {m, n geq 1} c_ {mn} z ^ {- m} zeta ^ { -n}}$

имеет смысл, когда |z| и | ζ | велики, поэтому коэффициенты c_млн определены. Если выполняются неравенства Грунского, то легко видеть, что |c_млн| равномерно ограничены, поэтому разложение в левой части сходится при |z| > 1 и | ζ | > 1. Возбуждая обе стороны, это означает, что грамм однозначно.

Пары однолистных функций

Позволять ${ Displaystyle F (z)}$ и ${ Displaystyle г ( zeta)}$ - однолистные голоморфные функции на |z| <1 и | ζ | > 1, так что их образы не пересекаются в C. Предположим, что эти функции нормированы так, что

${ displaystyle g ( zeta) = zeta + a_ {0} + b_ {1} zeta ^ {- 1} + b_ {2} zeta ^ {- 2} + cdots}$

и

${ Displaystyle F (z) = af (z)}$

с а ≠ 0 и

${ displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots.}$

В Матрица Грунского (c_млн) этой пары функций определена для всех ненулевых м и п по формулам:

${ Displaystyle { begin {align} log {g ( zeta) -g ( eta) over zeta - eta} & = - sum _ {m, n geq 1} c_ {mn} zeta ^ {- m} eta ^ {- n} log {g ( zeta) -f (z) over zeta} - log {g ( zeta) over zeta} & = - sum _ {m, n geq 1} c _ {- m, n} z ^ {m} zeta ^ {- n} log {f (z) -f (w) over zw} - log {f (z) over z} - log {f (w) over w} & = - sum _ {m, n geq 1} c _ {- m, -n} z ^ {m} w ^ {п} конец {выровнено}}}$

с

${ displaystyle c_ {m, -n} = c _ {- n, m}, qquad m, n geq 1,}$

так что (c_млн) - симметричная матрица.

В 1972 году американский математик Джеймс Хаммел распространил на эту матрицу неравенства Грунского, доказав, что для любой последовательности комплексных чисел λ_±1, ..., λ_±N

${ displaystyle left | sum _ {n, m neq 0} c_ {mn} lambda _ {m} lambda _ {n} right | leq sum _ {n neq 0} { frac {1} {| n |}} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

Доказательство проводится путем вычисления площади изображения дополнения изображений |z| < р <1 меньше F и | ζ | > р > 1 меньше грамм при подходящем полиноме Лорана час(ш).

Позволять ${ displaystyle phi _ {n}}$ и ${ displaystyle phi _ {- n}}$ обозначим полиномы Фабера от грамм и ${ Displaystyle е (г ^ {- 1}) ^ {- 1}}$ и установить

${ Displaystyle час (ш) = сумма _ {п geq 1} { гидроразрыва { лямбда _ {n}} {n}} Phi _ {n} (ш) + сумма _ {п geq 1 } { frac { lambda _ {- n}} {n}} Phi _ {- n} left ({ frac {a} {w}} right).}$

Потом:

${ displaystyle { begin {align} h (F (z)) & = sum _ {n geq 1} { frac { lambda _ {- n}} {n}} z ^ {- n} + alpha + sum _ {n geq 1} alpha _ {n} z ^ {n}, && | z | <1, alpha _ {n} = sum _ {m} c _ {- n, m } lambda _ {m} h (g ( zeta)) & = sum _ {n geq 1} { frac { lambda _ {n}} {n}} zeta ^ {n} + beta + sum _ {n geq 1} beta _ {n} zeta ^ {- n}, && | zeta |> 1, beta _ {n} = sum _ {m} c_ {nm } lambda _ {м} конец {выровнено}}}$

Площадь равна

${ displaystyle int | h '(z) | ^ {2} , dx , dy = { frac {1} {2i}} int _ {C_ {1}} { overline {h}} ( z) h '(z) , dz - { frac {1} {2i}} int _ {C_ {2}} { overline {h}} (z) h' (z) , dz,}$

куда C₁ образ круга | ζ | знак равно р под грамм и C₂ образ круга |z| = р под F.

