Граница Пуассона - Poisson boundary

В математика, то Граница Пуассона это измерить пространство связано с случайная прогулка. Это объект, предназначенный для кодирования асимптотический поведение случайного блуждания, т.е.как траектории расходятся, когда количество шагов стремится к бесконечности. Несмотря на то, что его называют границей, это в целом объект чисто теоретической меры, а не граница в топологическом смысле. Однако в случае, когда случайное блуждание происходит в топологическом пространстве, граница Пуассона может быть связана с Граница Мартина что является аналитической конструкцией, дающей настоящую топологическую границу. Обе границы связаны с гармонические функции на пространстве с помощью обобщений Формула Пуассона.

Случай гиперболической плоскости

Формула Пуассона утверждает, что с учетом положительной гармонической функции ${ displaystyle f}$ на единичный диск ${ Displaystyle mathbb {D} = {z in mathbb {C}: | z | <1 }}$ (то есть, ${ displaystyle Delta f = 0}$ куда ${ displaystyle Delta}$ это Оператор Лапласа – Бельтрами связанный с Метрика Пуанкаре на ${ Displaystyle mathbb {D}}$ ) существует единственная мера ${ displaystyle mu}$ на границе ${ displaystyle partial mathbb {D} = {z in mathbb {C}: | z | = 1 }}$ такое, что равенство

{ Displaystyle е (z) = int _ { partial mathbb {D}} К (z, xi) , d mu ( xi)}

куда

{ Displaystyle К (z, xi) = { гидроразрыва {1- | z | ^ {2}} {| xi -z | ^ {2}}}}

это Ядро Пуассона,

относится ко всем ${ Displaystyle г в mathbb {D}}$ . Один из способов интерпретировать это состоит в том, что функции ${ Displaystyle К ( cdot, xi)}$ за ${ displaystyle xi in partial mathbb {D}}$ до масштабирования всех крайние точки в конусе неотрицательных гармонических функций. Эта аналитическая интерпретация множества ${ Displaystyle partial mathbb {D}}$ приводит к более общему понятию минимальная граница Мартина (что в данном случае является полным Граница Мартина).

Этот факт также можно интерпретировать вероятностным образом. Если ${ displaystyle W_ {t}}$ это Марковский процесс связано с ${ displaystyle Delta}$ (т.е. Броуновское движение на круге с римановой метрикой Пуанкаре), то процесс ${ displaystyle f (W_ {t})}$ это непрерывное время мартингейл, и поэтому почти всюду сходится к функции на Винеровское пространство возможных (бесконечных) траекторий для ${ displaystyle W_ {t}}$ . Таким образом, формула Пуассона отождествляет это измеренное пространство с границей Мартина, построенной выше, и в конечном итоге ${ Displaystyle partial mathbb {D}}$ наделен классом меры Лебега (отметим, что это отождествление может быть выполнено непосредственно, поскольку путь в винеровском пространстве почти наверняка сходится к точке на ${ Displaystyle partial mathbb {D}}$ ). Эта интерпретация ${ Displaystyle partial mathbb {D}}$ поскольку пространство траекторий для марковского процесса является частным случаем построения границы Пуассона.

Наконец, приведенные выше конструкции могут быть дискретизированы, т.е. ограничены случайными блужданиями по орбитам Фуксова группа действующий на ${ Displaystyle mathbb {D}}$ . Это позволяет отождествить экстремальные положительные гармонические функции на группе и пространство траекторий случайного блуждания на группе (оба относительно заданной вероятностной меры) с топологическим / измеренным пространством ${ Displaystyle mathbb {D}}$ .

Определение

Граница Пуассона случайного блуждания на дискретной группе

Позволять ${ displaystyle G}$ дискретная группа и ${ displaystyle mu}$ вероятностная мера на ${ displaystyle G}$ , который будет использоваться для определения случайного блуждания ${ displaystyle X_ {t}}$ на ${ displaystyle G}$ (Марковский процесс с дискретным временем, переходные вероятности которого равны ${ Displaystyle р (х, у) = му (ху ^ {- 1})}$ ); мера ${ displaystyle mu}$ называется ступенчатое распределение для случайного блуждания. Позволять ${ displaystyle m}$ быть еще одной мерой ${ displaystyle G}$ , которое будет начальным состоянием для случайного блуждания. Космос ${ Displaystyle G ^ { mathbb {N}}}$ траекторий для ${ displaystyle X_ {t}}$ наделен мерой ${ Displaystyle mathbb {P} _ {m} = m * mu ^ {* mathbb {N}}}$ (куда ${ displaystyle *}$ обозначает свертка мер). Также есть отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ на ${ Displaystyle G ^ { mathbb {N}}}$ , который определяет ${ displaystyle (x_ {t})}$ к ${ displaystyle (y_ {t})}$ если существует ${ displaystyle n, m in mathbb {N}}$ такой, что ${ Displaystyle х_ {т + п} = у_ {т + м}}$ для всех ${ Displaystyle т geq 0}$ (две траектории имеют один и тот же «хвост»). В Граница Пуассона из ${ displaystyle (G, mu)}$ тогда измеренное пространство ${ displaystyle Gamma}$ получается как частное от ${ displaystyle (G ^ { mathbb {N}}, mathbb {P} _ {m})}$ по отношению эквивалентности ${ displaystyle sim}$ .^[1]

