Взаимно объективные основы - Mutually unbiased bases

В квантовая информация теория взаимно объективные основы в Гильбертово пространство C^d два ортонормированные базы ${displaystyle {| e_ {1} угол, точки, | e_ {d} угол}}$ и ${displaystyle {| f_ {1} угол, точки, | f_ {d} угол}}$ так что квадрат из величина из внутренний продукт между любыми базовыми состояниями ${displaystyle | e_ {j} angle}$ и ${displaystyle | f_ {k} angle}$ равно обратный из измерение d:^[1]

${displaystyle | langle e_ {j} | f_ {k} angle | ^ {2} = {frac {1} {d}}, quad forall j, kin {1, dots, d}.}$

Эти базы беспристрастный в следующем смысле: если система подготовлена ​​в состоянии, принадлежащем одной из баз, то все результаты измерение по отношению к другому базису предсказываются с равной вероятностью.

Обзор

Понятие взаимно несмещенных оснований было впервые введено Швингером в 1960 г.^[2] и первым, кто рассмотрел заявления о взаимно объективных основаниях, был Иванович^[3] в проблеме определения квантового состояния.

Еще одна область, в которой могут применяться взаимно объективные основы, - это квантовое распределение ключей, в частности, в безопасном обмене квантовыми ключами.^[4] Взаимно непредвзятые основы используются во многих протоколах, поскольку результат является случайным, когда измерение выполняется на основе, объективной по отношению к той, на которой было подготовлено состояние. Когда две удаленные стороны совместно используют два неортогональных квантовых состояния, попытки перехватчика различить их посредством измерений будут влиять на систему, и это может быть обнаружено. Хотя многие протоколы квантовой криптографии полагались на 1-кубит технологии, использующие многомерные состояния, такие как кутриты, обеспечивает лучшую защиту от подслушивания.^[4] Это мотивирует изучение взаимно несмещенных базисов в многомерных пространствах.

Другие варианты использования взаимно объективных оснований включают: реконструкция квантового состояния,^[5] коды квантовой коррекции ошибок,^[6][7] обнаружение квантовая запутанность,^[8][9] и так называемая «проблема подлого короля».^[10][11]

Проблема существования

Позволять ${displaystyle {mathfrak {M}} (d)}$ обозначают максимальное количество взаимно несмещенных оснований в d-мерное гильбертово пространство C^d. Это открытый вопрос^[12] сколько взаимно объективных баз, ${displaystyle {mathfrak {M}} (d)}$, можно найти в C^d, для произвольных d.

В общем, если

${displaystyle d = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} cdots p_ {k} ^ {n_ {k}}}$

это факторизация простой мощности из d, куда

${displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}}$

то максимальное количество взаимно несмещенных базисов, которые могут быть построены, удовлетворяет^[1]

${displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} + 1leq {mathfrak {M}} (d) leq d + 1.}$

Отсюда следует, что если размерность гильбертова пространства d является целой степенью простого числа, то можно найти d + 1 взаимно объективная база. Это можно увидеть в предыдущем уравнении, поскольку разложение на простые числа d просто ${displaystyle d = p ^ {n}}$. Следовательно,

${displaystyle {mathfrak {M}} (p ^ {n}) = p ^ {n} +1.}$

Таким образом, известно максимальное количество взаимно несмещенных оснований, когда d является целой степенью простого числа, но неизвестно для произвольных d.

Примеры наборов взаимно несмещенных баз

Пример для d = 2

Три базы

${displaystyle M_ {0} = left {| 0angle, | 1angle ight}}$

${displaystyle M_ {1} = left {{frac {| 0angle + | 1angle} {sqrt {2}}}, {frac {| 0angle - | 1angle} {sqrt {2}}} ight}}$

${displaystyle M_ {2} = left {{frac {| 0angle + i | 1angle} {sqrt {2}}}, {frac {| 0angle -i | 1angle} {sqrt {2}}} ight}}$

предоставить простейший пример взаимно объективных оснований в C². Вышеуказанные базы состоят из собственные векторы из Спиновые матрицы Паули ${displaystyle sigma _ {z}, sigma _ {x}}$ и их продукт ${displaystyle sigma _ {x} sigma _ {z}}$, соответственно.

