Leinster group - Leinster group

В математике Leinster group конечный группа чей порядок равняется сумме порядков своего нормальные подгруппы.^[1][2]

Группы Ленстера названы в честь Тома Лейнстера, математика из Эдинбургский университет, который писал о них в статье, написанной в 1996 году, но опубликованной только в 2001 году.^[3] Он назвал их «идеальными группами»,^[3] а позже "безупречные группы",^[4]но они были переименованы в группы Лейнстера Де Медтс и Мароти (2013), потому что "идеальная группа "уже имели другое значение (группа, равная своему коммутаторная подгруппа ).^[2]

Группы Ленстера дают теоретико-групповой способ анализа идеальные числа и подойти к все еще нерешенной проблеме существования нечетных совершенных чисел. циклическая группа, порядки подгрупп - это просто делители порядка группы, поэтому циклическая группа является группой Лейнстера тогда и только тогда, когда ее порядок является совершенным числом.^[2] Более того, как доказал Лейнстер, абелева группа группа Ленстера тогда и только тогда, когда она циклическая группа, порядок которой является совершенным числом.^[3]

Примеры

Циклические группы, порядок которых является совершенным числом, являются группами Лейнстера.^[3]

Неабелева лейнстерская группа может иметь нечетный порядок; например, заказ 355433039577, был построен Франсуа Брюно.^[1][4]

Другие примеры неабелевых групп Лейнстера включают определенные группы вида ${ displaystyle A_ {n} times C_ {m}}$, куда ${ displaystyle A_ {n}}$ является переменная группа и ${ displaystyle C_ {m}}$ - циклическая группа. Например, группы ${ displaystyle A_ {5} times C_ {15128}}$, ${ displaystyle A_ {6} times C_ {366776}}$ ^[4], ${ displaystyle A_ {7} times C_ {5919262622}}$ и ${ displaystyle A_ {10} times C_ {691816586092}}$ ^[5] группы Ленстера. Те же примеры можно построить и с симметричными группами, т. Е. Группами вида ${ Displaystyle S_ {п} раз C_ {m}}$, Такие как ${ displaystyle S_ {3} times C_ {5}}$.^[3]

Возможные порядки групп Ленстера образуют целочисленная последовательность

6, 12, 28, 30, 56, 360, 364, 380, 496, 760, 792, 900, 992, 1224, ... (последовательность A086792 в OEIS )

Характеристики

• Не существует симметричных или альтернирующих групп Лейнстера.^[3]
• Ленстерской группы порядка p не существует.²q², где p, q - простые числа.^[1]
• Нет конечного полупростая группа это Ленстер.^[1]
• Нет п-группа может быть группой Ленстера.^[4]
• Все абелевы группы Лейнстера циклические с порядком, равным совершенному числу.^[3]

Рекомендации