Если ${ displaystyle theta}$ - начальное распределение случайного блуждания со ступенчатым распределением ${ displaystyle mu}$ тогда мера ${ displaystyle nu _ { theta}}$ на ${ displaystyle Gamma}$ полученный как толчок ${ displaystyle mathbb {P} _ { theta}}$ . Это стационарная мера для ${ displaystyle (G, mu)}$ , означающий, что

{ Displaystyle int _ {G} nu (g ^ {- 1} A) mu (g) ​​= nu _ { theta} (A).}

Можно дать неявное определение границы Пуассона как максимальной ${ displaystyle G}$ -комплект с ${ displaystyle (G, mu)}$ -стационарная мера ${ displaystyle nu}$ , удовлетворяющая дополнительному условию ${ displaystyle (X_ {t}) _ {*} nu}$ почти наверняка слабо сходится к Масса Дирака.^[2]

Формула Пуассона

Позволять ${ displaystyle f}$ быть ${ displaystyle mu}$ -гармоническая функция на ${ displaystyle G}$ , означающий, что ${ Displaystyle сумма _ {ч в G} е (рт) му (ч) = е (г)}$ . Тогда случайная величина ${ displaystyle f (X_ {t})}$ является мартингалом с дискретным временем и поэтому почти наверняка сходится. Обозначим через ${ displaystyle { hat {f}}}$ функция на ${ displaystyle Gamma}$ полученный путем взятия предела значений ${ displaystyle f}$ вдоль траектории (это определено почти всюду на ${ Displaystyle G ^ { mathbb {N}}}$ и инвариантный к сдвигу). Позволять ${ displaystyle x in G}$ и разреши ${ displaystyle nu _ {x}}$ - мера, полученная указанным выше сужением с ${ displaystyle theta = delta _ {x}}$ (масса Дирака при ${ displaystyle x}$ ). Если ${ displaystyle f}$ либо положительно, либо ограничено, то ${ displaystyle { hat {f}}}$ тоже, и у нас есть Формула Пуассона:

{ displaystyle f (x) = int _ { Gamma} { hat {f}} ( gamma) , d nu _ {x} ( gamma).}

Это устанавливает взаимное соответствие между ${ displaystyle mu}$ -гармонические ограниченные функции и существенно ограниченные измеримые функции на ${ displaystyle Gamma}$ . В частности, пуассоновская граница ${ displaystyle (G, mu)}$ тривиально, сводится к точке тогда и только тогда, когда единственное ограниченное ${ displaystyle mu}$ -гармонические функции на ${ displaystyle G}$ постоянны.

Общее определение

Общие настройки такие же, как у Марковский оператор на мерном пространстве - понятие, обобщающее марковский оператор ${ displaystyle f mapsto mu * f}$ связано со случайным блужданием. Большая часть теории может быть развита в этой абстрактной и очень общей постановке.

Граница Мартина

Граница Мартина дискретной группы

Позволять ${ Displaystyle G, mu}$ случайное блуждание по дискретной группе. Позволять ${ Displaystyle р_ {п} (х, у)}$ быть вероятностью получить от ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle n}$ шаги, т.е. ${ Displaystyle му ^ {* п} (х ^ {- 1} у)}$ . Ядро Грина по определению:

{ displaystyle { mathcal {G}} (x, y) = sum _ {n geq 1} p_ {n} (x, y).}

Если блуждание временное, то этот ряд сходится для всех ${ displaystyle x, y}$ . Зафиксируйте точку ${ Displaystyle о в G}$ и определим ядро Мартина: ${ displaystyle { mathcal {K}} _ {o} (x, y) = { frac {{ mathcal {G}} (x, y)} {{ mathcal {G}} (о, y) }}}$ . Вложение ${ Displaystyle у mapsto { mathcal {K}} _ {o} ( cdot, y)}$ имеет относительно компактный образ топологии поточечной сходимости, и компактификация Мартина является замыканием этого образа. Точка ${ displaystyle gamma in Gamma}$ обычно обозначается ${ Displaystyle { mathcal {K}} ( cdot, gamma)}$ .

