Квантовая LC-схема - Quantum LC circuit

Эта статья фактическая точность оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. Пожалуйста, помогите убедиться, что оспариваемые утверждения надежный источник. (Апрель 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

LC-цепь может быть квантована с использованием тех же методов, что и для квантовый гармонический осциллятор. An LC-цепь представляет собой разновидность резонансного контура и состоит из индуктор, представленный буквой L, и конденсатор, представленный буквой C. При соединении вместе электрический ток может чередоваться между ними на схеме резонансная частота:

${ displaystyle omega = { sqrt {1 над LC}}}$

куда L это индуктивность в Генри, и C это емкость в фарады. В угловая частота ${ displaystyle omega ,}$ имеет единицы радианы в секунду. Конденсатор хранит энергию в электрическом поле между пластинами, которое можно записать следующим образом:

${ displaystyle U_ {C} = { frac {1} {2}} CV ^ {2} = { frac {Q ^ {2}} {2C}}}$

Где Q - чистый заряд конденсатора, рассчитываемый как

${ Displaystyle Q (т) = int _ {- infty} ^ {t} я ( тау) д тау}$

Точно так же индуктор накапливает энергию в магнитном поле в зависимости от тока, что можно записать следующим образом:

${ displaystyle U_ {L} = { frac {1} {2}} LI ^ {2} = { frac { phi ^ {2}} {2L}}}$

Где ${ displaystyle phi}$ поток ветвления, определяемый как

${ Displaystyle фи (т) эквив int _ {- infty} ^ {т} V ( тау) д тау}$

Поскольку заряд и поток канонически сопряженные переменные, можно использовать каноническое квантование переписать классический гамильтониан в квантовом формализме, отождествив

${ displaystyle phi rightarrow { hat { phi}}}$

${ displaystyle q rightarrow { hat {q}}}$

${ displaystyle H rightarrow { hat {H}} = { frac {{ hat { phi}} ^ {2}} {2L}} + { frac {{ hat {q}} ^ {2 }} {2C}}}$

и обеспечение соблюдения канонического коммутационного отношения

${ displaystyle left [{ hat { phi}}, { hat {q}} right] = i hbar}$

Одномерный гармонический осциллятор

Гамильтониан и собственные состояния энергии

Представления волновых функций для первых восьми связанных собственных состояний, п = От 0 до 7. Горизонтальная ось показывает положение Икс. Графики не нормированы

Плотности вероятностей |ψ_п(Икс)|² для связанных собственных состояний, начиная с основного состояния (п = 0) внизу и возрастает по энергии кверху. Горизонтальная ось показывает положение Икс, а более яркие цвета представляют более высокую плотность вероятности.

Как и проблема одномерного гармонического осциллятора, LC-цепь может быть квантована либо путем решения уравнения Шредингера, либо с помощью операторов рождения и уничтожения. Энергия, запасенная в катушке индуктивности, может рассматриваться как «член кинетической энергии», а энергия, запасенная в конденсаторе, может рассматриваться как «член потенциальной энергии».

Гамильтониан такой системы:

${ displaystyle H = { frac { phi ^ {2}} {2L}} + { frac {1} {2}} L omega ^ {2} Q ^ {2}}$

где Q - оператор заряда, а ${ displaystyle phi}$ - оператор магнитного потока. Первый член представляет энергию, запасенную в катушке индуктивности, а второй член представляет энергию, запасенную в конденсаторе. Чтобы найти уровни энергии и соответствующие собственные состояния энергии, мы должны решить не зависящее от времени уравнение Шредингера:

${ Displaystyle H | psi rangle = E | psi rangle }$

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2L}} nabla ^ {2} psi + { frac {1} {2}} L omega ^ {2} Q ^ {2} psi}$

Поскольку LC-цепь на самом деле является электрическим аналогом гармонического осциллятора, решение уравнения Шредингера дает семейство решений (полиномы Эрмита).

${ displaystyle left langle Q | psi _ {n} right rangle = { sqrt { frac {1} {2 ^ {n} , n!}}} cdot left ({ frac {L omega} { pi hbar}} right) ^ {1/4} cdot exp left (- { frac {L omega Q ^ {2}} {2 hbar}} right ) cdot H_ {n} left ({ sqrt { frac {L omega} { hbar}}} Q right)}$

${ Displaystyle п = 0,1,2, ldots}$

Магнитный поток как сопряженная переменная.

Полностью эквивалентное решение может быть найдено с использованием магнитного потока в качестве сопряженной переменной, где сопряженный «импульс» равен емкости, умноженной на производную магнитного потока по времени. Сопряженный «импульс» и есть заряд.

${ displaystyle pi = C { frac {d phi} {dt}}}$

Используя правило соединения Кирхгофа, можно получить следующее соотношение:

${ displaystyle C { frac {dV} {dt}} + { frac {1} {L}} int _ {0} ^ {t} V , dt , = 0}$

С ${ displaystyle V = { frac {d phi} {dt}}}$, приведенное выше уравнение можно записать следующим образом:

${ displaystyle C { frac {d ^ {2} phi} {dt ^ {2}}} + { frac {1} {L}} phi , = 0}$

Преобразуя это в гамильтониан, можно получить уравнение Шредингера следующим образом:

${ displaystyle i hbar { frac {d psi} {dt}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2C}} nabla ^ {2} psi + { frac { phi ^ {2}} {2L}} psi}$ куда ${ displaystyle psi}$ является функцией магнитного потока

Квантование связанных LC-цепей

Две индуктивно связанные LC-цепи имеют ненулевую взаимную индуктивность. Это эквивалентно паре гармонических осцилляторов с кинетической связью.

