Теоремы Мертенса - Википедия - Mertens theorems

В теория чисел, Теоремы Мертенса три результата 1874 г., относящиеся к плотности простые числа доказано Франц Мертенс.[1] «Теорема Мертенса» может также относиться к его теореме в анализ.

В теории чисел

Далее пусть означают все простые числа, не превышающие п.

Первая теорема Мертенса:

не превышает 2 по абсолютной величине для любого . (A083343 )

Вторая теорема Мертенса:

куда M это Константа Мейселя – Мертенса (A077761 ). Точнее, Мертенс[1] доказывает, что выражение под пределом не превышает по модулю

для любого .

Третья теорема Мертенса:

где γ - Константа Эйлера – Маскерони (A001620 ).

Изменения в знаке

В статье [2] от темпов роста функция суммы делителей опубликовано в 1983 г., Гай Робин доказал, что во 2-й теореме Мертенса разность

меняет знак бесконечно часто, и что в 3-й теореме Мертенса разница

меняет знак бесконечно часто. Результаты Робина аналогичны Littlewood с знаменитая теорема что разность π (Икс) - li (Икс) меняет знак бесконечно часто. Нет аналога Число перекосов (верхняя граница первого натуральное число Икс для которого π (Икс)> li (Икс)) известен в случае 2-й и 3-й теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах

Относительно этой асимптотической формулы Мертенс ссылается в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра»:[1] первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая - прототипом третьей теоремы Мертенса: см. самые первые строки статьи). Он напоминает, что она содержится в третьем издании Лежандра его «Теории Номеров» (1830 г .; фактически она уже упоминалась во втором издании 1808 г.), а также что более детальная версия была доказана Чебышев в 1851 г.[3] Отметим, что уже в 1737 г. Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы.

Мертенс дипломатично описывает свое доказательство как более точное и строгое. В действительности ни одно из предыдущих доказательств не приемлемо по современным стандартам: вычисления Эйлера включают бесконечность (и гиперболический логарифм бесконечности, и логарифм логарифма бесконечности!); Аргумент Лежандра эвристичен; и доказательство Чебышева, хотя и совершенно надежное, использует гипотезу Лежандра-Гаусса, которая не была доказана до 1896 года и стала более известной как теорема о простых числах.

Доказательство Мертенса не апеллирует ни к какой недоказанной гипотезе (1874 г.), а только к элементарному реальному анализу. Это произошло за 22 года до первого доказательства теоремы о простых числах, которое, напротив, опирается на тщательный анализ поведения Дзета-функция Римана как функция комплексной переменной. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Действительно, с современные обозначения это дает

в то время как теорема о простых числах (в ее простейшей форме, без оценки погрешности), как можно показать, эквивалентна[4]

В 1909 г. Эдмунд Ландау, используя лучшую версию теоремы о простых числах, имевшуюся тогда в его распоряжении, доказал[5] который

держит; в частности, член ошибки меньше, чем для любого фиксированного целого числа k. Простой суммирование по частям эксплуатируя самая сильная известная форма теоремы о простых числах улучшает это до

для некоторых .

Третья теорема Мертенса и теория решета

Оценка вероятности () без фактора дан кем-то

Это тесно связано с третьей теоремой Мертенса, которая дает асимптотическое приближение

В теории суммируемости

В теория суммируемости, Теорема Мертенса заявляет, что если реальный или сложный бесконечная серия

сходится к А и другой

сходится абсолютно к B тогда их Продукт Коши сходится к AB.

Рекомендации

  1. ^ а б c Ф. Мертенс. J. Reine Angew. Математика. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
  2. ^ Робин, Г. (1983). "Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs". Семинэр Деланж – Пизо – Пуату, Теория имен (1981–1982). Успехи в математике. 38: 233–244.
  3. ^ П.Л. Чебычев. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
  4. ^ Хотя эта эквивалентность здесь явно не упоминается, ее, например, легко вывести из материала главы I.3: G. Tenenbaum. Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Перевод со второго французского издания (1995) К. Б. Томаса. Кембриджские исследования в области высшей математики, 46. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1995.
  5. ^ Эдмунд Ландау. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, стр. 197-203.

дальнейшее чтение

  • Яглом и Яглом Сложные математические задачи с элементарными решениями Том 2, задачи 171, 173, 174

внешняя ссылка