Доказательства с участием ковариантных производных - Proofs involving covariant derivatives

Эта статья содержит доказательство формулы в римановой геометрии которые включают Символы Кристоффеля.

Контрактные личности Бьянки

Доказательство

Начнем с Бьянки идентичность[1]

Договор обе стороны приведенного выше уравнения с парой метрические тензоры:

Первый член слева сжимается, давая скаляр Риччи, а третий член сжимается, давая смешанный Тензор Риччи,

Последние два члена совпадают (изменение фиктивного индекса п к м) и могут быть объединены в один член, который перемещается вправо,

который совпадает с

Замена меток индекса л и м дает

     Q.E.D.     (вернуться к статье )

Ковариантная расходимость тензора Эйнштейна обращается в нуль

Доказательство

Последнее уравнение в приведенном выше доказательстве может быть выражено как

где δ - Дельта Кронекера. Поскольку смешанная дельта Кронекера эквивалентна смешанному метрическому тензору,

и поскольку ковариантная производная метрического тензора равен нулю (так что он может быть перемещен в область действия любой такой производной или из нее), то

Выносим за скобки ковариантную производную

затем поднять индекс м на протяжении

Выражение в скобках - это Тензор Эйнштейна, так [1]

    Q.E.D.    (вернуться к статье )

это означает, что ковариантная расходимость тензора Эйнштейна обращается в нуль.

Производная Ли метрики

Доказательство

Начиная с местного координировать формула для ковариантного симметричного тензорного поля , то Производная Ли вдоль векторное поле является

здесь обозначение означает брать частная производная по координате .      Q.E.D.     (вернуться к статье )

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Synge J.L., Schild A. (1949). Тензорное исчисление. С. 87–89-90.

Книги