Проекция (теория меры) - Projection (measure theory)

В теория меры, проекция карты часто появляются при работе с пространствами товаров: сигма-алгебра произведения из измеримые пространства определяется как наилучшее из таких, что проекционные отображения будут измеримый. Иногда по каким-то причинам пространства продуктов снабжены сигма-алгеброй, отличной от то произведение сигма-алгебры. В этих случаях прогнозы вообще не должны быть измеримыми.

Спроектированное множество измеримого множества называется аналитический набор и не обязательно быть измеримым множеством. Однако в некоторых случаях, либо относительно сигма-алгебры произведения, либо относительно некоторой другой сигма-алгебры, спроецированное множество измеримого множества действительно измеримо.

Анри Лебег сам, один из основоположников теории меры, ошибался в этом факте. В статье 1905 года он писал, что проекция Бореля установлена ​​в самолет на реальная линия снова является борелевским множеством.^[1] Математик Михаил Яковлевич Суслин обнаружил эту ошибку примерно десять лет спустя, и его последующее исследование привело к описательная теория множеств.^[2] Фундаментальная ошибка Лебега состояла в том, что он думал, что проекция коммутирует с убывающим пересечением, в то время как этому есть простые контрпримеры.^[3]

Основные примеры

В качестве примера неизмеримой проекции можно взять пространство ${ Displaystyle X: = влево {0,1 вправо }}$ с сигма-алгеброй ${ Displaystyle { mathcal {F}}: = left { emptyset, left {0 right }, left {1 right }, left {0,1 right } верно}}$ и пространство ${ Displaystyle у: = влево {0,1 вправо }}$ с сигма-алгеброй ${ Displaystyle { mathcal {G}}: = left { emptyset, left {0,1 right } right }}$. Диагональный набор ${ Displaystyle влево { влево (0,0 вправо), влево (1,1 вправо) вправо } подмножество X раз Y}$ не поддается измерению относительно ${ displaystyle { mathcal {F}} otimes { mathcal {G}}}$, хотя обе проекции являются измеримыми множествами.

Типичный пример неизмеримого множества, которое является проекцией измеримого множества, находится в Сигма-алгебра Лебега. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ быть сигма-алгеброй Лебега ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и разреши ${ displaystyle { mathcal {L}} '}$ сигма-алгебра Лебега ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Для любого ограниченного ${ Displaystyle N подмножество mathbb {R}}$ не в ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$, набор ${ Displaystyle N раз влево {0 вправо }}$ в ${ displaystyle { mathcal {L}} '}$, поскольку Мера Лебега является полный и набор продуктов содержится в наборе нулевой меры.

Еще можно увидеть, что ${ displaystyle { mathcal {L}} '}$ не является продуктом сигма-алгебры ${ displaystyle { mathcal {L}} otimes { mathcal {L}}}$ но его завершение. В качестве такого примера в сигма-алгебре произведений можно взять пространство ${ Displaystyle влево {0,1 вправо } ^ { mathbb {R}}}$ (или любое произведение из множества, мощность которого больше континуума) с сигма-алгеброй произведения ${ displaystyle textstyle { mathcal {F}} = bigotimes _ {т in mathbb {R}} { mathcal {F}} _ {т}}$ куда ${ Displaystyle { mathcal {F}} _ {t} = left { emptyset, left {0 right }, left {1 right }, left {0,1 верно-верно}}$ для каждого ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$. Фактически, в этом случае "большинство" спроектированных множеств не измеримы, поскольку мощность ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является ${ displaystyle aleph _ {0} cdot 2 ^ { aleph _ {0}} = 2 ^ { aleph _ {0}}}$, а мощность проектируемых множеств равна ${ displaystyle 2 ^ {2 ^ { aleph _ {0}}}}$. Существуют также примеры борелевских множеств на плоскости, проекция которых на действительную прямую не является борелевским множеством, как показал Суслин.^[2]

Теорема об измеримой проекции

Следующая теорема дает достаточное условие измеримости проекции измеримых множеств.

Позволять ${ displaystyle left (X, { mathcal {F}} right)}$ измеримое пространство и пусть ${ displaystyle left (Y, { mathcal {B}} right)}$ быть полировать пространство куда ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ это его борелевская сигма-алгебра. Тогда для каждого множества в сигма-алгебре произведения ${ displaystyle { mathcal {F}} otimes { mathcal {B}}}$, проектируемый набор на ${ displaystyle X}$ это универсально измеримый набор относительно ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.^[4]

Важным частным случаем этой теоремы является то, что проекция любого борелевского множества ot ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п-к}}$ куда ${ Displaystyle к <п}$ измеримо по Лебегу, хотя это не обязательно борелевское множество. Кроме того, это означает, что предыдущий пример неизмеримого по Лебегу множества ${ Displaystyle mathbb {R}}$ который является проекцией некоторого измеримого множества ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, является единственным подобным примером.

Смотрите также

• Аналитический набор
• Теория описательных множеств

Рекомендации

внешняя ссылка

• "Теорема измеримой проекции", PlanetMath