Теория квази-множеств - Quasi-set theory

Теория квази-множеств представляет собой формальную математическую теорию для работы с коллекциями неразличимых объектов, в основном мотивированную предположением, что определенные объекты, рассматриваемые в квантовая физика неотличимы и лишены индивидуальности.

Мотивация

Американское математическое общество спонсировало встречу 1974 года, чтобы оценить разрешение и последствия 23 задачи Гильберта была предложена в 1900 году. Результатом этой встречи стал новый список математических проблем, первая из которых, благодаря Манину (1976, стр. 36), поставила под сомнение возможность классической теория множеств была адекватной парадигмой для обращения с коллекциями неотличимых элементарные частицы в квантовая механика. Он предположил, что такие коллекции не могут быть наборами в обычном смысле и что изучение таких коллекций требует «нового языка».

Использование термина квази-множество следует предложению в да Коста монография 1980 г. Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica (см. да Кошта и Краузе 1994), в котором он исследовал возможные семантика за то, что он назвал «Логикой Шредингера». В этой логике понятие идентичности ограничено некоторыми объектами предметной области и имеет мотивацию в Шредингер утверждает, что концепция идентичности не имеет смысла для элементарных частиц (Schrödinger 1952). Таким образом, чтобы обеспечить семантику, которая соответствует логике, да Кошта утверждал, что «должна быть разработана теория квази-множеств», охватывающая «стандартные множества» как частные случаи, однако да Коста не развивал эту теорию каким-либо конкретным образом. С той же целью и независимо от да Кошты, Далла Кьяра и ди Франсия (1993) предложили теорию квазеты чтобы позволить семантический обращение с языком микрофизика. Первая теория квазимножеств была предложена Д. Краузе в его докторской диссертации в 1990 г. (см. Krause 1992). Родственная физическая теория, основанная на логике добавления фундаментальной неразличимости к равенству и неравенству, была независимо разработана и развита в книге. Теория неразличимости к А. Ф. Паркер-Родс.^[1]

Об использовании квази-множеств в философских дискуссиях о квантовой идентичности и индивидуальности см. Французский (2006) и Френч и Краузе (2006). О логике Шрёдингера см. Da Costa and Krause (1994, 1997) и French and Krause (2006).

Изложение теории

Теперь изложим аксиоматическую теорию Краузе (1992). ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ , первая теория квазимножеств; с тех пор появились другие составы и улучшения. Обновленную статью по этому вопросу см. В French and Krause (2010). Краузе основывается на теории множеств ZFU, состоящей из Теория множеств Цермело-Френкеля с онтология расширен, чтобы включить два вида урэлементы:

м-атомы, предполагаемая интерпретация которых элементарна квантовые частицы;
M-атомы, макроскопические объекты, к которым классическая логика предполагается применить.

Квази-множества (q-наборы) представляют собой коллекции, полученные в результате применения аксиом, очень похожих на аксиомы для ZFU, к базовым домен состоит из м-атомы, M-атомы и их агрегаты. Аксиомы ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ включать эквиваленты протяженность, но в более слабой форме, называемой «аксиомой слабой протяженности»; аксиомы, утверждающие существование пустой набор, неупорядоченная пара, союзный набор, и набор мощности; Разделение; образ q-множества при q-функции также является q-множеством; q-множества эквиваленты бесконечность, Регулярность, и Выбор. Конечно, возможны теории Q-множеств, основанные на других теоретико-множественных системах.

${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ имеет примитивное понятие квазикардинала, управляемое восемью дополнительными аксиомами, интуитивно обозначающими количество объектов в коллекции. Квазикардинал квазимножества не определяется в обычном смысле (с помощью порядковые ) поскольку м-атомы считаются (абсолютно) неразличимыми. Кроме того, можно определить перевод с языка ZFU на язык ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ таким образом, чтобы была «копия» ZFU в ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ . В этом экземпляре могут быть определены все обычные математические концепции, а «множества» (на самом деле, « ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ -множества ') оказываются теми q-множествами, переходное закрытие не содержит m-атомов.

В ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ могут существовать q-множества, называемые "чистыми" q-множествами, все элементы которых являются m-атомами, и аксиоматика ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ дает основание сказать, что ничего в ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ отличает элементы чистого q-множества друг от друга для некоторых чистых q-множеств. В рамках теории идея о том, что существует более одного объекта в Икс выражается аксиомой, которая утверждает, что квазикардинал степенного квазимножества Икс имеет квазикардинал 2^{qc (Икс)}, где qc (Икс) - квазикардинал Икс (что является кардиналом, полученным в только что упомянутой «копии» ЗФУ).