Лагранжиан для пары индуктивно связанных LC-цепей имеет следующий вид:

${ displaystyle L = { frac {1} {2}} L_ {1} { frac {dQ_ {1}} {dt}} ^ {2} + { frac {1} {2}} L_ {2 } { frac {dQ_ {2}} {dt}} ^ {2} + m { frac {dQ_ {1}} {dt}} { frac {dQ_ {2}} {dt}} - { frac {Q_ {1} ^ {2}} {2C_ {1}}} - { frac {Q_ {2} ^ {2}} {2C_ {2}}}}$

Как обычно, гамильтониан получается преобразованием Лежандра лагранжиана.

${ displaystyle H = { frac {1} {2}} L_ {1} { frac {dQ_ {1}} {dt}} ^ {2} + { frac {1} {2}} L_ {2 } { frac {dQ_ {2}} {dt}} ^ {2} + m { frac {dQ_ {1}} {dt}} { frac {dQ_ {2}} {dt}} + { frac {Q_ {1} ^ {2}} {2C_ {1}}} + { frac {Q_ {2} ^ {2}} {2C_ {2}}}}$

Преобразование наблюдаемых в квантово-механические операторы приводит к следующему уравнению Шредингера.

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2L_ {1}}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {1} ^ {2}}} - { frac { hbar ^ {2}} {2L_ {2}}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {2} ^ {2}}} - { frac { hbar ^ { 2}} {m}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {1} dQ_ {2}}} + { frac {1} {2}} L_ {1} omega ^ {2 } Q_ {1} ^ {2} psi + { frac {1} {2}} L_ {2} omega ^ {2} Q_ {2} ^ {2} psi}$

Далее, используя указанные выше координаты, невозможно из-за связанного члена. Однако преобразование координат из волновой функции как функции обоих зарядов в волновую функцию как функцию разности зарядов ${ displaystyle Q_ {d}}$, куда ${ displaystyle Q_ {d} = Q_ {1} -Q_ {2}}$ и координата ${ displaystyle Q_ {c}}$(что-то вроде «центра масс»), вышеуказанный гамильтониан может быть решен с использованием техники разделения переменных.

Координата CM показана ниже:

${ displaystyle Q_ {c} = { frac {L_ {1} Q_ {1} + L_ {2} Q_ {2}} {L_ {1} + L_ {2}}}}$

Гамильтониан в новой системе координат выглядит следующим образом:

${ displaystyle E psi = - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 (L_ {1} + L_ {2})}} { frac {d ^ {2} psi} {dQ_ {c} ^ {2}}} - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 mu}} { frac {d ^ {2} psi} { dQ_ {d} ^ {2}}} + { frac {1} {2}} mu omega ^ {2} Q_ {d} ^ {2} psi}$

В приведенном выше уравнении ${ displaystyle lambda}$ равно ${ displaystyle { frac {2m} {L_ {1} + L_ {2}}}}$ и ${ displaystyle mu}$ равняется приведенной индуктивности.

Метод разделения переменных дает два уравнения: одно для координаты CM, которая является дифференциальным уравнением свободной частицы, а другое - для координаты разности зарядов, которая является уравнением Шредингера для гармонического осциллятора.

${ displaystyle E psi _ {c} = - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 (L_ {1} + L_ {2})}} { frac {d ^ {2} psi _ {c}} {dQ_ {c} ^ {2}}}}$

${ Displaystyle E psi _ {d} = - { frac { hbar ^ {2} (1- lambda)} {2 mu}} { frac {d ^ {2} psi _ {d} } {dQ_ {d} ^ {2}}} + { frac {1} {2}} mu omega ^ {2} Q_ {d} ^ {2} psi _ {d}}$

Решение первого дифференциального уравнения после добавления зависимости от времени напоминает плоскую волну, а решение второго дифференциального уравнения показано выше.

Гамильтонова механика

Классический корпус

Запасенная энергия (гамильтониан) для классической LC-цепи:

${ displaystyle { mathcal {H}} = { frac {q ^ {2} (t)} {2C}} + { frac {p ^ {2} (t)} {2L}} }$

Уравнения гамильтониана:

${ displaystyle { frac { partial { mathcal {H}} (q, p)} { partial q}} = { frac {q (t)} {C}} = - { dot {p} } (t) }$

${ displaystyle { frac { partial { mathcal {H}} (q, p)} { partial p}} = { frac {p (t)} {L}} = - { dot {q} } (t) }$,

куда ${ Displaystyle д (т) = Cv (т) }$ накопленный заряд конденсатора (или электрический поток) и ${ Displaystyle р (т) = Ли (т) }$ магнитный момент (магнитный поток),${ Displaystyle v (т) - }$ напряжение конденсатора и ${ Displaystyle я (т) - }$ ток индуктивности, ${ Displaystyle т- }$ переменная времени.

