Проблемы Гильберта - Википедия - Hilberts problems

Дэвид Гильберт

Проблемы Гильберта двадцать три проблемы в математика опубликовано немецким математиком Дэвид Гильберт в 1900 году. Все они были нерешенными в то время, и некоторые из них оказались очень влиятельными для математики 20-го века. Гильберт представил десять задач (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22) на Париж конференция Международный конгресс математиков, выступая 8 августа на Сорбонна. Полный список из 23 задач был опубликован позже, в первую очередь в английском переводе в 1902 г. Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Бюллетень Американского математического общества.[1]

Природа и влияние проблем

Задачи Гильберта очень разнообразны по тематике и точности. Некоторые из них, например, 3-я проблема, которую решили первой, или 8-я проблема ( Гипотеза Римана ), который до сих пор остается нерешенным, были представлены достаточно точно, чтобы дать четкий утвердительный или отрицательный ответ. Для других проблем, таких как 5-я, эксперты традиционно согласились с единственной интерпретацией, и было дано решение принятой интерпретации, но существуют тесно связанные нерешенные проблемы. Некоторые из утверждений Гильберта не были достаточно точными, чтобы указать конкретную проблему, но были достаточно наводящими на размышления, чтобы определенные проблемы современной природы, казалось, применимы; например, самые современные теоретики чисел вероятно, рассматривал бы девятую проблему как ссылку на гипотетическое соответствие Ленглендса на представлениях абсолютного Группа Галуа из числовое поле.[нужна цитата ] Тем не менее другие проблемы, такие как 11-я и 16-я, касаются тех математических дисциплин, которые сейчас процветают, таких как теории квадратичные формы и вещественные алгебраические кривые.

Есть две проблемы, которые не только не решены, но и могут оказаться неразрешимыми по современным меркам. Шестая проблема касается аксиоматизации физика, цель, которую разработки двадцатого века, кажется, сделали более отдаленной и менее важной, чем во времена Гильберта. Кроме того, 4-я проблема касается основ геометрии, и ее сейчас обычно считают слишком расплывчатой, чтобы дать окончательный ответ.

Остальным 21 проблеме было уделено значительное внимание, и в конце двадцатого века работа над этими проблемами по-прежнему считалась очень важной. Пол Коэн получил Медаль Филдса в 1966 г. за работу над первой проблемой и отрицательное решение десятой проблемы в 1970 г. Юрий Матиясевич (завершая работу Мартин Дэвис, Хилари Патнэм, и Джулия Робинсон ) вызвал аналогичное признание. Аспекты этих проблем по-прежнему вызывают большой интерес.

Игнорабимус

Следующий Готтлоб Фреге и Бертран Рассел, Гильберт стремился определить математику логически, используя метод формальные системы, т.е. финитистический доказательства из согласованного набора аксиом.[2] Одна из основных целей Программа Гильберта был конечным доказательством непротиворечивости аксиом арифметики: это его вторая проблема.[а]

Тем не мение, Вторая теорема Гёделя о неполноте дает точный смысл, в котором такое финитистическое доказательство непротиворечивости арифметики доказуемо невозможно. Гильберт прожил 12 лет после Курт Гёдель опубликовал свою теорему, но, похоже, не написал никакого официального ответа на работу Гёделя.[b][c]

Десятая проблема Гильберта не ставит вопрос о существовании алгоритм для определения разрешимости Диофантовы уравнения, а скорее просит строительство такого алгоритма: «разработать процесс, согласно которому с помощью конечного числа операций можно будет определить, разрешимо ли уравнение в целых рациональных числах». То, что эта проблема была решена, показав, что не может быть никакого такого алгоритма, противоречило философии математики Гильберта.

