Маятник Катерс - Википедия - Katers pendulum

Оригинальный маятник Катера, показывающий его использование, из статьи Катера 1818 года. Маятник период был рассчитан путем сравнения его качания с маятником на точных часах позади него. Взгляд (оставили) использовался, чтобы избежать ошибка параллакса.

А Маятник Катера это обратимое свободное качание маятник изобретен британским физиком и капитаном армии Генри Катер в 1817 г.^[1] для использования в качестве гравиметр прибор для измерения местных ускорение свободного падения. Его преимущество в том, что, в отличие от предыдущих маятниковых гравиметров, маятник центр тяжести и центр колебаний не нужно определять, что позволяет повысить точность. Примерно столетие, до 1930-х годов, маятник Катера и его различные уточнения оставались стандартным методом измерения силы земного притяжения во время геодезический опросы. Сейчас он используется только для демонстрации принципов маятника.

Описание

Маятник можно использовать для измерения ускорение свободного падения грамм потому что для узких качелей это период качелей Т зависит только от грамм и его длина L:^[2]

${ displaystyle T = 2 pi { sqrt { frac {L} {g}}} qquad qquad qquad (1) ,}$

Итак, измерив длину L и период Т маятника, грамм можно рассчитать.

Маятник Катера состоит из жесткого металлического стержня с двумя точками поворота, по одной на каждом конце стержня. Его можно подвесить на любой оси и повернуть. Он также имеет либо регулируемый груз, который можно перемещать вверх и вниз по штанге, либо одну регулируемую ось для регулировки периодов качания. При использовании он поворачивается на одной оси, а период хронометрированный, а затем перевернутый и качнулся от другого стержня, и период рассчитан. Подвижный вес (или стержень) регулируется до тех пор, пока два периода не станут равными. На данный момент период Т равен периоду "идеального" простого маятника, длина которого равна расстоянию между стержнями. От периода и измеренного расстояния L между шарнирами ускорение свободного падения можно рассчитать с большой точностью по уравнению (1) выше.

Ускорение силы тяжести маятника Катера определяется выражением^[3]

${ displaystyle g = { frac {8 pi ^ {2}} {{ frac {T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2}} {l_ {1} + l_ {2}) }} + { frac {T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2}} {l_ {1} -l_ {2}}}}}}$

где T1 и T2 - временные периоды колебаний, когда он подвешен к K1 и K2 соответственно, а l1 и l2 - расстояния лезвий K1 и K2 от центра тяжести соответственно.

История

Измерение силы тяжести с помощью маятников

Маятник Катера и подставка

Первым, кто обнаружил, что гравитация на поверхности Земли меняется, был французский ученый. Жан Рише, который в 1671 г. был отправлен в экспедицию в Cayenne, Французская Гвиана французскими Академия наук, поставили задачу провести измерения с маятниковые часы. В ходе наблюдений, которые он сделал в следующем году, Ричер определил, что часы были на 2½ минуты в день медленнее, чем в Париже, или, что то же самое, длина маятника с размахом в одну секунду там была 1¼ в Париже. линии, или на 2,6 мм короче, чем в Париже.^[4][5] Это было реализовано учеными того времени и доказано Исаак Ньютон в 1687 году это было связано с тем, что Земля не была идеальной сферой, а слегка сплюснутый; на экваторе он был толще из-за вращения Земли. Поскольку поверхность у Кайенны была дальше от центра Земли, чем у Парижа, гравитация там была слабее. С этого времени маятники стали использоваться как прецизионные. гравиметры, отправляемые в разные части света для измерения местного ускорения свободного падения. Накопление данных о географической гравитации привело к появлению все более точных моделей общей формы Земли.

Маятники так повсеместно использовались для измерения силы тяжести, что во времена Катера местная сила тяжести обычно выражалась не величиной ускорения. грамм сейчас используется, но по длине в этом месте секундный маятник, маятник с периодом в две секунды, поэтому каждое колебание занимает одну секунду. Из уравнения (1) видно, что для секундного маятника длина просто пропорциональна грамм:

${ displaystyle g = pi ^ {2} L ,}$

Погрешность маятников гравиметра

Во времена Катера период Т маятников можно было бы очень точно измерить, отсчитывая их по точным часам, установленным по прохождению звезд над головой. До открытия Катера точность грамм измерения были ограничены трудностью измерения другого фактора L, точно, длина маятника. L в уравнении (1), приведенном выше, была длина идеального математического «простого маятника», состоящего из точечной массы, качающейся на конце безмассового шнура. Однако «длина» настоящего маятника, качающегося твердого тела, известного в механике как составной маятник, определить труднее. В 1673 г. голландский ученый Кристиан Гюйгенс в своем математическом анализе маятников, Часы Oscillatorium, показал, что реальный маятник имеет тот же период, что и простой маятник, с длиной, равной расстоянию между точкой поворота и точкой, называемой центр колебаний, который находится под маятником центр гравитации и зависит от распределения массы по длине маятника. Проблема заключалась в том, что невозможно точно определить местоположение центра колебаний реального маятника. Теоретически это можно было бы рассчитать по форме маятника, если бы металлические части имели однородную плотность, но металлургические качества и математические способности того времени не позволяли произвести точный расчет.