Ненулевые начальные условия: При ${ Displaystyle д (0), п (0) }$ у нас будет частота колебаний:

${ displaystyle omega = { frac {1} { sqrt {LC}}} }$,

и волновое сопротивление LC-цепи (без рассеивания):

${ displaystyle rho = { sqrt { frac {L} {C}}} }$

Решения уравнений гамильтониана: At ${ Displaystyle т geq 0 }$ мы будем иметь следующие значения зарядов, магнитного потока и энергии:

${ displaystyle mathbf {q} = q (0) + J { frac {p (0)} { omega L}} }$

${ Displaystyle$

${ Displaystyle п (т) = им [ омега L mathbf {q} е ^ {- j омега т}] }$

${ displaystyle { mathcal {H}} = { frac {| mathbf {q} | ^ {2}} {2C}} = константа }$

Определение фазора

В общем случае амплитуды волн можно определить в комплексном пространстве

${ Displaystyle а (т) = а_ {1} (т) + ja_ {2} (т) }$

куда ${ displaystyle j = { sqrt {-1}} }$.

${ displaystyle a_ {1} (t) = { frac {q (t)} {q (0)}} }$,

куда ${ displaystyle q (0) = D (0) S_ {C} = { sqrt { frac {2 hbar} { rho}}} }$ - электрический заряд в нулевой момент времени, ${ Displaystyle S_ {C} - }$ площадь емкости.

${ displaystyle a_ {2} (t) = { frac {p (t)} {p (0)}} }$,

куда ${ Displaystyle р (0) = { sqrt {2 hbar rho}} }$ - магнитный поток в нулевой момент времени,${ Displaystyle S_ {L} - }$ Площадь индуктивности. Обратите внимание, что при одинаковой площади элементов

${ Displaystyle S_ {C} = S_ {L} = S_ {q} }$

мы будем иметь следующую зависимость для волнового сопротивления:

${ displaystyle rho = { sqrt { frac {L} {C}}} = { frac {q (0)} {p (0)}}}$.

Амплитуду и энергию волны можно определить как:

${ Displaystyle а (т) = ае ^ {- j omega t} }$

${ Displaystyle { mathcal {H}} = hbar omega [a_ {1} ^ {2} (t) + a_ {2} ^ {2} (t)] = hbar omega | a | ^ { 2} }$.

Квантовый случай

В квантовом случае мы имеем следующее определение оператора импульса:

${ displaystyle { hat {p}} = - j hbar { frac { partial} { partial q}}}$

Операторы импульса и заряда образуют следующий коммутатор:

${ displaystyle [{ hat {q}}, { hat {p}}] = j hbar }$.

Оператор амплитуды можно определить как:

${ displaystyle { hat {a}} = { hat {a_ {1}}} + j { hat {a_ {2}}} = { frac { hat {q}} {q_ {0}} } + j { frac { hat {p}} {p_ {0}}} }$,

и фазор:

${ displaystyle { hat {a (t)}} = { hat {a}} e ^ {- j omega t} }$.

Оператором Гамильтона будет:

${ displaystyle { hat { mathcal {H}}} hbar omega [{ hat {a}} _ {1} ^ {2} (t) + { hat {a}} _ {2} ^ {2} (t)] = hbar omega [{ hat {a}} { hat {a}} ^ { dagger} +1/2] }$

Коммутаторы амплитуд:

${ Displaystyle [{ шляпа {а}} _ {1} (т), { шляпа {а}} _ {2} (т)] = j / 2 }$

${ Displaystyle [{ шляпа {а}} (т), { шляпа {а}} ^ { кинжал} (т)] = 1 }$.

Принцип неопределенности Гейзенберга:

${ displaystyle langle Delta { hat {a}} _ {1} ^ {2} (t) rangle langle Delta { hat {a}} _ {2} ^ {2} (t) rangle geq { frac {1} {16}} }$.

Волновое сопротивление свободного пространства

Когда волновое сопротивление квантовой ЖК-цепи принимает значение свободного пространства

${ displaystyle rho _ {0} = { sqrt { frac {L_ {0}} {C_ {0}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = 2 alpha { frac {h} {e ^ {2}}} = 2 alpha R_ {H}}$,

куда ${ Displaystyle е- }$ заряд электрона, ${ Displaystyle альфа - }$ постоянная тонкой структуры, и ${ displaystyle R_ {H} - }$ постоянная фон Клитцинга тогда «электрический» и «магнитный» потоки в нулевой момент времени будут:

${ displaystyle q_ {0} = { sqrt { frac {2 hbar} { rho _ {0}}}} = { frac {e} { sqrt {2 pi alpha}}} }$

${ displaystyle p_ {0} = { sqrt {2 hbar rho _ {0}}} = phi _ {0} { sqrt { frac {2 alpha} { pi}}} }$,

куда ${ displaystyle phi _ {0} = { frac {h} {e}} - }$ квант магнитного потока.