Пример для d = 4

За d = 4, пример d + 1 = 5 взаимно несмещенных базисов, где каждый базис обозначается M_j, 0 ≤ j ≤ 4, определяется следующим образом:^[13]

${displaystyle M_ {0} = left {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) ight} }$

${displaystyle M_ {1} = left {{frac {1} {2}} (1,1,1,1), {frac {1} {2}} (1,1, -1, -1), { frac {1} {2}} (1, -1, -1,1), {frac {1} {2}} (1, -1,1, -1) ight}}$

${displaystyle M_ {2} = left {{frac {1} {2}} (1, -1, -i, -i), {frac {1} {2}} (1, -1, i, i) , {frac {1} {2}} (1,1, i, -i), {frac {1} {2}} (1,1, -i, i) ight}}$

${displaystyle M_ {3} = left {{frac {1} {2}} (1, -i, -i, -1), {frac {1} {2}} (1, -i, i, 1) , {frac {1} {2}} (1, i, i, -1), {frac {1} {2}} (1, i, -i, 1) ight}}$

${displaystyle M_ {4} = left {{frac {1} {2}} (1, -i, -1, -i), {frac {1} {2}} (1, -i, 1, i) , {frac {1} {2}} (1, i, -1, i), {frac {1} {2}} (1, i, 1, -i) ight}}$

Методы поиска взаимно объективных оснований

Группа Вейля метод^[1]

Позволять ${displaystyle {hat {X}}}$ и ${displaystyle {hat {Z}}}$ быть двумя унитарные операторы в гильбертовом пространстве C^d такой, что

${Displaystyle {шляпа {Z}} {шляпа {X}} = омега {шляпа {X}} {шляпа {Z}}}$

для некоторых фазовый фактор ${displaystyle omega}$. Если ${displaystyle omega}$ это первобытный корень единства, Например ${displaystyle omega Equiv e ^ {frac {2pi i} {d}}}$ затем собственные базы из ${displaystyle {hat {X}}}$ и ${displaystyle {hat {Z}}}$ взаимно беспристрастны.

Выбирая собственный базис ${displaystyle {hat {Z}}}$ быть стандартная основа, мы можем сгенерировать другой несмещенный к нему базис, используя матрицу Фурье. Элементы матрицы Фурье имеют вид

${displaystyle F_ {ab} = omega ^ {ab}, 0leq a, bleq N-1}$

Другие базисы, несмещенные как к стандартному базису, так и к базису, порожденному матрицей Фурье, могут быть сгенерированы с использованием групп Вейля.^[1] Размерность гильбертова пространства важна при генерации наборов взаимно несмещенных базисов с использованием групп Вейля. Когда d простое число, то обычное d + 1 взаимно несмещенное основание может быть создано с помощью групп Вейля. Когда d не является простым числом, то возможно, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований, которые могут быть созданы с помощью этого метода, равно 3.

Метод унитарных операторов с использованием конечные поля

Когда d = п является основной, мы определяем унитарные операторы ${displaystyle {hat {X}}}$ и ${displaystyle {hat {Z}}}$ к

${displaystyle {hat {X}} = sum _ {k = 0} ^ {d-1} | k + 1angle langle k |}$

${displaystyle {hat {Z}} = sum _ {k = 0} ^ {d-1} omega ^ {k} | kangle langle k |}$

куда ${displaystyle {| kangle | 0leq jleq d-1}}$ стандартная основа и ${displaystyle omega = e ^ {frac {2pi i} {d}}}$ это корень единства.

Тогда собственные базы из следующих d + 1 операторы взаимно беспристрастны:^[14]

${displaystyle {hat {X}}, {hat {Z}}, {hat {X}} {hat {Z}}, {hat {X}} {hat {Z}} ^ {2} ... {hat {X}} {шляпа {Z}} ^ {d-1}}$

Когда ${displaystyle d = p ^ {r}}$ является степенью простого числа, мы используем конечное поле ${displaystyle mathbb {F} _ {d}}$ построить максимальный набор d + 1 взаимно объективная база. Обозначим элементы вычислительной базы C^d с использованием конечного поля:${displaystyle {| aangle | ain mathbb {F} _ {d}}}$.

Определим операторы ${displaystyle {hat {X_ {a}}}}$ и ${displaystyle {hat {Z_ {b}}}}$ следующим образом

${displaystyle {hat {X_ {a}}} = sum _ {cin mathbb {F} _ {d}} | c + aangle langle c |}$

${displaystyle {hat {Z_ {b}}} = sum _ {cin mathbb {F} _ {d}} chi (bc) | cangle langle c |}$

куда

${displaystyle chi (heta) = exp left [{frac {2pi i} {p}} left (heta + heta ^ {p} + heta ^ {p ^ {2}} + cdots + heta ^ {p ^ {r- 1}} ight) ight],}$

является аддитивным символом над полем, а сложение и умножение в кетах и ${displaystyle chi (cdot)}$ это из ${displaystyle mathbb {F} _ {d}}$.