Следовательно

${ displaystyle { frac {1} { pi}} iint | h '| ^ {2} , dx , dy = left [ sum _ {n geq 1} { frac {1} { n}} | lambda _ {- n} | ^ {2} - sum _ {n geq 1} | alpha _ {n} | ^ {2} r ^ {2n} right] + left [ sum _ {n geq 1} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2} - sum _ {n geq 1} | beta _ {n} | ^ {2} R ^ {- 2n} right].}$

Поскольку площадь положительная, правая часть также должна быть положительной. Сдача р увеличить до 1 и р уменьшиться до 1, следует, что

${ displaystyle sum _ {m neq 0} | m | left | sum _ {n neq 0} c_ {mn} lambda _ {n} right | ^ {2} leq sum _ { m neq 0} {1 over | m |} | lambda _ {m} | ^ {2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда дополнение изображений имеет Мера Лебега нуль.

Как и в случае с одной функцией грамм, отсюда следует требуемое неравенство.

Унитарность

Матрица

${ displaystyle a_ {mn} = { sqrt {| mn |}} cdot c_ {mn}}$

единственной функции грамм или пара функций F, грамм унитарен тогда и только тогда, когда дополнение образа грамм или объединение образов F и грамм имеет нулевую меру Лебега. Итак, грубо говоря, в случае одной функции изображение представляет собой область щели в комплексной плоскости; а в случае двух функций две области разделены замкнутой жордановой кривой.

Фактически бесконечная матрица А действуя на Гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей удовлетворяет

${ displaystyle A ^ {*} A = I,}$

Но если J обозначает комплексное сопряжение последовательности, то

${ Displaystyle JAJ = A ^ {*}, quad JA ^ {*} J = A}$

поскольку А симметрично. Следовательно

${ displaystyle AA ^ {*} = JA ^ {*} AJ = I}$

так что А унитарен.

Эквивалентные формы неравенств Грунского

Неравенства Голузина

Если грамм(z) - нормированная однолистная функция от |z| > 1, z₁, ..., z_N различные точки с |z_п| > 1 и α₁, ..., α_N - комплексные числа, неравенства Голузина, доказанные в 1947 году российским математиком Геннадием Михайловичем Голузиным (1906-1953), утверждают, что

${ displaystyle left | sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {m} alpha _ {n} log {g (z_ {m }) - g (z_ {n}) over z_ {m} -z_ {n}} right | ^ {2} leq sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1 } ^ {N} alpha _ {m} { overline { alpha _ {n}}} log {1 over 1- (z_ {m} { overline {z_ {n}}}) ^ {- 1}}.}$

Чтобы вывести их из неравенств Грунского, пусть

${ displaystyle lambda _ {k} = sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {n} z_ {n} ^ {- k}.}$

за k > 0.

Наоборот, неравенства Грунского следуют из неравенств Голузина, если взять

${ displaystyle alpha _ {m} = {1 over N} sum _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} z_ {n} ^ {m}.}$

куда

${ displaystyle z_ {n} = re ^ {2 pi in over N}}$

с р > 1, стремясь к ∞.

Неравенства Бергмана – Шиффера.

Бергман и Шиффер (1951) дал другой вывод неравенств Грунского, используя воспроизводящие ядра и сингулярные интегральные операторы в геометрическая теория функций; более свежий подход можно найти в Баранов и Хеденмальм (2008).

Позволять ж(z) - нормированная однолистная функция от |z| <1, пусть z₁, ..., z_N быть различными точками с |z_п| <1 и пусть α₁, ..., α_N быть комплексными числами. Неравенства Бергмана-Шиффера утверждают, что

${ displaystyle left | sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {m} alpha _ {n} left [{ frac {f '(z_ {m}) f' (z_ {n})} {(f (z_ {m}) - f (z_ {n})) ^ {2}}} - { frac {1} {(z_ {m} -z_ {n}) ^ {2}}} right] right | leq sum _ {m = 1} ^ {N} sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {m} { overline { alpha _ {n}}} { frac {1} {(1-z_ {m} { overline {z_ {n}}}) ^ {2}}}.}.}$

Чтобы вывести эти неравенства из неравенств Грунского, положим

${ displaystyle lambda _ {k} = k sum _ {n = 1} ^ {N} alpha _ {n} z_ {n} ^ {k}.}$

за k > 0.