Парадокс квантовой ЖК-схемы

Общая формулировка

В классическом случае энергия LC-контура будет:

${ Displaystyle W_ {LC} = W_ {C} + W_ {L}, }$

куда ${ Displaystyle W_ {C} = 0,5CV_ {C} ^ {2} - }$ энергия емкости, и${ Displaystyle W_ {L} = 0,5LI_ {L} ^ {2} - }$ индуктивная энергия. Кроме того, существуют следующие отношения между зарядами (электрическими или магнитными) и напряжениями или токами:

${ Displaystyle Q_ {C} = CV_ {C} }$

${ Displaystyle Phi _ {L} = LI_ {L}. }$

Следовательно, максимальные значения энергии емкости и индуктивности будут:

${ displaystyle W_ {max} = W_ {LC} = { frac {Q_ {C0} ^ {2}} {2C}} + { frac { Phi _ {L0} ^ {2}} {2L}} . }$

Обратите внимание, что резонансная частота ${ displaystyle omega _ {0} = 1 / { sqrt {LC}} }$ в классическом случае не имеет ничего общего с энергией. Но в квантовом случае она имеет следующую связь с энергией:

${ displaystyle W_ {0} = { frac { hbar omega _ {0}} {2}} = { frac { hbar} {2 { sqrt {LC}}}}. }$

Итак, в квантовом случае, заполняя емкость одноэлектронным зарядом:

${ Displaystyle Q_ {C0} = е = CV_ {C} }$ и ${ displaystyle W_ {C} = { frac {e ^ {2}} {2C}}. }$

Тогда соотношение между энергией емкости и энергией осциллятора основного состояния будет:

${ displaystyle xi _ {C} = { frac {W_ {C}} {W_ {0}}} = { frac {2 pi} {R_ {H}}} { sqrt { frac {L } {C}}} = 2 pi cdot { frac { rho _ {q}} {R_ {H}}}. }$

куда ${ displaystyle rho _ {q} = { sqrt {L / C}} }$ Квантовый импеданс LC-цепи. Квантовый импеданс квантовой LC-цепи на практике может быть двух типов.^{[требуется разъяснение ]}:

${ displaystyle rho _ {q} = { sqrt { frac {L} {C}}} = { begin {cases} rho _ {w} = 2 alpha R_ {H}, & { mbox {- волновое сопротивление}} rho _ {DOS} = R_ {H}, & { mbox {- импеданс DOS}} end {cases}}}$

Итак, энергетические отношения будут такими:

${ displaystyle xi _ {C} = { frac {W_ {C}} {W_ {0}}} = 2 pi { frac { rho _ {q}} {R_ {H}}} = { begin {case} 4 pi alpha, & { mbox {at}} rho _ {w} 2 pi, & { mbox {at}} rho _ {DOS} end {cases} }}$

и это основная проблема квантовой LC-цепи: энергии, накопленные на емкости и индуктивности, не равны энергии основного состояния квантового осциллятораЭта энергетическая проблема порождает квантовый парадокс LC-цепи (QLCCP).^{[нужна цитата ]}

Возможное решение

Некоторое простое решение QLCCP можно найти следующим образом. Якимаха (1989) ^[1](уравнение 30) предложил следующее определение квантового импеданса ДОС:

${ displaystyle rho _ {DOS} ^ {ij} = { frac { Delta Phi _ {j}} { Delta Q_ {i}}} = { frac {i} {j}} R_ {H }, }$

куда ${ Displaystyle Delta Phi _ {j} = j Phi _ {0} - }$ магнитный поток, и${ displaystyle Delta Q_ {i} = ie- }$ электрический поток, ${ displaystyle i, j = целое число.}$

Итак, в квантовом ЖК-контуре нет электрических или магнитных зарядов, а есть только электрические и магнитные потоки. Следовательно, не только в ЖК-цепи ДОС, но и в других ЖК-цепях присутствуют только электромагнитные волны. Таким образом, квантовый ЖК-контур представляет собой минимальное геометрическо-топологическое значение квантового волновода, в котором отсутствуют электрические или электрические волны. магнитные заряды, но только электромагнитные волны. Теперь следует рассматривать квантовый ЖК-контур как «черный волновой ящик» (BWB), который не имеет электрических или магнитных зарядов, но имеет волны. Кроме того, этот BWB может быть «замкнутым» (по Бору атом или в вакууме для фотонов), или «открытый» (как для КЭХ и джозефсоновского перехода). Итак, квантовая ЖК-схема должна иметь ШП и дополнения «вход-выход». Общий энергетический баланс должен быть рассчитан с учетом устройств «вход» и «выход». Без устройств «вход-выход» энергия, «хранящаяся» на емкостях и индуктивностях, является виртуальными или «характеристиками», как в случае характеристического импеданса. (без диссипации). Очень близки к этому подходу сейчас Devoret (2004),^[2] в которых рассматриваются джозефсоновские переходы с квантовой индуктивностью, импеданс Датта волн Шредингера (2008 г.) и Цу (2008 г.),^[3] которые рассматривают квантовые волноводы.

Объяснение схемы квантовой ЖК-схемы DOS

Как показано ниже, резонансная частота QHE составляет:

${ displaystyle omega _ {Q} = { sqrt { frac {1} {L_ {QA} C_ {QA}}}} = { frac { omega _ {B}} {2 pi}}, }$

куда ${ displaystyle omega _ {B} = eB / m- }$циклотронная частота,${ displaystyle L_ {QA} = { frac {4 pi R_ {H}} { omega _ {B}}} }$ и${ displaystyle C_ {QA} = { frac {4 pi} {R_ {H} omega _ {B}}}. }$Ток масштабирования для QHE будет:

${ displaystyle I_ {B} = { frac {e omega _ {B}} {4 pi}}. }$

Следовательно, энергия индуктивности будет:

${ displaystyle W_ {L} = { frac {L_ {QA} I_ {B} ^ {2}} {2}} = { frac { hbar omega _ {B}} {4}}. }$

Итак, для квантового магнитного потока ${ displaystyle Phi _ {0} = h / e }$, энергия индуктивности вдвое меньше энергии колебаний основного состояния. Это связано со спином электрона (есть два электрона на уровне Ландау на одном и том же элементе квантовой площади). Следовательно, энергия индуктивности / емкости учитывает полную энергию уровня Ландау на спин.

