Плюригармоническая функция - Википедия - Pluriharmonic function

В математика, именно в теория функций нескольких комплексных переменных, а плюригармоническая функция это реальная ценность функция который локально то реальная часть голоморфной функции многих комплексных переменных. Иногда такую функцию называют п-гармоническая функция, куда п ≥ 2 - это измерение из сложный домен где функция определена.^[1] Однако в современных изложениях теории функций многих комплексных переменных^[2] предпочтительно дать эквивалентную формулировку концепции, определив плюригармоническую функцию a комплексно оцененный функция, ограничение которой на каждый комплекс линия это гармоническая функция с уважением к настоящий и мнимая часть параметра сложной линии.

Формальное определение

Определение 1. Позволять $грамм \subseteq ℂ п$ быть сложный домен и $ж : грамм \to ℂ$ быть $C 2$ (дважды непрерывно дифференцируемый ) функция. Функция $ж$ называется плюригармонический если для каждого сложный линия

{ displaystyle {a + bz mid z in { mathbb {C}} } subset mathbb {C} ^ {n}}

формируется за счет использования каждой пары сложных кортежи $а, б \in ℂ п$ , функция

{ displaystyle z mapsto f (a + bz)}

это гармоническая функция на съемочной площадке

{ displaystyle {z in { mathbb {C}} mid a + bz in G } subset mathbb {C}}

.

Основные свойства

Каждая плюригармоническая функция является гармоническая функция, но не наоборот. Далее, можно показать, что для голоморфные функции нескольких комплексных переменных действительная (и мнимая) части являются локально плюригармоническими функциями. Однако то, что функция является гармонической по каждой переменной в отдельности, не означает, что она плюригармонична.

Смотрите также

Примечания

^ См. Например (Севери 1958, п. 196) и (Рицца 1955, п. 202). Пуанкаре (1899 г., pp. 111–112) вызывает такие функции »функции бигармоники", независимо от измерение п ≥ 2: его статья, возможно,^{[нужна цитата ]} старый, в котором плюригармонический оператор выражается с использованием первого порядка операторы с частными производными теперь называется Производные Виртингера.
^ См., Например, популярный учебник Кранц (1992, п. 92) и продвинутый (пусть и немного устаревший) монография к Ганнинг и Росси (1965, п. 271).

Исторические ссылки

Ганнинг, Роберт С.; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных, Серия Прентис-Холла в современном анализе, Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice-Hall, стр. xiv + 317, ISBN 9780821869536, МИСТЕР 0180696, Zbl 0141.08601.
Кранц, Стивен Г. (1992), Теория функций нескольких комплексных переменных, Серия по математике Уодсворта и Брукса / Коула (второе изд.), Пасифик Гроув, Калифорния: Wadsworth & Brooks / Cole, стр. Xvi + 557, ISBN 0-534-17088-9, МИСТЕР 1162310, Zbl 0776.32001.
Пуанкаре, Х. (1899), "Sur les propriétés du Potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (На французском), 22 (1): 89–178, Дои:10.1007 / BF02417872, JFM 29.0370.02.
Севери, Франческо (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме (на итальянском языке), Падуя: CEDAM - Casa Editrice Dott. Антонио Милани, стр. XIV + 255, Zbl 0094.28002. Заметки из курса, проведенного Франческо Севери в Istituto Nazionale di Alta Matematica (который в настоящее время носит его имя), содержащий приложения Энцо Мартинелли, Джованни Баттиста Рицца и Марио Бенедикти. Английский перевод названия гласит: - "Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - читал лекции в 1956–57 в Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме.".

внешняя ссылка

Соломенцев, Э. Д. (2001) [1994], «Плюригармоническая функция», Энциклопедия математики, EMS Press

Эта статья включает материал из плюригармонической функции на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] См. Например (Севери 1958, п. 196) и (Рицца 1955, п. 202). Пуанкаре (1899 г., pp. 111–112) вызывает такие функции »функции бигармоники", независимо от измерение п ≥ 2: его статья, возможно,^{[нужна цитата ]} старый, в котором плюригармонический оператор выражается с использованием первого порядка операторы с частными производными теперь называется Производные Виртингера.

[2] См., Например, популярный учебник Кранц (1992, п. 92) и продвинутый (пусть и немного устаревший) монография к Ганнинг и Росси (1965, п. 271).

[1]

[2]