Обсуждая свое мнение о том, что каждая математическая проблема должна иметь решение, Гильберт допускает возможность того, что решение может быть доказательством невозможности исходной проблемы.[d] Он заявил, что дело в том, чтобы так или иначе узнать, каково решение, и он считал, что мы всегда можем знать это, что в математике нет ничего "неграбимус "(утверждение, истина которого никогда не станет известна).[e] Кажется неясным, рассматривал бы он решение десятой проблемы как пример ignorabimus: доказано, что не существует целочисленного решения, а (в определенном смысле) способность определенным образом различать, является ли решение существуют.

С другой стороны, статус первой и второй проблем еще более сложен: нет четкого математического консенсуса относительно того, являются ли результаты Геделя (в случае второй проблемы) или Геделя и Коэна (в случае первой проблемы) дают окончательные отрицательные решения или нет, поскольку эти решения относятся к определенной формализации проблем, которая не обязательно является единственно возможной.[f]

24-я проблема

Основная статья: Двадцать четвертая проблема Гильберта

Первоначально Гильберт включил в свой список 24 задачи, но решил не включать одну из них в опубликованный список. «24-я проблема» (в теория доказательств, по критерию простота и общие методы) был переоткрыт в оригинальных рукописных заметках Гильберта немецким историком Рюдигер Тиле в 2000 г.[5]

Сиквелы

С 1900 года математики и математические организации объявляют списки задач, но, за некоторыми исключениями, они не имели такого большого влияния и не создавали столько работы, сколько задачи Гильберта.

Одно исключение состоит из трех предположений, сделанных Андре Вайль в конце 1940-х гг. Гипотезы Вейля ). В областях алгебраическая геометрия, теории чисел и связи между ними, предположения Вейля были очень важны.[нужна цитата ]. Первое из них было доказано Бернард Дворк; совершенно другое доказательство первых двух, через ℓ-адические когомологии, был предоставлен Александр Гротендик. Последняя и самая глубокая из гипотез Вейля (аналог гипотезы Римана) была доказана Пьер Делинь. И Гротендик, и Делинь были награждены Медаль Филдса. Однако гипотезы Вейля по своему охвату были больше похожи на единственную проблему Гильберта, и Вейль никогда не планировал их как программу для всей математики. Это несколько иронично, поскольку, возможно, Вейль был математиком 1940-х и 1950-х годов, который лучше всего играл роль Гильберта, знаком почти со всеми областями (теоретической) математики и сыграл важную роль в развитии многих из них.

Пол Эрдёш сформулировал сотни, если не тысячи математических проблемы, многие из них глубокие. Эрдеш часто предлагал денежные вознаграждения; размер вознаграждения зависел от воспринимаемой сложности проблемы.

Конец тысячелетия, который также был столетней годовщиной объявления Гильбертом своих проблем, предоставил естественный повод предложить «новый набор проблем Гильберта». Несколько математиков приняли вызов, в частности, медалист Филдса. Стив Смейл, который ответил на запрос Владимир Арнольд предложить список из 18 задач.

По крайней мере, в основных СМИ де-факто Аналогом проблем Гильберта 21 века является список семи Задачи Премии тысячелетия выбранный в 2000 г. Институт математики Клэя. В отличие от задач Гильберта, где главной наградой было восхищение Гильберта в частности и математиков в целом, каждая задача с призовым фондом включает вознаграждение в миллион долларов. Как и в случае с проблемами Гильберта, одна из призовых задач ( Гипотеза Пуанкаре ) был решен относительно вскоре после объявления о проблемах.

В Гипотеза Римана примечателен своим появлением в списке проблем Гильберта, списке Смейла, списке задач Премии тысячелетия и даже гипотезах Вейля в своем геометрическом обличье. Хотя он подвергся критике со стороны крупнейших математиков нашего времени, многие эксперты полагают, что он все еще будет частью списков нерешенных проблем на протяжении многих столетий. Сам Гильберт заявил: «Если бы я проснулся после того, как проспал тысячу лет, мой первый вопрос был бы таков: доказана ли гипотеза Римана?»[6]

В 2008, DARPA объявил свой собственный список из 23 задач, которые, как он надеялся, могут привести к крупным математическим прорывам, "тем самым укрепив научные и технологические возможности DoD."[7][8]

Резюме

Из четко сформулированных проблем Гильберта задачи 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 и 20 имеют решение, которое принимается консенсусом математического сообщества. С другой стороны, проблемы 1, 2, 5, 6, 9, 11, 15, 21 и 22 имеют решения, которые частично принимаются, но существуют некоторые разногласия относительно того, решают ли они проблемы.