Пояснение к "волновой" квантовой ЖК-цепи

По аналогии со схемой DOS LC имеем

${ displaystyle W_ {0} = { frac {1} {2}} cdot { frac {W_ {C}} {2 pi alpha}} = { frac { gamma _ {BY} W_ { C}} {2}} }$

вдвое меньшее значение за счет вращения. Но здесь появилась новая безразмерная фундаментальная постоянная:

${ displaystyle gamma _ {BY} = { frac {1} {2 pi alpha}} }$

который учитывает топологические свойства квантовой ЖК-цепи. Эта фундаментальная постоянная впервые появилась в атоме Бора для радиуса Бора:

${ displaystyle a_ {B} = gamma _ {BY} cdot lambda _ {0}, }$

куда ${ Displaystyle лямбда _ {0} = ч / м_ {0} с- }$ Комптоновская длина волны электрона.

Таким образом, волновой квантовый LC-контур не имеет зарядов, а только электромагнитные волны. Таким образом, "характеристические энергии" емкости или индуктивности${ displaystyle gamma _ {BY} - }$раз меньше полной энергии осциллятора. Другими словами, заряды «исчезают» на «входе» и «генерируются» на «выходе» волнового LC-контура, добавляя энергии для поддержания баланса.

Полная энергия квантовой LC-цепи

Энергия, запасенная на квантовой емкости:

${ displaystyle W_ {C} = { frac {Q_ {C} ^ {2}} {2C}} = 2 pi alpha W_ {LC}. }$

Энергия, запасенная на квантовой индуктивности:

${ displaystyle W_ {L} = { frac { Phi _ {L} ^ {2}} {2L}} = 2 pi alpha W_ {LC}. }$

Резонансная энергия квантового LC-контура:

${ displaystyle W_ {LC} = hbar omega _ {LC} = { frac { hbar} { sqrt {LC}}}. }$

Таким образом, полная энергия квантового LC-контура должна быть:

${ Displaystyle W_ {tot} = W_ {LC} + W_ {C} + W_ {L}. }$

В общем случае резонансная энергия ${ Displaystyle W_ {LC} }$ может быть связано с "массой покоя" электрона, энергетической щелью для атома Бора и т. д. Однако энергия, запасенная в емкости ${ Displaystyle W_ {C} }$ происходит из-за электрического заряда. Фактически, для LC-контуров свободных электронов и атомов Бора мы квантовали электрические потоки, равные электронному заряду,${ Displaystyle е }$.

Кроме того, энергия, запасенная на индуктивности ${ Displaystyle W_ {L} }$ происходит из-за магнитного момента. Собственно, для атома Бора мы имеем Магнетон Бора:

${ displaystyle mu _ {B} = { frac {e hbar} {2m_ {0}}} = 0.5e nu _ {B} S_ {B} = { frac {ea_ {B} ^ {2 }} { sqrt {L_ {B} C_ {B}}}}. }$

В случае свободного электрона магнетон Бора будет:

${ displaystyle mu _ {e} = 0.5e nu _ {e} S_ {e} = 0.5e { frac {m_ {0} c ^ {2}} {h}} { frac { lambda _ {0} ^ {2}} {2 pi}} = { frac {e hbar} {2m_ {0}}}, }$

то же, что и для атома Бора.

Приложения

Электрон как LC-цепь

Электронную емкость можно представить как сферический конденсатор:

${ displaystyle C_ {e} = { frac {4 pi epsilon _ {0}} {{ frac {1} {r_ {e}}} - { frac {1} {r_ {e} + лямбда _ {0}}}}} = { frac { epsilon _ {0} lambda _ {0}} {2 pi}}, }$

куда ${ displaystyle r_ {e} = { frac { lambda _ {0}} {2 { sqrt {2}} pi}} - }$ радиус электрона и ${ displaystyle lambda _ {0} - }$Комптоновская длина волны.

Обратите внимание, что этот радиус электрона согласуется со стандартным определением спина. Фактически, вращающий момент электрона равен:

${ displaystyle l_ {e} = m_ {0} omega _ {e} r_ {e} ^ {2} = hbar / 2, }$

куда ${ displaystyle omega _ {e} = m_ {0} c ^ {2} / hbar }$ Считается.

