Показатель Херста - Википедия - Hurst exponent

В Показатель Херста используется как мера Долгосрочная память из Временные ряды. Это относится к автокорреляции временных рядов, и скорость, с которой они уменьшаются по мере увеличения лага между парами значений. Исследования, включающие показатель Херста, были первоначально разработаны в гидрология для практического определения оптимального размера плотины для Река Нил неустойчивые условия дождя и засухи, которые наблюдались в течение длительного периода времени.^[1][2] Название «показатель Херста» или «коэффициент Херста» происходит от Гарольд Эдвин Херст (1880–1978), который был ведущим исследователем этих исследований; использование стандартных обозначений ЧАС ибо коэффициент также относится к его имени.

В фрактальная геометрия, то обобщенный показатель Херста был обозначен ЧАС или же ЧАС_q в честь Гарольда Эдвина Херста и Людвиг Отто Гёльдер (1859–1937) по Бенуа Мандельброт (1924–2010).^[3] ЧАС напрямую связано с фрактальная размерность, D, и является мерой «легкой» или «дикой» случайности ряда данных.^[4]

Показатель Херста называется «индексом зависимости» или «индексом долгосрочной зависимости». Он количественно оценивает относительную тенденцию временного ряда либо сильно регрессировать к среднему значению, либо группироваться в определенном направлении.^[5] Ценность ЧАС в диапазоне 0,5–1 указывает на временной ряд с долгосрочной положительной автокорреляцией, что означает, что за высоким значением в ряду, вероятно, последует другое высокое значение, и что значения в долгосрочном будущем также будут иметь тенденцию к высоким . Значение в диапазоне 0–0,5 указывает временной ряд с долгосрочным переключением между высокими и низкими значениями в соседних парах, что означает, что за одним высоким значением, вероятно, будет следовать низкое значение, а значение после этого будет иметь тенденцию к высокий, с этой тенденцией к переключению между высокими и низкими значениями, сохраняющимися надолго в будущем. Ценность ЧАС= 0,5 может указывать на полностью некоррелированный ряд, но на самом деле это значение, применимое к рядам, для которых автокорреляции при малых временных лагах могут быть положительными или отрицательными, но где абсолютные значения автокорреляций экспоненциально быстро убывают до нуля. Это в отличие от типичного сила закона распад для 0,5 < ЧАС <1 и 0 < ЧАС <0,5 случая.

Определение

Показатель Херста, ЧАС, определяется в терминах асимптотики измененный диапазон как функция временного интервала временного ряда следующим образом;^[6][7]

${ Displaystyle mathbb {E} left [{ frac {R (n)} {S (n)}} right] = Cn ^ {H} { text {as}} n to infty , ,}$

куда;

• ${ Displaystyle R (п)}$ это классифицировать из первых ${ displaystyle n}$ совокупные отклонения от среднего
• ${ Displaystyle S (п)}$ ряд (сумма) первых n Стандартное отклонение
• ${ Displaystyle mathbb {E} влево [х вправо] ,}$ это ожидаемое значение
• ${ displaystyle n}$ - временной интервал наблюдения (количество точек данных во временном ряду)
• ${ displaystyle C}$ является константой.

Связь с фрактальным измерением

Для автомодельных временных рядовЧАС напрямую связано с фрактальная размерность, D, где 1 < D <2, такие что D = 2 - ЧАС. Значения показателя Херста варьируются от 0 до 1, причем более высокие значения указывают на более плавный тренд, меньшую волатильность и меньшую шероховатость.^[8]

Для более общих временных рядов или многомерного процесса показатель Херста и фрактальная размерность могут быть выбраны независимо, так как показатель Херста представляет структуру за асимптотически более длинные периоды, а фрактальная размерность представляет структуру за асимптотически более короткие периоды.^[9]

Оценка экспоненты

В литературе был предложен ряд оценок дальнодействующей зависимости. Самая старая и известная - так называемая измененный диапазон (R / S) анализ, популяризированный Мандельбротом и Уоллисом^[3][10] и на основе предыдущих гидрологических данных Херста.^[1] Альтернативы включают DFA, Регрессия периодограммы,^[11] агрегированные отклонения,^[12] местная оценка Уиттла,^[13] вейвлет-анализ,^[14][15] как в область времени и частотная область.