Наоборот, неравенства Грунского следуют из неравенств Бергмана-Шиффера, если взять

${ displaystyle alpha _ {m} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {n}} lambda _ {n} z_ { n} ^ {m}.}$

куда

${ displaystyle z_ {n} = re ^ { frac {2 pi in} {N}}}$

с р <1, стремясь к 0.

Приложения

Неравенства Грунского влекут множество неравенств для однолистных функций. Они также использовались Шиффером и Чарзински в 1960 году, чтобы дать совершенно элементарное доказательство того, что Гипотеза Бибербаха для четвертого коэффициента; гораздо более сложное доказательство было ранее найдено Шиффером и Гарабедяном в 1955 году.В 1968 году Педерсен и Одзава независимо друг от друга использовали неравенства Грунского для доказательства гипотезы для шестого коэффициента.^[1][2]

В доказательстве Шиффера и Чарзинского, если

${ Displaystyle е (х) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + a_ {4} z ^ {4} + cdots}$

нормированная однолистная функция в |z| <1, то

${ Displaystyle г (z) = е (z ^ {2}) ^ {- 1/2} = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {3} z ^ {- 3} + cdots }$

- нечетная однолистная функция в |z| > 1.

Объединение Теорема площади Гронуолла за ж с неравенствами Грунского для первого минора 2 x 2 матрицы Грунского грамм приводит к оценке |а₄| в терминах простой функции а₂ и свободный комплексный параметр. Свободный параметр можно выбрать так, чтобы граница стала функцией половины модуля а₂ и затем можно напрямую проверить, что эта функция не больше 4 в диапазоне [0,1].

Как показал Милин, неравенства Грунского можно возвести в степень. В простейшем случае пишут

${ displaystyle log {g (z) -g ( zeta) over z- zeta} = - sum _ {n geq 1} a_ {n} ( zeta ^ {- 1}) z ^ { -n}.}$

с а_п(ш) голоморфных по |ш| < 1.

Неравенства Грунского с λ_п = ш^п подразумевают, что

${ displaystyle sum _ {n geq 1} n | a_ {n} (w) | ^ {2} leq - log (1- | w | ^ {2}).}$

С другой стороны, если

${ displaystyle sum _ {m geq 0} b_ {m} t ^ {m} = exp sum _ {n geq 1} a_ {n} t ^ {n}}$

как формальный степенной ряд, то первый из Неравенства Лебедева – Милина (1965) утверждает, что^[3][4]

${ displaystyle sum _ {n geq 0} | b_ {n} | ^ {2} leq exp sum _ {n geq 1} n | a_ {n} | ^ {2}.}$

Эквивалентно неравенство утверждает, что если грамм(z) - многочлен с грамм(0) = 0, тогда

${ displaystyle {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} | e ^ {g} | ^ {2} , d theta leq e ^ {A},}$

куда А это площадь грамм(D),

Для доказательства неравенства заметим, что коэффициенты определяются по рекурсивной формуле

${ displaystyle b_ {n} = {1 over n} sum _ {m = 1} ^ {n} ma_ {m} b_ {n-m}}$

так что Неравенство Коши – Шварца

${ displaystyle | b_ {n} | ^ {2} leq {1 over n} sum m ^ {2} | a_ {m} | ^ {2} | b_ {n-m} | ^ {2}.}$

Количество c_п получается путем наложения здесь равенства:

${ displaystyle c_ {n} = {1 over n} sum m ^ {2} | a_ {m} | ^ {2} c_ {n-m}}$

удовлетворить ${ displaystyle | b_ {n} | ^ {2} leq c_ {n}}$ и, следовательно, меняя шаги,

${ displaystyle sum | b_ {n} | ^ {2} leq sum c_ {n} = exp sum _ {m geq 1} m | a_ {m} | ^ {2}.}$

В частности, определяя б_п(ш) тождеством

${ displaystyle sum b_ {n} ( zeta ^ {- 1}) z ^ {- n} = exp sum a_ {m} ( zeta ^ {- 1}) z ^ {- m} = { g (z) -g ( zeta) over z- zeta},}$