Ядра Мартина являются положительными гармоническими функциями, и каждая положительная гармоническая функция может быть выражена как интеграл функций на границе, то есть для каждой положительной гармонической функции существует мера ${ displaystyle nu _ {о, f}}$ на ${ displaystyle Gamma}$ такая, что имеет место формула типа Пуассона:

{ displaystyle f (x) = int { mathcal {K}} _ {o} (x, gamma) , d nu _ {o, f} ( gamma).}

Меры ${ displaystyle nu _ {о, f}}$ поддерживаются на минимальный Граница Мартина, элементы которой также можно охарактеризовать как минимальные. Положительная гармоническая функция ${ displaystyle u}$ как говорят минимальный если для любой гармонической функции ${ displaystyle v}$ с ${ displaystyle 0 leq v leq u}$ Существует ${ Displaystyle с в [0,1]}$ такой, что ${ displaystyle v = cu}$ .^[3]

На самом деле существует целое семейство компактификаций Мартина. Определим производящий ряд Грина как

{ displaystyle { mathcal {G}} _ {r} (x, y) = sum _ {n geq 1} p_ {n} (x, y) r ^ {n}.}

Обозначим через ${ displaystyle R}$ радиус сходимости этого степенного ряда и определим для ${ Displaystyle 1 Leq R Leq R}$ то ${ displaystyle r}$ -Martin ядро ${ displaystyle { mathcal {K}} _ {o, r} (x, y) = { frac {{ mathcal {G}} _ {r} (x, y)} {{ mathcal {G} }_{Рой)}}}$ .Закрытие вложения ${ Displaystyle у mapsto { mathcal {K}} _ {о, г} ( cdot, y)}$ называется ${ displaystyle r}$ -Компактификация Мартина.

Граница Мартина риманова многообразия

Для риманова многообразия граница Мартина строится, если она существует, так же, как и выше, с использованием Зеленая функция оператора Лапласа – Бельтрами ${ displaystyle Delta}$ . В этом случае снова имеется целое семейство компактификаций Мартина, связанных с операторами ${ displaystyle Delta + lambda}$ за ${ displaystyle 0 leq lambda leq lambda _ {0}}$ куда ${ displaystyle lambda _ {0}}$ это нижняя часть спектра. Примеры, в которых эта конструкция может быть использована для определения компактификации, - это ограниченные области на плоскости и симметричные пространства некомпактного типа.^[4]

Связь между границами Мартина и Пуассона

Мера ${ displaystyle nu _ {о, 1}}$ соответствующая постоянной функции называется гармоническая мера на границе Мартина. С этой мерой граница Мартина изоморфна границе Пуассона.

Примеры

Нильпотентные группы

Границы Пуассона и Мартина тривиальны для симметричных случайных блужданий в нильпотентных группах.^[5] С другой стороны, когда случайное блуждание не центрировано, изучение полной границы Мартина, включая минимальные функции, является гораздо менее убедительным.

Группы Ли и дискретные подгруппы

Для случайных блужданий по полупростой группе Ли (с абсолютно непрерывным по мере Хаара распределением шагов) граница Пуассона равна Граница Фюрстенберга.^[6] Граница Пуассона броуновского движения на ассоциированном симметричном пространстве также является границей Фюрстенберга.^[7] Полная граница Мартина также хорошо изучена в этих случаях и всегда может быть описана геометрическим образом. Например, для групп ранга один (например, группы изометрий гиперболические пространства ) полная граница Мартина совпадает с минимальной границей Мартина (ситуация в группах более высокого ранга более сложная).^[8]

Граница Пуассона Зарисский-плотный подгруппа полупростой группы Ли, например решетка, также совпадает с границей Фюрстенберга группы.^[9]

Гиперболические группы

Для случайных прогулок по гиперболическая группа, при довольно слабых предположениях о распределении ступеней, которые всегда выполняются для простого обхода (более общее условие - конечность первого момента), граница Пуассона всегда равна границе Громова. Например, пуассоновская граница свободной группы - это пространство заканчивается своего дерева Кэли.^[10] Идентификация полной границы Мартина более сложна; в случае, если случайное блуждание имеет конечный диапазон (ступенчатое распределение поддерживается на конечном множестве), граница Мартина совпадает с минимальной границей Мартина, и обе совпадают с границей Громова.

Примечания

^ Кайманович 1996 г..
^ Кайманович 1996 г., Раздел 2.7.
^ Кайманович 1996 г., Раздел 1.2.
^ Гиварч, Джи и Тейлор, Глава VI.
^ Кайманович 1996 г., Раздел 1.5.
^ Кайманович 1996 г., Раздел 2.8.
^ Фюрстенберг 1963.
^ Гиварч, Джи и Тейлор 1998.
^ Кайманович 2000, Теорема 10.7.
^ Кайманович 2000, Теорема 7.4.