Остается 8 ( Гипотеза Римана ), 12, 13 и 16[грамм] неразрешенными, а 4 и 23 слишком неопределенными, чтобы их можно было назвать решенными. Изъятые 24 также будут в этом классе. Число 6 рассматривается как проблема скорее в физике, чем в математике.

Таблица проблем

Двадцать три проблемы Гильберта (подробные сведения о решениях и ссылки см. В подробных статьях, ссылки на которые приведены в первом столбце):

ПроблемаКраткое объяснениеПоложение делГод решен
1-йВ гипотеза континуума (то есть нет набор чей мощность находится строго между целые числа и что из действительные числа )Доказать или опровергнуть внутри невозможно. Теория множеств Цермело – Френкеля с или без Аксиома выбора (при условии Теория множеств Цермело – Френкеля является последовательный, т.е. не содержит противоречия). Нет единого мнения о том, является ли это решением проблемы.1940, 1963
2-йДокажите, что аксиомы из арифметика находятся последовательный.Нет единого мнения о том, будут ли результаты Гёдель и Gentzen дать решение проблемы, сформулированное Гильбертом. Гёделя вторая теорема о неполноте, доказанное в 1931 г., показывает, что никакое доказательство его непротиворечивости не может быть выполнено в рамках самой арифметики. Генцен доказал в 1936 году, что последовательность арифметики следует из обоснованность из порядковыйε₀.1931, 1936
3-йУчитывая любые два многогранники равного объема, всегда ли возможно разрезать первое на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить вторую?Решено. Результат: Нет, доказано использование Инварианты Дена.1900
4-йПостроить все метрики где линии геодезические.Слишком расплывчато, чтобы сказать решено или нет.[час]—
5-йНепрерывны группы автоматически дифференциальные группы ?Решено Эндрю Глисон, предполагая одну интерпретацию исходного утверждения. Если, однако, понимать его как эквивалент Гипотеза Гильберта – Смита, это все еще не решено.1953?
ШестойМатематическая трактовка аксиомы из физика

(а) аксиоматическая трактовка вероятности с помощью предельных теорем для обоснования статистическая физика