следующее неравенство должно выполняться для |ш| < 1

${ displaystyle sum _ {n geq 0} | b_ {n} (w) | ^ {2} leq (1- | w | ^ {2}) ^ {- 1}.}$

Преобразование берлинга

В Преобразование берлинга (также называемый Преобразование Берлинга-Альфорса и Преобразование Гильберта в комплексной плоскости) представляет собой один из наиболее прямых методов доказательства неравенств Грунского, следуя Бергман и Шиффер (1951) и Баранов и Хеденмальм (2008).

Преобразование Берлинга определено на L²(C) как операцию умножения на ${ displaystyle z / { overline {z}}}$ на Преобразования Фурье. Таким образом, он определяет унитарный оператор. Его также можно определить непосредственно как интеграл главного значения^[5]

${ displaystyle (Th) (w) = lim _ { varepsilon to 0} - {1 over pi} iint _ {| zw | geq varepsilon} {h (z) over (zw) ^ {2}} , dx , dy.}$

Для любой ограниченной открытой области Ω в C он определяет ограниченный оператор Т_Ω из конъюгата Пространство Бергмана из Ω на пространство Бергмана Ω: квадратная интегрируемая голоморфная функция продолжается до 0 вне Ω, чтобы получить функцию в L²(C) которому Т применяется, и результат ограничен на Ω, где он голоморфен. Если ж - голоморфное однолистное отображение из единичного круга D на Ω, то пространство Бергмана Ω и сопряженное с ним пространство можно отождествить с пространством D и Т_Ω становится сингулярным интегральным оператором с ядром

${ displaystyle K_ {f} (z, w) = { frac {f '(z) f' (w)} {(f (z) -f (w)) ^ {2}}}.}$

Он определяет сокращение. С другой стороны, можно проверить, что Т_D = 0 путем вычисления непосредственно по степеням ${ displaystyle { overline {z}} ^ {n}}$ используя теорему Стокса, чтобы перенести интеграл на границу.

Отсюда следует, что оператор с ядром

${ Displaystyle {е '(z) е' (ш) над (е (z) -f (ш)) ^ {2}} - {1 над (zw) ^ {2}} = { partial ^ {2} over partial z partial w} log {f (z) -f (w) over zw} = - sum _ {m, n geq 1} mnc_ {mn} z ^ {m- 1} ш ^ {п-1}}$

действует как сжатие на сопряженном пространстве Бергмана D. Следовательно, если

${ displaystyle p (z) = lambda _ {1} + lambda _ {2} { overline {z}} + lambda _ {3} { overline {z}} ^ {2} + cdots + lambda _ {N} { overline {z}} ^ {N-1},}$

тогда

${ displaystyle sum _ {m = 1} ^ {N} left | sum _ {n = 1} ^ {N} c_ {mn} lambda _ {n} right | ^ {2} = | (T_ {f} -T_ {z}) p | ^ {2} = | T_ {f} p | ^ {2} leq | p | ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ {N} {1 over n} | lambda _ {n} | ^ {2}.}$

Оператор Грунского и определитель Фредгольма

Если Ω - ограниченная область в C с гладкой границей оператор Т_Ω можно рассматривать как ограниченную антилинейную сжимающий оператор в пространстве Бергмана ЧАС = А²(Ω). Он задается формулой

${ displaystyle (T _ { Omega} u) (z) = lim _ { varepsilon to 0} {1 over pi} iint _ {| zw | geq varepsilon} {{ overline {u (z)}} над (zw) ^ {2}} , , dx , dy}$

за ты в гильбертовом пространстве ЧАС= А²(Ω). Т_Ω называется Грунский оператор из Ω (или ж). Его реализация на D с использованием однолистной функции ж отображение D на Ω и тот факт, что Т_D = 0 показывает, что он задается ограничением ядра

${ displaystyle { frac {f '(z) f' (w)} {(f (z) -f (w)) ^ {2}}} - { frac {1} {(zw) ^ {2 }}},}$

и поэтому Оператор Гильберта – Шмидта.