Чтобы обойти эту проблему, большинство ранних исследователей гравитации, таких как Жан Пикар (1669), Шарль Мари де ла Кондамин (1735 г.), и Жан-Шарль де Борда (1792) аппроксимировал простой маятник с помощью металлической сферы, подвешенной на световой проволоке. Если проволока имела незначительную массу, центр колебаний находился близко к центру тяжести сферы. Но даже точно определить центр тяжести сферы было сложно. Кроме того, этот тип маятника по своей сути не был очень точным. Сфера и проволока не раскачивались взад-вперед как жесткое целое, потому что сфера приобрела небольшую угловой момент во время каждого замаха. Также проволока упруго растягивалась при качании маятника, изменяя L немного во время цикла.

Катер решение

Однако в Часы OscillatoriumГюйгенс также доказал, что точка поворота и центр колебаний взаимозаменяемы. То есть, если какой-либо маятник подвешен вверх дном относительно его центра колебаний, он имеет тот же период колебания, а новый центр колебаний - это старая точка поворота. Расстояние между этими двумя сопряженными точками было равно длине простого маятника с тем же периодом.

В составе комитета, назначенного Королевское общество В 1816 году, чтобы реформировать британские меры, Палата общин наняла Катер, чтобы точно определить длину секундного маятника в Лондоне.^[6] Он понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для нахождения центра колебаний, и поэтому длина L, жесткого (составного) маятника. Если бы маятник был подвешен вверх дном за вторую точку поворота, которую можно было отрегулировать вверх и вниз на стержне маятника, и второй поворот был бы отрегулирован до тех пор, пока маятник не будет иметь тот же период, что и при качании правой стороной вверх от первой оси, второй стержень будет в центре колебаний, а расстояние между двумя точками поворота будет L.

Катер была не первой, кому пришла в голову эта идея.^[7][8] Французский математик Гаспар де Прони впервые предложил обратимый маятник в 1800 году, но его работа не была опубликована до 1889 года. В 1811 году Фридрих Боненбергер снова открыла это, но Катер самостоятельно изобрела это и первой применила на практике.

Рисунок маятника Катера
(а) шарниры противоположных ножей, на которых подвешен маятник
(б) Точная регулировочная масса перемещается регулировочным винтом
(c) грубой регулировки груз, прикрепленный к штанге с помощью установочного винта
(г) боб
(е) указатели для чтения

Маятник

Катер построил маятник, состоящий из латунного стержня около 2 метров в длину, 1,5 дюйма в ширину и одну восьмую дюйма толщиной, с грузом (г) на одном конце.^[1][9] Для оси с низким коэффициентом трения он использовал пару коротких треугольных «ножевых» лезвий, прикрепленных к стержню. При использовании маятник подвешивался к кронштейну на стене, опираясь на края лезвий ножей, опирающихся на плоские агатовые пластины. У маятника было два таких шарнира ножа. (а)лицом друг к другу на расстоянии около метра (40 дюймов) друг от друга, так что колебание маятника занимает примерно одну секунду, когда он висит на каждой оси.

Катер обнаружила, что регулировка одного из шарниров вызвала неточности, из-за чего было трудно удерживать оси обоих шарниров точно параллельно. Вместо этого он прочно прикрепил лезвия ножа к стержню и отрегулировал периоды маятника с помощью небольшого подвижного веса. (до н.э) на валу маятника. Так как гравитация колеблется над Землей не более чем на 0,5%, а в большинстве мест гораздо меньше, вес нужно было лишь немного отрегулировать. Перемещение груза к одной из опор уменьшило период подвешивания на этой опоре и увеличило период подвешивания на другой опоре. Это также имело то преимущество, что точное измерение расстояния между шарнирами нужно было проводить только один раз.

Экспериментальная процедура

Для использования маятник подвешивался к кронштейну на стене, а оси лезвий ножа поддерживались на двух небольших горизонтальных агатовых пластинах перед точными маятниковыми часами для измерения периода. Сначала его повернули от одной оси, и колебания синхронизировались, затем перевернули и повернули от другой оси, и колебания снова синхронизировались. Небольшой вес (б) был отрегулирован с помощью регулировочного винта, и процесс повторялся до тех пор, пока маятник не имел одинаковый период при повороте от каждого шарнира. Положив измеренный период Т, и измеренное расстояние между поворотными лопастями L, в уравнение периода (1), грамм можно рассчитать очень точно.

Катер выполнила 12 испытаний.^[1] Он очень точно измерил период своего маятника с помощью часового маятника. метод совпадений; хронометраж интервала между совпадения когда два маятника качались синхронно. Он измерил расстояние между поворотными лезвиями с помощью компаратора микроскопа с точностью до 10⁻⁴ дюйма (2,5 мкм). Как и в случае с другими измерениями силы тяжести с помощью маятника, ему пришлось внести небольшие поправки в результат для ряда переменных факторов:

• конечная ширина качания маятника, увеличивающая период
• температура, из-за которой длина стержня изменилась из-за тепловое расширение
• атмосферное давление, которое уменьшило эффективную массу маятника за счет плавучести вытесненного воздуха, увеличивая период
• высота, которая уменьшала силу тяжести по мере удаления от центра Земли. Измерения силы тяжести всегда относятся к уровень моря.

