Теоремы Мертенса - Википедия - Mertens theorems

В теория чисел, Теоремы Мертенса три результата 1874 г., относящиеся к плотности простые числа доказано Франц Мертенс.^[1] «Теорема Мертенса» может также относиться к его теореме в анализ.

В теории чисел

Далее пусть ${ displaystyle p leq n}$ означают все простые числа, не превышающие п.

Первая теорема Мертенса:

{ displaystyle sum _ {p leq n} { frac { ln p} {p}} - ln n}

не превышает 2 по абсолютной величине для любого ${ Displaystyle п geq 2}$ . (A083343 )

Вторая теорема Мертенса:

{ displaystyle lim _ {n to infty} left ( sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ln n-M right) = 0,}

куда M это Константа Мейселя – Мертенса (A077761 ). Точнее, Мертенс^[1] доказывает, что выражение под пределом не превышает по модулю

{ displaystyle { frac {4} { ln (n + 1)}} + { frac {2} {n ln n}}}

для любого ${ Displaystyle п geq 2}$ .

Третья теорема Мертенса:

{ displaystyle lim _ {n to infty} ln n prod _ {p leq n} left (1 - { frac {1} {p}} right) = e ^ {- gamma },}

где γ - Константа Эйлера – Маскерони (A001620 ).

Изменения в знаке

В статье ^[2] от темпов роста функция суммы делителей опубликовано в 1983 г., Гай Робин доказал, что во 2-й теореме Мертенса разность

{ displaystyle sum _ {p leq n} { frac {1} {p}} - ln ln n-M}

меняет знак бесконечно часто, и что в 3-й теореме Мертенса разница

{ displaystyle ln n prod _ {p leq n} left (1 - { frac {1} {p}} right) -e ^ {- gamma}}

меняет знак бесконечно часто. Результаты Робина аналогичны Littlewood с знаменитая теорема что разность π (Икс) - li (Икс) меняет знак бесконечно часто. Нет аналога Число перекосов (верхняя граница первого натуральное число Икс для которого π (Икс)> li (Икс)) известен в случае 2-й и 3-й теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах

Относительно этой асимптотической формулы Мертенс ссылается в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра»:^[1] первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая - прототипом третьей теоремы Мертенса: см. самые первые строки статьи). Он напоминает, что она содержится в третьем издании Лежандра его «Теории Номеров» (1830 г .; фактически она уже упоминалась во втором издании 1808 г.), а также что более детальная версия была доказана Чебышев в 1851 г.^[3] Отметим, что уже в 1737 г. Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы.

Мертенс дипломатично описывает свое доказательство как более точное и строгое. В действительности ни одно из предыдущих доказательств не приемлемо по современным стандартам: вычисления Эйлера включают бесконечность (и гиперболический логарифм бесконечности, и логарифм логарифма бесконечности!); Аргумент Лежандра эвристичен; и доказательство Чебышева, хотя и совершенно надежное, использует гипотезу Лежандра-Гаусса, которая не была доказана до 1896 года и стала более известной как теорема о простых числах.

Доказательство Мертенса не апеллирует ни к какой недоказанной гипотезе (1874 г.), а только к элементарному реальному анализу. Это произошло за 22 года до первого доказательства теоремы о простых числах, которое, напротив, опирается на тщательный анализ поведения Дзета-функция Римана как функция комплексной переменной. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Действительно, с современные обозначения это дает

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (1 / log x)}

в то время как теорема о простых числах (в ее простейшей форме, без оценки погрешности), как можно показать, эквивалентна^[4]

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + o (1 / log x).}

В 1909 г. Эдмунд Ландау, используя лучшую версию теоремы о простых числах, имевшуюся тогда в его распоряжении, доказал^[5] который

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {1} {p}} = log log x + M + O (e ^ {- ( log x) ^ {1/14}}) }

держит; в частности, член ошибки меньше, чем ${ Displaystyle 1 / ( журнал х) ^ {к}}$ для любого фиксированного целого числа k. Простой суммирование по частям эксплуатируя самая сильная известная форма теоремы о простых числах улучшает это до