Омега уравнение - Omega equation

В омега уравнение это кульминационный результат синоптическая шкала метеорология. Это эллиптический уравнение в частных производных, названный потому, что его левая часть дает оценку вертикальной скорости, обычно^[1] выражается символом ${ displaystyle omega}$ , в координата давления измерение высоты атмосферы. Математически, ${ displaystyle omega = { frac {dp} {dt}}}$ , куда ${ displaystyle {d over dt}}$ представляет материальная производная. Однако основная концепция является более общей и может также применяться.^[2] к Буссинеск система уравнений жидкости, в которой вертикальная скорость ${ displaystyle w = { frac {dz} {dt}}}$ по высоте z.

Концепция и резюме

Вертикальный ветер имеет решающее значение для Погода и штормы всех типов. Даже медленные широкие восходящие потоки могут создать конвективная неустойчивость или подвести воздух к его повышенный уровень конденсации создание стратиформ облако колоды. К сожалению, напрямую предсказать вертикальное движение сложно. За синоптические шкалы в земле широкой и мелкой тропосфера, вертикальная составляющая ньютоновского закон движения приносится в жертву метеорологии примитивные уравнения, приняв гидростатический приближение. Вместо этого вертикальная скорость должна быть решена через ее связь с горизонтальными законами движения через массу уравнение неразрывности. Но это создает дополнительные трудности, потому что горизонтальные ветры в основном геострофический, в хорошее приближение. Геострофические ветры циркулируют только горизонтально и не сильно сходиться или расходиться по горизонтали, чтобы обеспечить необходимую связь с непрерывностью массы и, следовательно, с вертикальным движением.

Ключевой вывод, воплощенный в квазигеострофический уравнение омеги состоит в том, что тепловой баланс ветра (комбинация баланса гидростатических и геострофических сил, описанная выше) на протяжении всего времени, хотя горизонтальный транспорт количества движения и тепла геострофическими ветрами часто нарушают этот баланс. Логично, что небольшая негеострофический компонент ветра (расходящийся и, следовательно, связанный с вертикальным движением) должен действовать как вторичная циркуляция для поддержания баланса геострофической первичной циркуляции. В квазигеострофический омега ${ displaystyle omega _ {QG}}$ - гипотетическое вертикальное движение, адиабатическое охлаждение или нагревание эффект (на основе атмосферы статическая устойчивость ) помешало бы термический ветер дисбаланс от роста со временем, противодействуя разрушающему баланс (или создающему дисбаланс) эффектам адвекция. Строго говоря, QG теория аппроксимирует как перенесенный импульс, так и скорость адвектирования, определяемую геострофический ветер.

Таким образом, можно рассматривать вертикальную скорость, полученную в результате решения уравнения омега, как то, что было бы необходимо для поддержания геострофии и гидростазии перед лицом адвекции геострофического ветра.^[1]

Уравнение гласит:

{ displaystyle sigma nabla _ { text {H}} ^ {2} omega + f ^ {2} { frac { partial ^ {2} omega} { partial p ^ {2}}} = f { frac { partial} { partial p}} left [ mathbf {V} _ { text {g}} cdot nabla _ { text {H}} left ( zeta _ { text {g}} + f right) right] - nabla _ { text {H}} ^ {2} left ( mathbf {V} _ { text {g}} cdot nabla _ { text {H}} { frac { partial phi} { partial p}} right)}

(1)

куда ${ displaystyle f}$ это Параметр Кориолиса, ${ displaystyle sigma}$ относится к статическая устойчивость, ${ displaystyle mathbf {V} _ { text {g}}}$ это геострофическая скорость вектор, ${ displaystyle zeta _ { text {g}}}$ геострофический относительная завихренность, ${ displaystyle phi}$ это геопотенциал, ${ Displaystyle набла _ { текст {H}} ^ {2}}$ горизонтальный Оператор лапласа и ${ displaystyle nabla _ { text {H}}}$ горизонтальный дель оператор.^[3] Его знак и смысл в типичных погодных условиях^[4] является: вверх движение производится положительный адвекция завихренности над рассматриваемый уровень (первый член), плюс теплый адвекция (второй член).

Вывод

Вывод ${ displaystyle omega}$ уравнение основано на вертикальной составляющей уравнение завихренности, и термодинамическое уравнение. Вертикаль уравнение завихренности для атмосферы без трения можно записать, используя давление как вертикальную координату:

{ Displaystyle { frac { partial xi} { partial t}} + V cdot nabla eta -f { frac { partial omega} { partial p}} = left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) + { hat {k}} cdot nabla omega раз { frac { partial V} { partial p}}}

(2)