Сферическая индуктивность электрона:

${ displaystyle L_ {e} = { frac { mu _ {0} lambda _ {0}} {2 pi}}. }$

Характеристический импеданс электрона:

${ displaystyle rho _ {e} = { sqrt { frac {L_ {e}} {C_ {e}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = rho _ {0} = 2 alpha R_ {H}. }$

Резонансная частота электронного LC-контура:

${ displaystyle omega _ {e} = { sqrt { frac {1} {L_ {e} C_ {e}}}} = { frac {2 pi c} { lambda _ {0}}} = { frac {m_ {0} c ^ {2}} { hbar}}. }$

Наведенный электрический поток на электронной емкости:

${ displaystyle Q_ {e} = C_ {e} V_ {e}. }$

Энергия, запасенная на электронной емкости:

${ displaystyle W_ {Ce} = { frac {C_ {e} V_ {e} ^ {2}} {2}} = { frac {Q_ {e} ^ {2}} {2C_ {e}}} = 2 pi alpha W_ {0}, }$

куда ${ displaystyle W_ {0} = m_ {0} c ^ {2} - }$ это «энергия покоя» электрона. Итак, индуцированный электрический поток будет:

${ displaystyle Q_ {e} = { sqrt {2 alpha m_ {0} c ^ {2} epsilon _ {0} lambda _ {0}}} = e. }$

Таким образом, через электронную емкость мы квантовали электрический поток, равный заряду электрона.

Магнитный поток через индуктивность:

${ displaystyle Phi _ {e} = L_ {e} I_ {e}. }$

Магнитная энергия, запасенная на индуктивности:

${ displaystyle W_ {Le} = { frac {L_ {e} I_ {e} ^ {2}} {2}} = { frac { Phi _ {e} ^ {2}} {2L_ {e} }} = 2 pi alpha W_ {0}. }$

Итак, индуцированный магнитный поток будет:

${ displaystyle Phi _ {e} = { sqrt {2 mu _ {0} hc alpha}} = 2 alpha Phi _ {0}. }$

куда ${ Displaystyle Phi _ {0} = ч / е- }$ квант магнитного потока. Таким образом, через электронную индуктивность отсутствует квантование магнитного потока.

Атом Бора как LC-контур

Радиус Бора:

${ displaystyle a_ {B} = { frac { lambda _ {0}} {2 pi alpha}} }$

куда ${ displaystyle lambda _ {0} = { frac {h} {m_ {0} c}} - }$ Комптоновская длина волны электрона,${ Displaystyle альфа - }$ постоянная тонкой структуры.

Атомная поверхность Бора:

${ Displaystyle S_ {B} = 4 pi a_ {B} ^ {2} }$.

Индуктивность Бора:

${ displaystyle L_ {B} = { frac { mu _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {B} }$.

Емкость Бора:

${ displaystyle C_ {B} = { frac { epsilon _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {B} }$.

Волновое сопротивление Бора:

${ displaystyle rho _ {B} = { sqrt { frac {L_ {B}} {C_ {B}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = rho _ {0}. }$

Угловая частота Бора:

${ displaystyle omega _ {B} = { sqrt { frac {1} {L_ {B} C_ {B}}}} = { frac { alpha ^ {2}} {2}} cdot { frac {m_ {0} c ^ {2}} { hbar}} = { frac {2 pi c} { lambda _ {B}}}, }$

куда ${ displaystyle lambda _ {B} = { frac {4 pi a_ {B}} { alpha}} - }$ Длина волны Бора для первого энергетического уровня.

Индуцированный электрический поток первого уровня энергии Бора:

${ Displaystyle Q_ {B} = C_ {B} V_ {B}. }$

Энергия, запасенная на емкости Бора:

${ displaystyle W_ {C} B = { frac {C_ {B} V_ {B} ^ {2}} {2}} = { frac {Q_ {B} ^ {2}} {2C_ {B}} } = 2 pi alpha W_ {B}, }$

куда ${ Displaystyle W_ {B} = hbar omega _ {B} - }$ это энергия Бора. Итак, индуцированный электрический поток будет:

${ displaystyle Q_ {B} = { sqrt {2 pi alpha ^ {3} m_ {0} c ^ {2} C_ {B}}} = e. }$

Таким образом, через емкость Бора мы квантовали электрический поток, равный заряду электрона.

Магнитный поток через индуктивность Бора:

${ displaystyle W_ {L} B = { frac {L_ {B} I_ {B} ^ {2}} {2}} = { frac { Phi _ {B} ^ {2}} {2L_ {B }}} = 2 pi alpha W_ {0}. }$

Итак, индуцированный магнитный поток будет:

${ displaystyle Phi _ {B} = { frac { pi alpha ^ {2} ec} { lambda _ {0}}} L_ {B} = 2 alpha Phi _ {0}. }$

Таким образом, через индуктивность Бора нет квантования магнитного потока.

Фотон как LC-цепь

Фотон "резонансная угловая частота":

${ displaystyle omega _ {w} = { sqrt { frac {1} {L_ {w} C_ {w}}}}. }$

"Волновой импеданс" фотона:

${ displaystyle rho _ {w} = { sqrt { frac {L_ {w}} {C_ {w}}}} = { sqrt { frac { mu _ {0}} { epsilon _ { 0}}}} = rho _ {0}. }$

Фотонная «волновая индуктивность»:

${ displaystyle L_ {w} = { frac { rho _ {0}} { omega _ {w}}}. }$

Фотонная «волновая емкость»:

${ displaystyle C_ {w} = { frac {1} { rho _ {0} omega _ {w}}}. }$

Фотон «квант магнитного потока»:

${ displaystyle phi _ {w} = L_ {w} I_ {w} = phi _ {0} = { frac {h} {e}}. }$

Фотонный «волновой ток»:

${ displaystyle I_ {w} = { frac {h} {eL_ {w}}} = { frac {e omega _ {w}} {2 alpha}}. }$