Затем формируем d + 1 комплект поездка на работу унитарные операторы:

${displaystyle {{hat {Z_ {s}}} | sin mathbb {F} _ {d}}}$ и ${displaystyle {{hat {X_ {s}}} {hat {Z_ {sr}}} | sin mathbb {F} _ {d}}}$ для каждого ${displaystyle rin mathbb {F} _ {d}}$

Совместные собственные базисы операторов в одном наборе взаимно несмещены по отношению к базам любого другого набора.^[14] Таким образом, мы имеем d + 1 взаимно объективная база.

Матричный метод Адамара^[1]

Учитывая, что один базис в гильбертовом пространстве является стандартным, тогда все базисы, несмещенные относительно этого базиса, могут быть представлены столбцами комплексная матрица Адамара умноженный на коэффициент нормализации. За d = 3 эти матрицы имели бы вид

${displaystyle U = {frac {1} {sqrt {d}}} {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 e ^ {iphi _ {10}} & e ^ {iphi _ {11}} & e ^ {iphi _ {12}} e ^ {iphi _ {20}} & e ^ {iphi _ {21}} & e ^ {iphi _ {22}} конец {bmatrix}}}$

Проблема поиска набора k+1 взаимно несмещенная база, следовательно, соответствует нахождению k взаимно несмещенные комплексные матрицы Адамара.

Примером однопараметрического семейства матриц Адамара в 4-мерном гильбертовом пространстве является

${displaystyle H_ {4} (phi) = {frac {1} {2}} {egin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & e ^ {iphi} & - 1 & -e ^ {iphi} 1 & -1 & 1 & -1 1 & -e ^ {iphi} & - 1 & e ^ {iphi} конец {bmatrix}}}$

Проблема нахождения максимального набора MUB при d = 6

Наименьшее измерение, которое не является целой степенью простого числа, равно d = 6. Это также наименьшее измерение, для которого неизвестно количество взаимно несмещенных оснований. Методы, используемые для определения количества взаимно несмещенных оснований, когда d - целая степень простого числа, не может использоваться в этом случае. Ищет набор из четырех взаимно несмещенных баз, когда d = 6, оба с использованием матриц Адамара^[1] и численные методы^[15][16] были безуспешными. По общему мнению, максимальное количество взаимно объективных оснований для d = 6 - это ${displaystyle {mathfrak {M}} (6) = 3}$.^[1]

Отношения энтропийной неопределенности и MUBs

Существует альтернативная характеристика взаимно беспристрастных оснований, которая рассматривает их с точки зрения отношения неопределенности.^[17]

Отношения энтропийной неопределенности аналогичны Принцип неопределенности Гейзенберга, и Маассен и Уффинк^[18] обнаружил, что для любых двух баз ${displaystyle B_ {1} = {| a_ {i} angle _ {i = 1} ^ {d}}}$ и ${displaystyle B_ {2} = {| b_ {j} angle _ {j = 1} ^ {d}}}$:

${displaystyle H_ {B_ {1}} + H_ {B_ {2}} geq -2log c.}$

куда ${displaystyle c = max | langle a_ {j} | b_ {k} angle |}$ и ${displaystyle H_ {B_ {1}}}$ и ${displaystyle H_ {B_ {2}}}$ соответствующий энтропия баз ${displaystyle B_ {1}}$ и ${displaystyle B_ {2}}$, при измерении данного состояния.

Отношения энтропийной неопределенности часто предпочтительнее^[19] к Принцип неопределенности Гейзенберга, поскольку они сформулированы не в терминах измеряемого состояния, а в терминах c.

В таких сценариях, как квантовое распределение ключей, мы стремимся к таким базам измерения, при которых полное знание состояния по отношению к одному базису подразумевает минимальное знание состояния по отношению к другим базам. Это подразумевает высокую энтропию результатов измерений, и поэтому мы называем их сильный отношения энтропийной неопределенности.

