Неразложимый континуум - Indecomposable continuum

Первые четыре этапа построения ручки ковша как предела серии вложенных перекрестков.

В точечная топология, неразложимый континуум это континуум это неразложимое, то есть не может быть выражено как объединение любых двух своих правильный subcontinua. В 1910 г. Л. Э. Дж. Брауэр был первым, кто описал неразложимый континуум.

Неразложимые континуумы использовались топологами как источник контрпримеры. Они также встречаются в динамические системы.

Определения

А континуум ${ displaystyle C}$ непусто компактный связанный метрическое пространство. Дуга, п-сфера, а Куб Гильберта являются примерами путь подключен континуум; то синусоида тополога и Варшавский круг являются примерами континуумов без линейной связности. А субконтинуум ${ displaystyle C '}$ континуума ${ displaystyle C}$ замкнутое связное подмножество ${ displaystyle C}$ . Пространство невырожденный если он не равен одной точке. Континуум ${ displaystyle C}$ является разложимый если существует два субконтинуума ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ из ${ displaystyle C}$ такой, что ${ displaystyle A neq C}$ и ${ Displaystyle B neq C}$ но ${ Displaystyle A чашка B = C}$ . Неразложимый континуум - это неразложимый континуум. Континуум ${ displaystyle C}$ в котором каждый субконтинуум неразложим, называется наследственно неразложимый. А композитор неразложимого континуума ${ displaystyle C}$ - максимальное множество, в котором любые две точки лежат внутри некоторого собственного субконтинуума ${ displaystyle C}$ . Континуум ${ displaystyle C}$ является несводимый между ${ displaystyle c}$ и ${ displaystyle c '}$ если ${ displaystyle c, c ' in C}$ и никакой собственный субконтинуум не содержит обеих точек. Неразложимый континуум неприводим между любыми двумя своими точками.^[1]

История

Пятый этап озер Вада

В 1910 году Л. Э. Брауэр описал неразложимый континуум, опровергнув гипотезу, сделанную Артур Мориц Шенфлис что совместная граница двух открытых, связанных, непересекающихся множеств в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ было объединением двух замкнутых, связанных собственных подмножеств.^[2] Зигмунт Янишевский описал больше таких неразложимых континуумов, в том числе вариант ручки ведра. Янишевский, однако, сосредоточил внимание на несводимости этих континуумов. В 1917 г. Кунидзо Йонеяма описал Озера Вада (названный в честь Такео Вада ), общая граница которого неразложима. В 1920-х годах неразложимые континуумы начали изучать Варшавская математическая школа в Fundamenta Mathematicae ради самих себя, а не в качестве патологических контрпримеров. Стефан Мазуркевич был первым, кто дал определение неразложимости. В 1922 г. Бронислав Кнастер описал псевдодуга, первый найденный пример наследственно неразложимого континуума.^[3]

Пример ручки ковша

Неразложимые континуумы часто строятся как предел последовательности вложенных пересечений или (в более общем смысле) как обратный предел последовательности континуумов. Ручка ведра, или континуум Брауэра – Янишевского – Кнастера, часто используется как простейший пример неразложимого континуума и может быть сконструирован таким образом (см. Верхний правый). В качестве альтернативы возьмите Троичный набор Кантора ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ проецируется на интервал ${ displaystyle [0,1]}$ из ${ displaystyle x}$ -ось в самолете. Позволять ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {0}}$ семейство полукругов над ${ displaystyle x}$ - ось с центром ${ Displaystyle (1 / 2,0)}$ и с конечными точками на ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ (что симметрично относительно этой точки). Позволять ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {1}}$ семейство полукругов ниже ${ displaystyle x}$ -ось с центром в середине интервала ${ Displaystyle [2 / 3,1]}$ и с конечными точками в ${ Displaystyle { mathcal {C}} cap [2 / 3,1]}$ . Позволять ${ Displaystyle { mathcal {C}} _ {я}}$ семейство полукругов ниже ${ displaystyle x}$ -ось с центром в середине интервала ${ displaystyle [2/3 ^ {i}, 3/3 ^ {i}]}$ и с конечными точками в ${ displaystyle { mathcal {C}} cap [2/3 ^ {i}, 3/3 ^ {i}]}$ . Тогда объединение всех таких ${ Displaystyle { mathcal {C}} _ {я}}$ ручка ведра.^[4]

Ручка ковша не допускает поперечного сечения по Борелю, т.е. Набор Бореля содержащий ровно одну точку от каждого композитора.