Антилинейный оператор Т = Т_Ω удовлетворяет соотношению самосопряженности

${ displaystyle (Tu, v) = (Tv, u)}$

за ты, v в ЧАС.

Таким образом А = Т² - компактный самонастраивающийся линейный оператор на ЧАС с

${ displaystyle (Au, u) = (Tu, Tu) = | Tu | ^ {2} geq 0,}$

так что А положительный оператор. По спектральной теореме для компактных самосопряженных операторов существует ортонормированный базис ты_п из ЧАС состоящий из собственных векторов А:

${ displaystyle Au_ {n} = mu _ {n} u_ {n},}$

где μ_п неотрицательна в силу положительности А. Следовательно

${ Displaystyle му _ {п} = лямбда _ {п} ^ {2}}$

с λ_п ≥ 0. Поскольку Т ездит с А, он оставляет неизменными свои собственные подпространства. Отношение положительности показывает, что оно действует тривиально на собственном нулевом подпространстве. Все остальные ненулевые собственные подпространства конечномерны и взаимно ортогональны. Таким образом, для каждого собственного подпространства можно выбрать ортонормированный базис так, чтобы:

${ displaystyle Tu_ {n} = lambda _ {n} u_ {n}.}$

(Обратите внимание, что ${ Displaystyle T (iu_ {n}) = - lambda _ {n} iu_ {n}}$ по антилинейности Т.)

Ненулевое λ_п (или иногда их обратные) называются Собственные значения Фредгольма из Ω:

${ Displaystyle 0 Leq лямбда _ {п} Leq | Т | Leq 1.}$

Если Ω - ограниченная область, не являющаяся кругом, Альфорс показал, что

${ Displaystyle | T _ { Omega} | <1.}$

В Определитель Фредгольма для области Ω определяется как^[6][7]

${ displaystyle Delta _ { Omega} = det (I-T _ { Omega} ^ {2}) = prod (1- lambda _ {n} ^ {2}).}$

Обратите внимание, что это имеет смысл, потому что А = Т² это оператор класса трассировки.

Шиффер и Хоули (1962) показал, что если ${ displaystyle 0 in Omega}$ и ж исправляет 0, затем^[8][9]

${ displaystyle Delta _ { Omega} = - { frac {1} {12 pi}} left [ | partial _ {z} log f ' | _ {D} ^ {2} + | partial _ {z} log g ' | _ {D ^ {c}} ^ {2} -2 left | partial _ {z} log { frac {f (z)} { z}} right | _ {D} ^ {2} -2 left | partial _ {z} log { frac {g (z)} {z}} right | _ {D ^ {c}} ^ {2} right].}$

Здесь нормы лежат в пространствах Бергмана D и его дополнение D^c и грамм это однозначная карта из D^c на Ω^c фиксация ∞.

Аналогичная формула применима в случае пары однолистных функций (см. Ниже).

Сингулярные интегральные операторы на замкнутой кривой

Пусть Ω - ограниченная односвязная область в C с гладкой границей C = ∂Ω. Таким образом, существует однолистное голоморфное отображение ж с единичного диска D на Ω до гладкого отображения между границами S¹ и C.