Анализ измененного диапазона (R / S)

Чтобы оценить показатель Херста, необходимо сначала оценить зависимость измененный диапазон на промежутке времени п наблюдения.^[7] Временной ряд полной длины N делится на ряд более коротких временных рядов длиной п = N, N/2, N/ 4, ... Затем вычисляется средний диапазон масштабирования для каждого значения п.

Для (частичного) временного ряда длиной ${ displaystyle n}$, ${ Displaystyle X = X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} ,}$, масштабированный диапазон рассчитывается следующим образом:^[6][7]

1. Рассчитайте иметь в виду;

${ displaystyle m = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ,.}$

2. Создайте ряд, скорректированный на среднее значение;

${ displaystyle Y_ {t} = X_ {t} -m quad { text {for}} t = 1,2, dots, n ,.}$

3. Рассчитайте совокупный ряд отклонений. ${ displaystyle Z}$;

${ displaystyle Z_ {t} = sum _ {i = 1} ^ {t} Y_ {i} quad { text {for}} t = 1,2, dots, n ,.}$

4. Вычислить диапазон ${ displaystyle R}$;

${ displaystyle R (n) = operatorname {max} left (Z_ {1}, Z_ {2}, dots, Z_ {n} right) - operatorname {min} left (Z_ {1}, Z_ {2}, dots, Z_ {n} right).}$

5. Вычислить стандартное отклонение ${ displaystyle S}$;

${ displaystyle S (n) = { sqrt {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} left (X_ {i} -m right) ^ {2} }}.}$

6. Рассчитайте измененный диапазон. ${ Displaystyle R (п) / S (п)}$ и усреднить по всем частным временным рядам длины ${ displaystyle n.}$

Показатель Херста оценивается путем аппроксимации сила закона ${ Displaystyle mathbb {E} [R (n) / S (n)] = Cn ^ {H}}$ к данным. Это можно сделать, построив ${ Displaystyle журнал [р (п) / S (п)]}$ как функция ${ displaystyle log n}$, и установка прямой линии; наклон линии дает ${ displaystyle H}$ (более принципиальный подход соответствует степенному закону с максимальной вероятностью^[16]). Такой график называется коробчатым графиком. Однако известно, что этот подход дает смещенные оценки степенного показателя. Для малых ${ displaystyle n}$ наблюдается значительное отклонение от наклона 0,5. Анис и Ллойд^[17] оценил теоретические (т.е. для белого шума) значения статистики R / S следующим образом:

${ displaystyle mathbb {E} [R (n) / S (n)] = { begin {case} { frac { Gamma ({ frac {n-1} {2}})} {{ sqrt { pi}} Gamma ({ frac {n} {2}})}} sum limits _ {i = 1} ^ {n-1} { sqrt { frac {ni} {i} }}, & { text {for}} n leq 340 { frac {1} { sqrt {n { frac { pi} {2}}}}} sum limits _ {i = 1} ^ {n-1} { sqrt { frac {ni} {i}}}, & { text {for}} n> 340 end {case}}}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ это Гамма-функция Эйлера. Скорректированный по Анису-Ллойду показатель Херста R / S рассчитывается как 0,5 плюс наклон ${ Displaystyle Р (п) / S (п) - mathbb {E} [р (п) / S (п)]}$.

Доверительные интервалы

До сих пор не было получено асимптотической теории распределения для большинства оценок показателя Херста. Однако Верон^[18] использовал самонастройка для получения приближенных функциональных форм для доверительных интервалов двух наиболее популярных методов - метода Аниса-Ллойда.^[17] исправленный анализ R / S:

и для DFA:

Здесь ${ displaystyle M = log_ {2} N}$ и ${ displaystyle N}$ - длина серии. В обоих случаях только подсерии длины ${ displaystyle n> 50}$ учитывались для оценки показателя Херста; подсерии меньшей длины приводят к большой дисперсии оценок R / S.

Обобщенная экспонента

Базовый показатель Херста может быть связан с ожидаемым размером изменений как функцией задержки между наблюдениями, измеряемой E (|Икс_{т + т}-ИКС_т|²). Для обобщенного вида коэффициента показатель здесь заменен более общим членом, обозначаемым q.

