Теорема Литтлвуда о подчинении - Википедия - Littlewood subordination theorem
В математика, то Теорема Литтлвуда о подчинении, доказано Дж. Э. Литтлвуд в 1925 г. - это теорема в теория операторов и комплексный анализ. В нем говорится, что любой голоморфный однозначный Самокартирование единичный диск в сложные числа который фиксирует 0, индуцирует сжимающий оператор композиции на различных функциональные пространства голоморфных функций на круге. Эти пространства включают Пространства Харди, то Пространства Бергмана и Пространство Дирихле.
Теорема подчинения
Позволять час - голоморфное однолистное отображение единичного круга D в себя так, что час(0) = 0. Тогда оператор композиции Cчас определены на голоморфных функциях ж на D к
определяет линейный оператор с норма оператора меньше 1 на пространствах Харди , пространства Бергмана .(1 ≤ п <∞) и пространство Дирихле .
Нормы на этих пространствах определяются:
Неравенство Литтлвуда
Позволять ж - голоморфная функция в единичном круге D и разреши час - голоморфное однолистное отображение D в себя с час(0) = 0. Тогда, если 0 < р <1 и 1 ≤ п < ∞
Это неравенство справедливо и при 0 < п <1, хотя в этом случае интерпретации оператора нет.
Доказательства
Дело п = 2
Чтобы доказать результат для ЧАС2 достаточно показать, что для ж многочлен[1]
Позволять U быть односторонним сдвигом, определяемым
Это сопряжено U* предоставлено
С ж(0) = а0, это дает
и поэтому
Таким образом
С U*ж имеет степень меньше чем ж, по индукции следует, что
и поэтому
Тот же метод доказательства работает для А2 и
Общие пространства Харди
Если ж находится в пространстве Харди ЧАСп, то у него факторизация[2]
с жя ан внутренняя функция и жо ан внешняя функция.
потом
Неравенства
Принимая 0 < р <1, неравенства Литтлвуда следуют применением неравенств пространства Харди к функции
Неравенства также можно вывести, следуя Рис (1925), с помощью субгармонические функции.[3][4] Из неравенств, в свою очередь, сразу следует теорема о подчинении для общих пространств Бергмана.
Примечания
- ^ Никольский 2002, стр. 56–57
- ^ Никольский 2002, п. 57
- ^ Дюрен 1970
- ^ Шапиро 1993, п. 19
Рекомендации
- Дурен, П. Л. (1970), Теория H п пробелы, Чистая и прикладная математика, 38, Academic Press
- Литтлвуд, Дж. Э. (1925), "О неравенствах в теории функций", Proc. Лондонская математика. Soc., 23: 481–519, Дои:10.1112 / плмс / с2-23.1.481
- Никольский, Н. К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение. Vol. 1. Харди, Ханкель и Теплиц, Математические обзоры и монографии, 92, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1083-9
- Рис, Ф. (1925), "Sur une inégalite de M. Littlewood dans la théorie des fonctions", Proc. Лондонская математика. Soc., 23: 36–39, Дои:10.1112 / плмс / с2-23.1.1-с
- Шапиро, Дж. Х. (1993), Операторы композиции и классическая теория функций, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7