Некоммутативный гармонический анализ - Noncommutative harmonic analysis

В математика, некоммутативный гармонический анализ это поле, в котором получается Анализ Фурье распространяются на топологические группы это не коммутативный.^[1] поскольку локально компактные абелевы группы иметь хорошо понятную теорию, Понтрягинская двойственность, который включает в себя основные структуры Ряд Фурье и Преобразования Фурье, основной бизнес некоммутативных гармонический анализ обычно рассматривается как расширение теории на все группы г которые локально компактный. Случай компактные группы понимается, качественно и после Теорема Питера – Вейля с 1920-х годов, как в целом аналог конечные группы и их теория характера.

Таким образом, основная задача - это случай г то есть локально компактно, не компактно и не коммутативно. Среди интересных примеров много Группы Ли, а также алгебраические группы над p-адические поля. Эти примеры интересны и часто применяются в математическая физика, и современные теория чисел особенно автоморфные представления.

Чего ожидать, известно как результат основной работы Джон фон Нейман. Он показал, что если групповая алгебра фон Неймана из г имеет тип I, то L²(г) как унитарное представительство из г это прямой интеграл неприводимых представлений. Следовательно, он параметризуется унитарный дуальный, множество классов изоморфизма таких представлений, которому задается топология корпус-ядро. Аналог Теорема Планшереля абстрактно задается путем определения меры на унитарном двойственном Планшерель мера, по которому берется прямой интеграл. (Для двойственности Понтрягина мера Планшереля - это некоторая мера Хаара на двойная группа к г, поэтому единственной проблемой является ее нормализация.) Для общих локально компактных групп или даже счетных дискретных групп групповая алгебра фон Неймана не обязательно должна иметь тип I и регулярное представление г не может быть записан в терминах неприводимых представлений, даже если он унитарен и полностью приводим. Примером, где это происходит, является бесконечная симметрическая группа, где групповая алгебра фон Неймана - это гиперконечный тип II.₁ фактор. Дальнейшая теория делит меру Планшереля на дискретную и непрерывную части. Для полупростые группы, и классы разрешимые группы Ли, доступна очень подробная теория.^[2]

Смотрите также

• Формула следа Сельберга
• Программа Langlands
• Теория орбиты Кириллова
• Представление дискретной серии
• Зональная сферическая функция

использованная литература

• «Некоммутативный гармонический анализ: в честь Жака Кармона», Жак Кармона, Патрик Делорм, Мишель Вернь; Издательство Springer, 2004 г. ISBN  0-8176-3207-7 ^[3]
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп. Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.

Заметки