Свойства

В некотором смысле «большинство» континуумов неразложимы. Позволять ${ displaystyle M}$ быть ${ displaystyle n}$ -ячейка с участием метрика ${ displaystyle d}$ , ${ displaystyle 2 ^ {M}}$ множество всех непустых замкнутых подмножеств ${ displaystyle M}$ , и ${ Displaystyle С (М)}$ то гиперпространство всех связанных членов ${ displaystyle 2 ^ {M}}$ оснащен Метрика Хаусдорфа ${ displaystyle H_ {d}}$ определяется ${ Displaystyle H_ {d} (A, B) = max { sup {d (a, B): a in A }, sup {d (b, A): b in B } }}$ . Тогда множество невырожденных неразложимых подконтинуумов ${ displaystyle M}$ является плотный в ${ Displaystyle С (М)}$ .

В динамических системах

В 1932 г. Джордж Биркофф описал свою «замечательную замкнутую кривую», гомеоморфизм кольца, содержащего инвариантный континуум. Мари Шарпантье показал, что этот континуум неразложим, первое звено от неразложимых континуумов к динамическим системам. Инвариантное множество некоторого Смейла карта подковы ручка ведра. Марси Бардж и другие широко изучали неразложимые континуумы в динамических системах.^[5]

Смотрите также

Неразложимость
Озера Вада, три открытых подмножества плоскости, граница которых является неразложимым континуумом
Соленоид
Ковер Серпинского

использованная литература

^ Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: введение. CRC Press. ISBN 9781351990530.
^ Брауэр, Л. Э. Дж. (1910), "Zur Analysis Situs" (PDF), Mathematische Annalen, 68 (3): 422–434, Дои:10.1007 / BF01475781
^ Повар, Ховард; Инграм, Уильям Т .; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Continua: с Хьюстонской проблемной книгой. CRC Press. п. 103. ISBN 9780824796501.
^ Ingram, W. T .; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные ограничения: от континуа к хаосу. Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN 9781461417972.
^ Кеннеди, Джуди (1 декабря 1993 г.). «Как неразложимые континуумы возникают в динамических системах». Летопись Нью-Йоркской академии наук. 704 (1): 180–201. Дои:10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN 1749-6632.

внешние ссылки

Солецкий, С. (2002). «Дескриптивная теория множеств в топологии». В Гушеке, М .; Ван Милл, Дж. (ред.). Последние достижения в общей топологии II. Эльзевир. С. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
Кассельман, Билл (2014), «О обложке» (PDF), Уведомления AMS, 61: 610, 676 объясняет картину Брауэра о его неразложимом континууме, которая появляется на передняя крышка журнала.

[1] Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: введение. CRC Press. ISBN 9781351990530.

[2] Брауэр, Л. Э. Дж. (1910), "Zur Analysis Situs" (PDF), Mathematische Annalen, 68 (3): 422–434, Дои:10.1007 / BF01475781

[3] Повар, Ховард; Инграм, Уильям Т .; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Continua: с Хьюстонской проблемной книгой. CRC Press. п. 103. ISBN 9780824796501.

[4] Ingram, W. T .; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные ограничения: от континуа к хаосу. Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN 9781461417972.

[5] Кеннеди, Джуди (1 декабря 1993 г.). «Как неразложимые континуумы возникают в динамических системах». Летопись Нью-Йоркской академии наук. 704 (1): 180–201. Дои:10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN 1749-6632.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]