Для двух баз нижняя граница отношения неопределенности максимизируется, когда базы измерений взаимно несмещены, поскольку взаимно несмещенные базы равны максимально несовместимый: результат измерения, выполненного на основе, не имеющей смещения относительно той, в которой подготовлено состояние, является полностью случайным. Фактически, для d-мерное пространство, имеем:^[20]

${displaystyle H_ {B_ {1}} + H_ {B_ {2}} журнал geq (d)}$

для любой пары взаимно несмещенных баз ${displaystyle B_ {1}}$ и ${displaystyle B_ {2}}$. Эта граница оптимальный:^[21] Если мы измеряем состояние по одной из баз, то результат будет иметь энтропию 0 в этом базисе и энтропию ${displaystyle log (d)}$ в другом.

Если размерность пространства является простой степенью, мы можем построить d +1 MUB, а затем было обнаружено, что^[22]

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {d + 1} H_ {B_ {k}} geq (d + 1) log left ({frac {d + 1} {2}} ight)}$

что сильнее, чем соотношение, которое мы получили бы при объединении наборов в пары с последующим использованием уравнения Маассена и Уффинка. Таким образом, мы имеем характеристику d + 1 взаимно беспристрастные основания как те, для которых отношения неопределенности наиболее сильны.

Хотя дело и для двух баз, и для d + 1 базы хорошо изучены, очень мало известно о соотношениях неопределенностей для взаимно объективных баз при других обстоятельствах.^[22][23]

При рассмотрении более двух и менее ${displaystyle d + 1}$ баз известно, что существуют большие наборы взаимно объективных баз, которые демонстрируют очень небольшую неопределенность.^[24] Это означает, что простая взаимная непредвзятость не приводит к высокой неопределенности, за исключением случаев, когда учитываются измерения только в двух базах. Однако существуют и другие измерения, которые очень неопределенны.^[22][25]

Взаимно несмещенные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах

Несмотря на то, что проводились исследования взаимно несмещенных базисов в бесконечномерном гильбертовом пространстве, их существование остается открытым вопросом. Предполагается, что в непрерывном гильбертовом пространстве два ортонормированные базы ${displaystyle | psi _ {s} ^ {b} angle}$ и ${displaystyle | psi _ {s '} ^ {b'} angle}$ считаются взаимно беспристрастными, если^[26]

${displaystyle | langle psi _ {s} ^ {b} | psi _ {s '} ^ {b'} angle | ^ {2} = k> 0, s, s'in mathbb {R}}$

Для собственных состояний обобщенного положения и импульса ${displaystyle | qangle, qin mathbb {R}}$ и ${displaystyle | pangle, pin mathbb {R}}$, значение k является

${displaystyle | langle q | pangle | ^ {2} = {frac {1} {2pi hbar}}}$

Существование взаимно несмещенных базисов в непрерывном гильбертовом пространстве остается открытым для дискуссий, поскольку необходимы дальнейшие исследования их существования, прежде чем можно будет сделать какие-либо выводы.

Состояние позиции ${displaystyle | qangle}$ и импульсные состояния ${displaystyle | pangle}$ являются собственными векторами эрмитовых операторов ${displaystyle {hat {x}}}$ и ${displaystyle -i {frac {partial} {partial x}}}$, соответственно. Вейгерт и Уилкинсон^[26] были первыми, кто заметил, что линейная комбинация этих операторов также имеет собственные базы, которые имеют некоторые особенности, типичные для взаимно несмещенных базисов. Оператор ${displaystyle alpha {hat {x}} - i eta {frac {partial} {partial x}}}$ имеет собственные функции, пропорциональные ${displaystyle exp (i (ax ^ {2} + bx)),}$ с ${displaystyle alpha +2 eta a = 0}$ и соответствующие собственные значения ${displaystyle b eta}$. Если параметризовать ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$ в качестве ${displaystyle cos heta}$ и ${displaystyle sin heta}$, перекрытие между любым собственным состоянием линейной комбинации и любым собственным состоянием оператора положения (оба состояния нормированы на дельту Дирака) постоянно, но зависит от ${displaystyle eta}$:

${displaystyle | langle x_ {heta} | xangle | ^ {2} = {frac {1} {2pi | sin heta |}},}$

куда ${displaystyle | xangle}$ и ${displaystyle | x_ {heta} angle}$ обозначают собственные функции ${displaystyle {hat {x}}}$ и ${displaystyle cos heta {hat {x}} - isin heta {frac {partial} {partial x}}}$.

Рекомендации