Теорема Харнакса о кривой - Википедия - Harnacks curve theorem

В эллиптическая кривая (гладкая степень 3) слева - это M-кривая, так как она имеет максимальные (2) компоненты, а кривая справа имеет только 1 компонент.

В настоящий алгебраическая геометрия, Теорема Гарнака о кривой, названный в честь Аксель Харнак, дает возможное количество связанные компоненты что алгебраическая кривая может иметь в терминах степени кривой. Для любого алгебраическая кривая степени м в реальном проективная плоскость, количество компонентов c ограничен

{ displaystyle { frac {1 - (- 1) ^ {m}} {2}} leq c leq { frac {(m-1) (m-2)} {2}} + 1. }

Максимальное количество на единицу больше максимального род кривой степени м, достигается, когда кривая неособая. Более того, может быть достигнуто любое количество компонентов в этом диапазоне возможных значений.

В Кривая Тротта, показанная здесь с 7 своими битангенсами, представляет собой М-кривую четвертой степени (степени 4), достигая максимальных (4) компонентов для кривой этой степени.

Кривая, которая достигает максимального числа реальных компонентов, называетсяМ-кривая (от «максимум») - например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такими как ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x,}$ или Кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами M-кривых.

Эта теорема легла в основу Шестнадцатая проблема Гильберта.

В недавнем развитии Кривая Гарнака показана как кривая, амеба имеет площадь равную Многоугольник Ньютона полинома P, который называется характеристической кривой димерных моделей, а каждая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторого модель димера.(Михалкин 2001 )(Кеньон, Окуньков и Шеффилд (2006) )

Теорема Харнакса о кривой - Википедия - Harnacks curve theorem

Рекомендации