Что именно это значит? Рассмотрим уровень 2п атома натрия, в котором есть шесть неразличимых электронов. Даже в этом случае физики рассуждают так, будто на самом деле на этом уровне шесть сущностей, а не одна. Таким образом, говоря, что квазикардинал квазимножества степеней Икс 2^{qc (Икс)} (Предположим, что qc(Икс) = 6, чтобы следовать примеру), мы не исключаем гипотезы о том, что может существовать шесть подквазимножеств Икс которые являются «одиночками», хотя мы не можем их различить. Есть ли шесть элементов в Икс это то, что не может быть приписано теорией (хотя это понятие совместимо с теорией). Если бы теория могла ответить на этот вопрос, элементы Икс будут индивидуализированы и, следовательно, подсчитаны, что противоречит основному предположению, что их нельзя различить.

Другими словами, мы можем последовательно (в рамках аксиоматики ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ ) причина, как если бы в Икс, но Икс следует рассматривать как собрание, элементы которого нельзя различить как отдельные лица. Используя теорию квазимножеств, мы можем выразить некоторые факты квантовая физика без введения симметрия условий (Krause et al. 1999, 2005). Как хорошо известно, для того, чтобы выразить неразличимость, частицы считаются отдельные лица, скажем, привязав их к координатам или соответствующим функциям / векторам, например | ψ>. Таким образом, для двух квантовых систем с обозначением | ψ₁> и | ψ₂> вначале нам нужно рассмотреть функцию вида | ψ₁₂> = | ψ₁> | ψ₂> ± | ψ₂> | ψ₁> (за исключением некоторых констант), которые делают кванты неотличимыми от перестановки; то плотность вероятности совместной системы не зависит от того, какой квант №1, а какой - квант №2. (Обратите внимание, что точность требует, чтобы мы говорили о «двух» квантах, не различая их, что невозможно в традиционных теориях множеств.) ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$ , мы можем обойтись без этой «идентификации» кванты; подробнее см. Krause et al. (1999, 2005) и Френч и Краузе (2006).

Теория квази-множеств - это способ операционализировать заявление Хайнца Поста (1963) о том, что кванты должны считаться неотличимыми «с самого начала».

Смотрите также

Рекомендации

^ А. Ф. Паркер-Родс, Теория неразличимости: поиск объяснительных принципов ниже уровня физики, Рейдель (Springer), Dordecht (1981). ISBN 90-277-1214-Х

Френч, С., и Краузе, Д. «Замечания по теории квази-множеств», Studia Logica 95 (1–2), 2010 г., стр. 101–124.
Ньютон да Коста (1980) Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. Сан-Паулу: Hucitec.
да Коста, Н. С. А. и Краузе, Д. (1994) "Логика Шредингера", Studia Logica 53: 533–550.
------ (1997) "Интенсивная логика Шредингера," Журнал формальной логики Нотр-Дам 38: 179–94.
Далла Кьяра, М.Л. и Торальдо ди Франсия, Г. (1993) «Отдельные лица, виды и имена в физике» в Corsi, G. et al., eds., Преодоление разрыва: философия, математика, физика. Kluwer: 261-83.
Доменек, Г. и Холик, Ф. (2007), «Обсуждение числа частиц и квантовой неразличимости», «Основы физики», т. 37, нет. 6. С. 855–878.
Доменек, Г., Холик, Ф. и Краузе, Д., «Q-пространства и основы квантовой механики», «Основы физики» 38 (11) ноябрь 2008 г., стр. 969–994.
Фалькенбург, Б.: 2007, "Метафизика частиц: критический анализ субатомной реальности", Springer.
Френч, Стивен (2006) "Идентичность и индивидуальность в квантовой теории," Стэнфордская энциклопедия философии (Издание Весна 2006 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
Френч, С. и Краузе, Д. (2006) Идентичность в физике: исторический, философский и формальный анализ. Oxford Univ. Нажмите.
Френч, С. и Риклз, Д. П. (2003), «Понимание перестановочной симметрии», у К. Брэдинга и Э. Кастеллани, «Симметрии в физике: New Reflectio», Cambridge University Press, стр. 212–238.
Краузе, Децио (1992) "О теории квази-множеств," Журнал формальной логики Нотр-Дам 33: 402–11.
Краузе Д., Сант-Анна А.С. и Волков А.Г. (1999) "Теория квази-множеств для бозонов и фермионов: квантовые распределения". Основы физики Письма 12: 51–66.
Краузе Д., Сант'Анна А. С. и Сарторелли А. (2005) «О концепции идентичности в аксиомах типа Цермело-Френкеля и ее связи с квантовой статистикой». Logique et Analyze: 189–192, 231–260.
Манин, Юрий (1976) "Проблемы современной математики: основы," в Феликс Браудер, изд., Труды симпозиумов по чистой математике, Vol. XXVIII. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
Пост, Хайнц (1963) "Индивидуальность в физике", Слушатель, 10 октября 1963 г.: 534–537. Перепечатано в (1973) Веданта для Востока и Запада: 14–22.
Эрвин Шредингер (1952) Наука и гуманизм. Cambridge Un. Нажмите.

[1] А. Ф. Паркер-Родс, Теория неразличимости: поиск объяснительных принципов ниже уровня физики, Рейдель (Springer), Dordecht (1981). ISBN 90-277-1214-Х

[1]