Существует множество методов оценки ЧАС, однако оценка точности оценки может быть сложной задачей. Математически, в одном методе, показатель Херста можно оценить так, что:^[19][20]

ЧАС_q = ЧАС(q),

для временного ряда

грамм(т) (т = 1, 2,...)

может быть определен масштабирующими свойствами его структура функции S_q(${ Displaystyle тау}$):

${ Displaystyle S_ {q} = langle | g (t + tau) -g (t) | ^ {q} rangle _ {t} sim tau ^ {qH (q)}, ,}$

куда q > 0, ${ Displaystyle тау}$ это временная задержка, и усреднение ведется по временному окну

${ Displaystyle т gg тау, ,}$

обычно самый большой временной масштаб системы.

Практически, в природе нет предела времени, а значит ЧАС не является детерминированным, так как его можно оценить только на основе наблюдаемых данных; Например, самое резкое дневное движение вверх, когда-либо наблюдаемое в индексе фондового рынка, всегда может быть превышено в течение какого-то следующего дня.^[21]

В описанном выше методе математической оценки функция ЧАС(q) содержит информацию об усредненных обобщенных волатильностях в масштабе ${ Displaystyle тау}$ (Только q = 1, 2 используются для определения волатильности). В частности, ЧАС₁ экспонента указывает на постоянный (ЧАС₁ > ½) или антиперсистентный (ЧАС₁ <½) поведение тренда.

Для BRW (коричневый шум, 1/ж²) получается

ЧАС_q = ½,

и для розовый шум (1/ж)

ЧАС_q = 0.

Показатель Херста для белый шум зависит от размера,^[22] а для 1D и 2D это

ЧАС^1D_q = -½ , ЧАС^2D_q = -1.

Для популярных Стабильные процессы Леви и усеченные процессы Леви с параметром α было установлено, что

ЧАС_q = q / α за q < α и ЧАС_q = 1 для q ≥ α.

Анализ мультифрактальных колебаний без тренда^[23] это один из методов оценки ${ displaystyle H (q)}$ из нестационарных временных рядов. ${ displaystyle H (q)}$ является нелинейной функцией от q, временной ряд является мультифрактальная система.

Примечание

В приведенном выше определении смешаны два отдельных требования, как если бы они составляли одно целое.^[24] Вот два независимых требования: (i) стационарность приращений, x (t + T) -x (t) = x (T) -x (0) в распределении. Это условие, которое дает долговременные автокорреляции. (ii) Самоподобие стохастического процесса затем дает масштабирование дисперсии, но не требуется для долговременной памяти. Например, оба Марковские процессы (т.е. процессы без памяти) и дробное броуновское движение шкала на уровне 1-балльной плотности (простые средние), но не масштабируется на уровне парных корреляций или, соответственно, 2-балльной плотности вероятности.^{[требуется разъяснение ]}

Эффективный рынок требует мартингейл условие, и если дисперсия не является линейной по времени, это дает нестационарные приращения, x (t + T) -x (t) ≠ x (T) -x (0). Мартингалы являются марковскими на уровне парных корреляций, что означает, что парные корреляции не могут быть использованы для победы над рынком мартингейла. Стационарные приращения с нелинейной дисперсией, с другой стороны, вызывают долговременную парную память дробное броуновское движение что сделало бы рынок более удачным на уровне парных корреляций. Такой рынок обязательно будет далеко не «эффективным».

Анализ экономических временных рядов с помощью показателя Херста с использованием измененный диапазон и Анализ колебаний без тренда проводит эконофизик А.Ф. Баривьера.^[25] В данной статье исследуется изменяющийся во времени характер Дальняя зависимость и, следовательно, информационной эффективности.

Показатель Херста также применялся к исследованию дальняя зависимость в ДНК,^[26] и фотонные запрещенная зона материалы.^[27]

Смотрите также

• Дальняя зависимость
• Аномальная диффузия
• Измененный диапазон
• Анализ колебаний без тренда

Реализации

• Код Matlab для вычисления R / S, DFA, регрессии периодограммы и вейвлет-оценок показателя Херста и их соответствующих доверительных интервалов доступен в RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Реализация R / S в Python: https://github.com/Mottl/hurst и DFA и MFDFA в Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
• Код Matlab для вычисления реального Херста и сложного Херста: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• Для этого также можно использовать лист Excel: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

Рекомендации