Примечания

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1952), "Замечания об интегральном уравнении Неймана-Пуанкаре", Pacific J. Math., 2 (3): 271–280, Дои:10.2140 / pjm.1952.2.271
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Ван Ностранд
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты. Разделы геометрической теории функций. Перепечатка оригинала 1973 года. С предисловием Питера Дюрена, Ф. В. Геринга и Брэда Осгуда., AMS Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8218-5270-5
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости, Принстонский математический ряд, 48, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-13777-3
• Баранов, А .; Хеденмальм, Х. (2008), "Граничные свойства функций Грина на плоскости", Duke Math. Дж., 145: 1–24, arXiv:математика / 0608493, Дои:10.1215/00127094-2008-044
• Белл, С. Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8270-3
• Белл, С. Р. (2016), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования в области высшей математики (2-е изд.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Бергман, С .; Шиффер, М. (1951), "Ядерные функции и конформное отображение", Compositio Mathematica, 8: 205–249
• Дурен, П. Л. (1983), Унивалентные функции, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90795-6
• Гахов, Ф. Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года, Dover Publications, ISBN  978-0-486-66275-6
• Гарнетт, Дж. Б. (2007), Ограниченные аналитические функции, Тексты для выпускников по математике, 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Голузин, Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного, Переводы математических монографий, 26, Американское математическое общество
• Гонг, Шэн (1999), Гипотеза Бибербаха, Исследования AMS / IP по высшей математике, 12, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0655-5
• Гриншпан, А. З. (1999), «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина», Американский математический ежемесячник, 106 (3): 203–214, Дои:10.2307/2589676, JSTOR  2589676, МИСТЕР  1682341
• Гриншпан, Аркадий З. (2002), "Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и неперекрывающихся областей", в Kuhnau, Reiner (ed.), Теория геометрических функций, Справочник по комплексному анализу, Том 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 273–332, ISBN  978-0-444-82845-3, МИСТЕР  1966197, Zbl  1083.30017.
• Грунский, Гельмут (1939), "Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende meromorphe Funktionen", Mathematische Zeitschrift, 45 (1): 29–61, Дои:10.1007 / BF01580272, ISSN  0025-5874
• Грунский, Гельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях, Studia Mathematica, 4, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN  978-3-525-40142-2
• Хейман, В. К. (1994), "Теорема Де Бранжа", Многовалентные функции, Кембриджские трактаты по математике, 110 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  0521460263
• Хавинсон, Д .; Путинар, М .; Шапиро, Х.С. (2007), "Вариационная проблема Пуанкаре в теории потенциала", Arch. Рацион. Мех. Анальный., 185 (1): 143–184, Bibcode:2007ArRMA.185..143K, CiteSeerX  10.1.1.569.7145, Дои:10.1007 / s00205-006-0045-1
• Кёпф, В. (2007), «Гипотеза Бибербаха, функции де Бранжа и Вайнштейна и неравенство Аски-Гаспера» (PDF), Рамануджанский журнал, 13 (1–3): 103–129, Дои:10.1007 / s11139-006-0244-2
• Милин, И. М. (1977), Однолистные функции и ортонормированные системы, Переводы математических монографий, 49, Американское математическое общество
• Неретин, Ю. А. (1996), Категории симметрий и бесконечномерные группы, Монографии Лондонского математического общества, 16, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-851186-1
• Никольский, Н. К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение, Vol. 1. Харди, Ханкель и Теплиц, Математические обзоры и монографии, 92, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1083-5
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Шиффер, М. (1948), «Многочлены Фабера в теории однолистных функций», Бык. Амер. Математика. Soc., 54: 503–517
• Шиффер, М. (1957), "Собственные значения Фредгольма плоских областей", Pacific J. Math., 7 (2): 1187–1225, Дои:10.2140 / pjm.1957.7.1187
• Шиффер М. (1959), "Собственные значения Фредгольма многосвязных областей", Pacific J. Math., 9: 211–269, Дои:10.2140 / pjm.1959.9.211
• Schiffer, M .; Хоули, Н. С. (1962), "Связи и конформное отображение", Acta Math., 107 (3–4): 175–274, Дои:10.1007 / bf02545790
• Шиффер, М. (1981), "Собственные значения Фредгольма и матрицы Грунского", Анна. Полон. Математика., 39: 149–164, Дои:10.4064 / ap-39-1-149-164
• Шур, И. (1945), «О многочленах Фабера», Амер. J. Math., 67: 33–41
• Шапиро, Х.С. (1992), Функция Шварца и ее обобщение на высшие измерения, Конспект лекций по математическим наукам в Университете Арканзаса, 9, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-57127-8
• Тахтаджан, Леон А.; Тео, Ли-Пэн (2006), "Метрика Вейля – Петерссона на универсальном пространстве Тейхмюллера", Mem. Амер. Математика. Soc., 183
• Видом, Х. (1988), "О неравенстве Осгуда, Филлипса и Сарнака", Proc. Амер. Математика. Soc., 102 (3): 773–774, Дои:10.1090 / s0002-9939-1988-0929019-3