Теорема Малерса о компактности - Википедия - Mahlers compactness theorem

В математика, Теорема компактности Малера, доказано Курт Малер (1946 ), является основополагающим результатом на решетки в Евклидово пространство, характеризующие множества решеток, «ограниченные» в определенном смысле. Если посмотреть с другой стороны, это объясняет, каким образом решетка может выродиться (уходить в бесконечность) в последовательность решеток. Интуитивно понятно, что это возможно двумя способами: стать крупнозернистый с фундаментальная область который имеет еще больший объем; или содержащие более короткие и более короткие векторы. Его еще называют его теорема выбора, следуя более старому соглашению, используемому при именовании теорем компактности, потому что они были сформулированы в терминах последовательная компактность (возможность выбора сходящейся подпоследовательности).

Позволять Икс быть пространством

{ displaystyle mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {R}) / mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Z})}

который параметризирует решетки в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , с этими факторная топология. Существует четко определенный функция Δ на Икс, какой абсолютная величина из детерминант матрицы - это константа на смежные классы, поскольку обратимый целочисленная матрица имеет детерминант 1 или -1.

Теорема компактности Малера заявляет, что подмножество Y из Икс является относительно компактный если и только если Δ - это ограниченный на Y, и есть районN из 0 в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ такое, что для всех Λ в Y, единственная точка решетки Λ в N сам по себе 0.

Утверждение теоремы Малера равносильно компактности пространства решеток единичных кообъемов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ чей систола больше или равно любого фиксированного ${ displaystyle varepsilon> 0}$ .

Теорема Малера о компактности была обобщена на полупростые группы Ли к Дэвид Мамфорд; видеть Теорема Мамфорда о компактности.

Теорема Малерса о компактности - Википедия - Mahlers compactness theorem

Рекомендации