Большие отклонения гауссовских случайных функций - Википедия - Large deviations of Gaussian random functions
А случайная функция - либо одной переменной (a случайный процесс ), или две или более переменных (a случайное поле ) - называется Гауссовский если каждый конечномерное распределение это многомерное нормальное распределение. Гауссовские случайные поля на сфера полезны (например) при анализе
- аномалии в космическое микроволновое фоновое излучение (видеть,[1] стр. 8–9);
- изображения мозга, полученные позитронно-эмиссионная томография (видеть,[1] стр. 9–10).
Иногда значение гауссовой случайной функции отклоняется от ожидаемое значение несколькими Стандартное отклонение. Это большое отклонение. Хотя и редко в небольшой области (пространства и / или времени), большие отклонения могут быть вполне обычным явлением в большой области.
Базовая инструкция
Позволять - максимальное значение гауссовской случайной функции на (двумерной) сфере. Предположим, что ожидаемое значение является (в каждой точке сферы), а стандартное отклонение является (в каждой точке сферы). Тогда для больших , близко к ,куда распространяется (в стандартное нормальное распределение ), и постоянная; это не зависит от , но зависит от корреляционная функция из (Смотри ниже). В относительная ошибка приближения экспоненциально затухает при больших .
Постоянная легко определить в важном частном случае, описанном в терминах производная по направлению из в заданной точке (сферы) в заданном направлении (тангенциальный к сфере). Производная случайна, с нулевым математическим ожиданием и некоторым стандартным отклонением. Последнее может зависеть от точки и направления. Однако если не зависит, то он равен (для сферы радиуса ).
Коэффициент перед на самом деле Эйлерова характеристика сферы (для тор он исчезает).
Предполагается, что дважды непрерывно дифференцируемый (почти наверняка ) и достигает максимума в одной точке (почти наверняка).
Подсказка: средняя эйлерова характеристика
Ключом к изложенной выше теории является эйлерова характеристика из набор всех точек (сферы) такие, что . Его ожидаемое значение (другими словами, среднее значение) можно вычислить явно:
(что далеко не тривиально и включает Теорема Пуанкаре – Хопфа, Теорема Гаусса – Бонне, Формула риса так далее.).
Набор это пустой набор в любое время ; в этом случае . В другом случае, когда , набор не пусто; его эйлерова характеристика может принимать различные значения в зависимости от топологии множества (количество связанные компоненты, и возможные дыры в этих компонентах). Однако если большой и тогда набор обычно представляет собой небольшой, слегка деформированный диск или эллипс (что легко догадаться, но довольно сложно доказать). Таким образом, его эйлерова характеристика обычно равно (при условии ). Вот почему близко к .
Смотрите также
дальнейшее чтение
Основное утверждение, данное выше, является простым частным случаем гораздо более общей (и сложной) теории, сформулированной Адлером.[1][2][3] Подробнее об этом частном случае см. В лекциях Цирельсона.[4]
- ^ а б c Роберт Дж. Адлер, "Об экскурсионных множествах, формулах трубок и максимумах случайных полей", Анналы прикладной вероятности 2000, Vol. 10, № 1, 1–74. (Специальная приглашенная статья.)
- ^ Роберт Дж. Адлер, Джонатан Э. Тейлор, «Случайные поля и геометрия», Springer 2007. ISBN 978-0-387-48112-8
- ^ Роберт Дж. Адлер, "Некоторые новые инструменты случайного поля для пространственного анализа", arXiv: 0805.1031.
- ^ Лекции Б. Цирельсона (особенно, раздел 5).