Здесь ${ Displaystyle xi}$ относительная завихренность, ${ displaystyle V}$ вектор горизонтальной скорости ветра, компоненты которого в ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ направления ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ соответственно, ${ displaystyle eta}$ абсолютная завихренность ${ displaystyle xi + f}$ , ${ displaystyle f}$ это Параметр Кориолиса, ${ displaystyle omega = { frac {dp} {dt}}}$ в материальная производная давления ${ displaystyle p}$ , ${ displaystyle { hat {k}}}$ - единичный вертикальный вектор, ${ displaystyle nabla}$ - изобарический оператор Дель (град), ${ displaystyle left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right)}$ - вертикальная адвекция завихренности и ${ displaystyle { hat {k}} cdot nabla omega times { frac { partial V} { partial p}}}$ представляет собой термин «наклон» или преобразование горизонтальной завихренности в вертикальную завихренность.^[5]

Уравнение термодинамики можно записать как:

{ displaystyle { frac { partial} { partial t}} left (- { frac { partial Z} { partial p}} right) + V cdot nabla left (- { frac { partial Z} { partial p}} right) -k omega = { frac {R} {C _ { text {p}} cdot g}} cdot { frac {Q} {p} }}

(3)

куда ${ Displaystyle к эквив влево ({ гидроразрыва { partial Z} { partial p}} справа) { frac { partial} { partial p}} ln theta}$ , в котором ${ displaystyle Q}$ - скорость нагрева (подача энергии в единицу времени и единицу массы), ${ displaystyle C _ { text {p}}}$ - удельная теплоемкость сухого воздуха, ${ displaystyle R}$ газовая постоянная для сухого воздуха, ${ displaystyle theta}$ - потенциальная температура и ${ displaystyle phi}$ геопотенциал ${ displaystyle (gZ)}$ .

В ${ displaystyle omega}$ уравнение (1) получается из уравнения (2) и (3), преобразовав оба уравнения в терминах геопотенциала Z, и исключение производных по времени на основе физического предположения, что тепловой дисбаланс ветра остается небольшим во времени, или d / dt (дисбаланс) = 0. На первом этапе относительная завихренность должна быть аппроксимирована как геострофическая завихренность:

{ displaystyle xi = { frac {g} {f}} nabla ^ {2} Z}

Расширяя последний член "наклона" в (2) в декартовы координаты (хотя мы скоро пренебрежем этим) уравнение завихренности гласит:

{ displaystyle { frac { partial} { partial t}} left ({ frac {g} {f}} nabla ^ {2} Z right) + V cdot nabla eta -f { frac { partial omega} { partial p}} = left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) + left ({ frac { partial omega} { partial y}} { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega} { partial x}} { frac { partial v} { partial p}} right)}

(4)

Дифференцируя (4) относительно ${ displaystyle p}$ дает:

{ displaystyle { frac {g} {f}} { frac { partial} { partial t}} nabla ^ {2} left ({ frac { partial Z} { partial p}} справа) + { frac { partial} { partial p}} (V cdot nabla eta) -f { frac { partial ^ {2} omega} { partial p ^ {2}}} = { frac { partial} { partial p}} left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p }} right) + { frac { partial} { partial p}} left ({ frac { partial omega} { partial y}} cdot { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega} { partial x}} cdot { frac { partial v} { partial p}} right)}

(5)

Взяв лапласиан ( ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ ) из (3) дает:

{ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} nabla ^ {2} left (- { frac { partial Z} { partial p}} right) + nabla ^ {2} [V cdot nabla left (- { frac { partial Z} { partial p}} right)] - nabla ^ {2} k omega = { frac {R} {C _ { text {p}} cdot g}} cdot { frac { nabla ^ {2} Q} {p}}}

(6)

Добавление (5) к г / ж раз (6), подставив ${ displaystyle gk = sigma}$ , и аппроксимируя горизонтальную адвекцию геострофическая адвекция (с использованием Якобиан формализм) дает:

{ displaystyle nabla ^ {2} omega + { frac {f ^ {2}} { sigma}} { frac { partial ^ {2} omega} { partial p ^ {2}}} = { frac {1} { sigma}} left [{ frac { partial} { partial p}} J ( phi, eta) + { frac {1} {f}} nabla ^ {2} J left ( phi, - { frac { partial phi} { partial p}} right) right] - { frac {f} { sigma}} { frac { partial } { partial p}} left ({ frac { partial omega} { partial y}} cdot { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega } { partial x}} cdot { frac { partial v} { partial p}} right) - { frac {f} { sigma}} { frac { partial} { partial p} } left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) { frac {R cdot набла ^ {2} Q} {C _ { text {p}} cdot S cdot p}}}

(7)

Уравнение (7) теперь является диагностическим линейным дифференциальным уравнением для ${ displaystyle omega}$ , который можно разделить на два члена, а именно ${ displaystyle omega _ {1}}$ и ${ displaystyle omega _ {2}}$ , такое, что:

{ displaystyle nabla ^ {2} omega _ {1} + { frac {f ^ {2}} { sigma}} { frac { partial ^ {2} omega _ {1}} { частичный p ^ {2}}} = { frac {1} { sigma}} left [{ frac { partial} { partial p}} J ( phi, eta) + { frac {1 } {f}} nabla ^ {2} J left ( phi, - { frac { partial phi} { partial p}} right) right] - { frac {f} { sigma }} { frac { partial} { partial p}} left ({ frac { partial omega} { partial y}} cdot { frac { partial u} { partial p}} - { frac { partial omega} { partial x}} cdot { frac { partial v} { partial p}} right) - { frac {f} { sigma}} { frac { partial} { partial p}} left ( xi { frac { partial omega} { partial p}} - omega { frac { partial xi} { partial p}} right) }