Квантовый эффект Холла как LC-цепь

В общем случае 2D-плотность состояний (DOS) в твердом теле может быть определена следующим образом:

${ displaystyle D_ {2D} = { frac {m ^ {*}} { pi hbar ^ {2}}} }$,

куда ${ displaystyle m ^ {*} = xi m_ {0} - }$ эффективная масса носителей тока в твердом теле, ${ displaystyle m_ {0} - }$ масса электрона и ${ Displaystyle xi - }$ безразмерный параметр, учитывающий зонную структуру твердого тела. Итак, квантовую индуктивность можно определить следующим образом:

${ Displaystyle L_ {QL} = phi _ {0} ^ {2} cdot D_ {2D} = xi cdot L_ {Q0}}$,

куда ${ Displaystyle L_ {Q0} 8 pi beta cdot L_ {QY} }$ - «идеальное значение» квантовой индуктивности при ${ Displaystyle xi = 1 }$ и еще одна идеальная квантовая индуктивность:

${ displaystyle L_ {QY} = { frac { mu _ {0}} { lambda _ {0}}} = H / m ^ {2} }$, (3)

куда ${ displaystyle mu _ {0} - }$ магнитная постоянная,${ displaystyle beta = { frac {1} {4 alpha}} - }$ магнитная «постоянная тонкой структуры»^[4](стр.62), ${ Displaystyle альфа - }$ постоянная тонкой структуры и ${ displaystyle lambda _ {0} - }$ Комптоновская длина волны электрона, впервые определенное Якимахой (1994)^[5] в спектроскопических исследованиях кремниевых МОП-транзисторов.

Поскольку определенная выше квантовая индуктивность рассчитана на единицу площади, поэтому ее абсолютное значение будет в режиме QHE:

${ displaystyle L_ {QA} = { frac {L_ {QL}} {n_ {B}}} }$,

где концентрация носителей равна:

${ displaystyle n_ {B} = { frac {eB} {h}} }$,

и ${ displaystyle h- }$ - постоянная Планка. Аналогично, абсолютное значение квантовой емкости будет в режиме КЭХ:

${ displaystyle C_ {QA} = { frac {C_ {QL}} {n_ {B}}} }$,

куда

${ Displaystyle C_ {QL} = е ^ {2} cdot D_ {2D} = xi cdot C_ {Q0}}$,

является DOS-определением квантовой емкости согласно Люри,^[6] ${ Displaystyle C_ {Q0} = 8 pi alpha cdot C_ {QY} }$ - «идеальное значение» квантовой емкости при ${ Displaystyle xi = 1 }$, и другая квантовая емкость:

${ displaystyle C_ {QY} = { frac { epsilon _ {0}} { lambda _ {0}}} = 3,6492417F / м ^ {2} }$,

куда ${ displaystyle epsilon _ {0} - }$ диэлектрическая постоянная, впервые определен Якимахой (1994)^[5] > в спектроскопических исследованиях кремниевых МОП-транзисторов. Стандартное определение волнового импеданса для LC-цепи QHE может быть представлено как:

${ displaystyle rho _ {Q} = { sqrt { frac {L_ {QA}} {C_ {QA}}}} = { sqrt { frac { phi _ {0} ^ {2}} { e ^ {2}}}} = { frac {h} {e ^ {2}}} = R_ {H} }$,

куда ${ displaystyle R_ {H} = { frac {h} {e ^ {2}}} = 25,812813k Omega }$ постоянная фон Клитцинга для сопротивления.

Стандартное определение резонансной частоты для LC-контура QHE может быть представлено как:

${ displaystyle omega _ {Q} = { frac {1} { sqrt {L_ {QA} C_ {QA}}}} = { frac { hbar omega _ {c}} { phi _ { 0} e}} = { frac { omega _ {c}} {2 pi}}}$,

куда ${ displaystyle omega _ {c} = { frac {eB} {m ^ {*}}} - }$ стандартная циклотронная частота в магнитном поле B.

Квант тока масштабирования Холла будет

${ displaystyle I_ {H} = { frac {h} {eL_ {QA}}} = { frac {e omega _ {B}} {4 pi}} }$,

куда ${ displaystyle omega _ {B} = { frac {eB} {m ^ {*}}} - }$ Угловая частота Холла.

Переход Джозефсона как LC-цепь

Закон электромагнитной индукции (Фарадея):

${ displaystyle V_ {ind} = { frac { partial Phi} { partial t}} = - L { frac { partial I} { partial t}}, }$

куда ${ displaystyle Phi - }$ магнитный поток, ${ Displaystyle L- }$ Квантовая индуктивность джозефсоновского перехода и${ Displaystyle I- }$ Ток джозефсоновского перехода. Уравнение Д. К. Джозефсона для тока:

${ Displaystyle I = I_ {J} cdot sin phi, }$

куда ${ displaystyle I_ {J} - }$ Шкала Джозефсона для тока,${ displaystyle phi - }$ разность фаз между сверхпроводниками. Производная по току по временной переменной будет:

${ displaystyle { frac { partial I} { partial t}} = I_ {J} cos phi cdot { frac { partial phi} { partial t}}. }$

Уравнение AC Джозефсона:

${ displaystyle { frac { partial phi} { partial t}} = { frac {q} { hbar}} V = { frac {2 pi} { Phi _ {0}}} V , }$

куда ${ displaystyle hbar - }$ приведенная постоянная Планка, ${ displaystyle Phi _ {0} = h / 2e-}$ Квант джозефсоновского магнитного потока,${ displaystyle q = 2e }$ и ${ Displaystyle е- }$ заряд электрона. Комбинирование уравнений для производных дает напряжение перехода:

${ displaystyle V = { frac { Phi _ {0}} {2 pi I_ {J}}} cdot { frac {1} { cos phi}} cdot { frac { partial I } { partial t}} = L_ {J} cdot { frac { partial I} { partial t}}, }$

куда

${ displaystyle L_ {J} = { frac { Phi _ {0}} {2 pi I_ {J}}} cdot { frac {1} { cos phi}} }$

это Деворет (1997) ^[7] квантовая индуктивность.

Уравнение AC Джозефсона для угловой частоты:

${ displaystyle omega _ {J} = { frac {q} { hbar}} cdot V. }$

Частота резонанса для цепи Джозефсона LC:

${ displaystyle omega _ {J} = { sqrt { frac {1} {L_ {J} C_ {J}}}}. }$

куда ${ Displaystyle C_ {J} - }$ - квантовая емкость Деворе, которую можно определить как:

${ displaystyle C_ {J} = { frac {1} {L_ {J} omega _ {J} ^ {2}}} = { frac { Phi _ {0} I_ {J}} {V_ { 0} ^ {2}}} cdot { frac { cos phi} {2 pi}}. }$

Квантовое волновое сопротивление джозефсоновского перехода:

${ displaystyle rho _ {J} = { sqrt { frac {L_ {J}} {C_ {J}}}} = { frac {V_ {0}} {I_ {J}}} cdot { frac {1} { sqrt { cos phi}}. }$

За ${ displaystyle V_ {0} = 0,1}$мВ и ${ displaystyle I_ {J} = 0,2 mu}$Волновое сопротивление будет ${ Displaystyle rho _ {J} = 500 Omega. }$

Плоский атом как LC-цепь

Квантовая емкость Плоский атом (FA):

${ displaystyle C_ {F0} = { frac { epsilon _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {F0} = 5,1805 cdot 10 ^ {- 7} }$ F,

куда ${ displaystyle lambda _ {0} = { frac {h} {m_ {0} c}} }$.

Квантовая индуктивность ТВС:

${ displaystyle L_ {F0} = { frac { mu _ {0}} { lambda _ {0}}} cdot S_ {F0} = 7.3524 cdot 10 ^ {- 2} }$ ЧАС.

Элемент квантовой площади ТВС:

${ displaystyle S_ {F0} = { frac { lambda _ {0} c} { omega _ {F0}}} = { frac {h} {m_ {0} omega _ {F0}}} = 1.4196 cdot 10 ^ {- 7} }$ м².

Резонансная частота ФА:

${ displaystyle omega _ {F0} = { sqrt { frac {1} {L_ {F0} C_ {F0}}}} = 5123.9 }$ рад / с.

Характеристическое сопротивление FA:

${ Displaystyle rho _ {F0} = { sqrt { frac {L_ {F0}} {C_ {F0}}}} = rho _ {0} = 2 alpha R_ {H}, }$

куда ${ displaystyle rho _ {0} }$ это импеданс свободного пространства.

Суммарный электрический заряд на первом энергетическом уровне ТВС:

${ displaystyle Q_ {F1} = e { sqrt { frac {S_ {F0}} {S_ {B}}}} = 2 cdot 10 ^ {6} e }$,

куда ${ Displaystyle S_ {B} = 4 pi a_ {B} ^ {2} - }$ Элемент квантовой площади Бора. Первый FA был открыт Якимахой (1994) ^[5] как очень низкочастотный резонанс на полевых МОП-транзисторах с p-каналом. В отличие от сферического атома Бора, FA имеет гиперболическую зависимость от количества энергетических уровней (n) ^[8]

${ displaystyle omega _ {F0n} = { frac { omega _ {F0}} {n}}. }$

Смотрите также

• LC-цепь
• Гармонический осциллятор
• Квантовый гармонический осциллятор
• Квантовый электромагнитный резонатор

Рекомендации

Источники

• В. Х. Луиселл, "Квантовые статистические свойства излучения" (Вили, Нью-Йорк, 1973)
• Мишель Деворе. Квантовая флуктуация в электрической цепи.PDF
• Фань Хун-и, Пань Сяо-инь. Chin.Phys.Lett. №9 (1998) 625.PDF
• Сюй, Син-Лэй; Ли, Хун-Ци; Ван, Джи-Суо Квантовые флуктуации мезоскопического затухающего двойного резонансного RLC-контура с взаимной емкостной индуктивностью связи в состоянии теплового возбуждения. Китайская физика, том 16, выпуск 8, стр. 2462–2470 (2007).[1]
• Хун-Ци Ли, Син-Лей Сюй и Цзи-Суо Ван. Квантовые флуктуации тока и напряжения в тепловакуумном состоянии для мезоскопического кварцевого пьезоэлектрического кристалла. [2]
• Борис Я. Зельдович. Импеданс и параметрическое возбуждение осцилляторов. УФН, 2008, т. 178, № 5 PDF