Он дал свой результат как длину секундный маятник. После внесения поправок он обнаружил, что средняя длина маятника солнечных секунд в Лондоне на уровне моря при 62 ° F (17 ° C), колеблющемся в вакууме, составляла 39,1386 дюйма. Это эквивалентно ускорению свободного падения 9,81158 м / с.². Наибольшее отклонение его результатов от среднего составило 0,00028 дюймов (7,1 мкм). Это соответствует точности измерения силы тяжести 0,7 × 10⁻⁵ (7 миллигал ).

В 1824 году британский парламент сделал измерение секундного маятника Катером официальным резервным эталоном длины для определения секундного маятника. площадка если был уничтожен прототип двора.^{[10][11][12][13]}

Использовать

Гравиметр с вариантом маятника Репсольда

Значительное повышение точности измерения силы тяжести стало возможным благодаря маятнику Катера, установленному гравиметрия как постоянная часть геодезия. Чтобы быть полезным, необходимо было найти точное местоположение (широту и долготу) «станции», где проводилось измерение силы тяжести, поэтому измерения с помощью маятника стали частью геодезия. Маятники Катера были сняты на великой исторической геодезические изыскания большей части мира, что делалось в 19 веке. В частности, маятники Катера использовались в Большой тригонометрический обзор Индии.

Обратимые маятники оставались стандартным методом измерения абсолютной силы тяжести до тех пор, пока их не заменило свободное падение. гравиметры в 1950-е гг.^[14]

Маятник Репсольда – Бесселя

Маятник Репсольда.

Неоднократное отсчет времени каждого периода маятника Катера и корректировка весов до тех пор, пока они не станут равными, занимали много времени и приводили к ошибкам. Фридрих Бессель показал в 1826 г., что в этом нет необходимости. Пока периоды, отсчитываемые от каждой точки поворота, T₁ и т₂, близки по стоимости, период Т эквивалентного простого маятника можно рассчитать по ним:^[15]

${ displaystyle T ^ {2} = { frac {T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2}} {2}} + { frac {T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2}} {2}} left ({ frac {h_ {1} + h_ {2}} {h_ {1} -h_ {2}}} right) , qquad qquad qquad (2)}$

Здесь ${ displaystyle h_ {1} ,}$ и ${ displaystyle h_ {2} ,}$ - расстояния между двумя шарнирами от центра тяжести маятника. Расстояние между шкворнями, ${ displaystyle h_ {1} + h_ {2} ,}$, можно измерить с большой точностью. ${ displaystyle h_ {1} ,}$ и ${ displaystyle h_ {2} ,}$, и, следовательно, их различие ${ displaystyle h_ {1} -h_ {2} ,}$, невозможно измерить с сопоставимой точностью. Их можно найти, уравновешивая маятник на острие ножа, чтобы найти его центр тяжести, и измеряя расстояния каждого поворота от центра тяжести. Однако, поскольку ${ Displaystyle T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2} ,}$ намного меньше, чем ${ Displaystyle T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2} ,}$, второй член справа в приведенном выше уравнении мал по сравнению с первым, поэтому ${ displaystyle h_ {1} -h_ {2} ,}$ не обязательно определять с высокой точностью, и описанная выше процедура балансировки достаточна для получения точных результатов.

Таким образом, маятник совсем не обязательно должен быть регулируемым, это может быть просто стержень с двумя точками вращения. Пока каждая точка поворота близка к центр колебаний другого, поэтому два периода близки, период Т эквивалентного простого маятника можно рассчитать с помощью уравнения (2), а силу тяжести можно рассчитать из Т и L с (1).

Кроме того, Бессель показал, что, если маятник будет иметь симметричную форму, но с внутренним весом на одном конце, ошибка, вызванная эффектами сопротивления воздуха, исчезнет. Кроме того, другая ошибка, вызванная конечным диаметром кромок поворотных ножей, может быть устранена путем замены кромок ножей местами.

Бессель не строил такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд по контракту со Швейцарской геодезической комиссией разработал симметричный маятник длиной 56 см со сменными поворотными лопастями с периодом около секунды. Маятник Репсольда широко применялся в геодезических агентствах Швейцарии и России, а также в Обзор Индии. Другие широко применяемые маятники этой конструкции были изготовлены Чарльз Пирс и C. Defforges.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Точное измерение грамм с помощью маятника Катера, Университет Шеффилда Имеет вывод уравнений
• Катер, Генри (июнь 1818 г.) Отчет об экспериментах по определению длины секунд колебания маятника на широте Лондона, The Edinburgh Review, Vol. 30, стр.407 Имеет подробный отчет об эксперименте, описание маятника, определенную стоимость, интерес французских ученых.