(8)

и

{ displaystyle nabla ^ {2} omega _ {2} + { frac {f ^ {2}} { sigma}} { frac { partial ^ {2} omega _ {2}} { частичный p ^ {2}}} = { frac {R cdot nabla ^ {2} Q} {C _ { text {p}} cdot sigma cdot p}}}

(9)

куда ${ displaystyle omega _ {1}}$ - вертикальная скорость, относящаяся ко всем зависящим от потока адвективным тенденциям в уравнении (8), и ${ displaystyle omega _ {2}}$ - вертикальная скорость из-за неадиабатического нагрева, которая включает скрытую теплоту конденсации, потоки явного тепла, радиационный нагрев и т. д. (Singh & Rathor, 1974). Поскольку все скорости адвекции по горизонтали были заменены геострофическими значениями, а геострофические ветры почти не расходятся, пренебрежение условиями вертикальной адвекции является последовательным дополнительным предположением квазигеострофический установить, оставив только член в квадратных скобках в уравнениях. (7-8) войти (1).

Интерпретация

Уравнение (1) для адиабатических ${ displaystyle omega _ {QG}}$ используется метеорологами и оперативными синоптиками, чтобы предсказать, где на синоптических картах произойдет восходящее движение. Для синусоидальных или волнообразных движений, где операторы Лапласа действуют просто как отрицательный знак^[4], а смысл уравнения можно выразить словами, обозначающими знак эффекта: Движение вверх движется адвекция положительной завихренности, увеличивающаяся с высотой (сокращенно ПВА), плюс теплая адвекция (или сокращенно WA). Противоположный знаковый случай для этого линейного уравнения логически противоположен.

В месте, где эффекты дисбаланса адиабатической адвекции вызывают движение вверх (где ${ displaystyle omega _ {QG} <0}$ в уравнении. 1), инерция геострофического поля ветра (то есть его склонность к продвижению вперед) создает потребность в уменьшении толщины ${ displaystyle { frac {- partial Z} { partial p}}}$ для сохранения теплового баланса ветра. Например, при приближении циклона верхнего уровня или желоба выше рассматриваемого уровня часть ${ displaystyle omega _ {QG}}$ относящийся к первому члену в формуле. 1 движение вверх необходимо для создания все более холодного столба воздуха, который требуется гипсометрически под падающими высотами. Это адиабатическое рассуждение должно быть дополнено оценкой обратных связей от нагрева в зависимости от потока, таких как выделение скрытого тепла. Если скрытая теплота выделяется при охлаждении воздуха, тогда потребуется дополнительное движение вверх на основе уравнения. (9), чтобы противодействовать его эффекту, чтобы по-прежнему создавать необходимое прохладное ядро. Другой способ подумать о такой обратной связи - это рассмотреть эффективную статическую стабильность, которая меньше в насыщенном воздухе, чем в ненасыщенном, хотя сложность этой точки зрения состоит в том, что скрытый нагрев, опосредованный конвекцией, не обязательно должен быть вертикально локальным по отношению к высоте, на которой охлаждение за счет ${ displaystyle omega _ {QG}}$ запускает его формирование. По этой причине, сохранение отдельного Q-члена, такого как уравнение (9), является полезным подходом.^[6].

внешняя ссылка

Определение Американского метеорологического общества

[:0-1] а ^б Холтон, Джеймс (2004). Введение в динамическую метеорологию. Elsevier Academic Press. ISBN 0123540151.

[2] Дэвис, Хью (2015). «Квазигеострофическое уравнение омега: переоценка, уточнение и актуальность». Ежемесячный обзор погоды. 143 (1): 3–25. Bibcode:2015MWRv..143 .... 3D. Дои:10.1175 / MWR-D-14-00098.1.

[3] Холтон, Дж. Р., 1992, Введение в динамическую метеорологию Academic Press, 166-175

[:1-4] а ^б «Лаборатория квазигеострофических омега-уравнений». Программа METEd, CoMET. Получено 10 ноября 2019.

[5] Сингх и Ратор, 1974, приведение полного уравнения Омега к простейшей форме, Чистая и прикладная геофизика, 112, 219-223

[6] Не, Джи; Фан, Боуэн (19.06.2019). «Роль динамических воздействий и диабатического нагрева в летних экстремальных осадках в Восточном Китае и на юго-востоке США». Журнал климата. 32 (18): 5815–5831. Bibcode:2019JCli ... 32.5815N. Дои:10.1175 / JCLI-D-19-0188.1. ISSN 0894-8755.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Омега уравнение - Omega equation

Содержание

Концепция и резюме

Вывод

Интерпретация

Рекомендации

внешняя ссылка