(б) строгая теория предельных процессов, «которые ведут от атомистической точки зрения к законам движения сплошных сред»		Частично разрешено в зависимости от того, как интерпретируется исходное утверждение.[9] Пункты (a) и (b) были двумя конкретными проблемами, указанными Гильбертом в более позднем объяснении.[1] Аксиоматика Колмогорова (1933) теперь принят в качестве стандарта. Есть некоторый успех на пути от «атомистической точки зрения к законам движения континуумов».[10]1933–2002?
7-еЯвляется аб трансцендентный, за алгебраический а ≠ 0,1 и иррациональный алгебраический б ?Решено. Результат: Да, проиллюстрировано Теорема Гельфонда или Теорема Гельфонда – Шнайдера.1934
8-еВ Гипотеза Римана
(«настоящая часть любого не-банальный нуль из Дзета-функция Римана составляет ½ ")
и другие задачи с простыми числами, среди них Гипотеза Гольдбаха и гипотеза о простых близнецах		Нерешенный.—
9-еНайдите самый общий закон теорема взаимности в любом алгебраический числовое поле.Частично решено.[я]—
10-еНайдите алгоритм, чтобы определить, подходит ли данный многочлен Диофантово уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленное решение.Решено. Результат: невозможно; Теорема Матиясевича означает, что такого алгоритма нет.1970
11-еРешение квадратичные формы с алгебраическими числовыми коэффициенты.Частично решено.[11]—
12-еРасширить Теорема Кронекера – Вебера. об абелевых расширениях рациональное число в любое поле базового числа.Нерешенный.—
13-еРешать Уравнение 7-й степени с использованием алгебраических (вариант: непрерывный) функции из двух параметры.Нерешенный. Непрерывный вариант этой задачи был решен Владимир Арнольд в 1957 г. по работе Андрей Колмогоров, но алгебраический вариант не решен.[j]—
14-еЭто кольцо инвариантов из алгебраическая группа действуя на кольцо многочленов всегда конечно порожденный ?Решено. Результат: Нет, контрпример был построен Масаёши Нагата.1959
15-еСтрогий фундамент Перечислительное исчисление Шуберта.Частично решено.[нужна цитата ]—
16-еОпишите взаимное расположение овалов, исходящих из настоящий алгебраическая кривая и, как предельные циклы полинома векторное поле на самолете.Неразрешенный, даже для алгебраических кривых степени 8.—
17-еВыразите неотрицательный рациональная функция в качестве частное сумм квадраты.Решено. Результат: Да, благодаря Эмиль Артин. Кроме того, был установлен верхний предел количества необходимых квадратных терминов.1927
18-е(а) Существует ли многогранник, допускающий только анизоэдрическая мозаика в трех измерениях?

(б) Что самое плотное упаковка сфер ?		(а) Решено. Результат: Да (автор Карл Рейнхардт ).

(b) Широко распространено мнение, что решение проблемы компьютерное доказательство (к Томас Каллистер Хейлз ). Результат: максимальная плотность достигается плотные упаковки, каждая с плотностью приблизительно 74%, например, гранецентрированная кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка.[k]		(а) 1928 г.

(б) 1998 г.
19-еНаходятся ли решения обычных проблем в вариационное исчисление всегда обязательно аналитический ?Решено. Результат: Да, подтверждено Эннио де Джорджи и, независимо и разными методами, Джон Форбс Нэш.1957
20-еСделай все вариационные задачи с определенными граничные условия есть решения?Решено. Важная тема исследований на протяжении 20-го века, кульминацией которой являются решения нелинейного случая.?
21-еДоказательство существования линейные дифференциальные уравнения имеющий предписанный монодромная группа Частично решено. Результат: Да / Нет / Открыть в зависимости от более точной постановки задачи.?
22-еУниформизация аналитических отношений с помощью автоморфные функцииЧастично решено. Теорема униформизации?
23-еДальнейшее развитие вариационное исчислениеСлишком расплывчато, чтобы сказать решено или нет.—

Смотрите также

Примечания

  1. ^ См. Nagel and Newman в редакции Hofstadter (2001, с. 107),[3] сноска 37: «Более того, хотя большинство специалистов по математической логике не ставят под сомнение убедительность доказательства [Генцена], оно не является конечным в смысле первоначальных условий Гильберта для абсолютного доказательства непротиворечивости». Также см. Следующую страницу: «Но эти доказательства [Gentzen's et al.] Не могут быть отражены внутри систем, к которым они относятся, и, поскольку они не являются конечными, они не достигают заявленных целей исходной программы Гильберта». Хофштадтер немного переписал исходную сноску (1958 г.), заменив слово «студенты» на «специалисты по математической логике». И этот момент снова обсуждается на странице 109.[3] и не был изменен Хофштадтером (стр. 108).[3]
  2. ^ Рид сообщает, что, услышав о «работе Гёделя от Бернейса, он был« несколько рассержен »... Сначала он был только зол и расстроен, но затем он начал пытаться конструктивно решить проблему ... Это не было однако ясно, какое влияние в конечном итоге окажет работа Гёделя »(стр. 198–199).[4] Рид отмечает, что в двух статьях 1931 года Гильберт предложил другую форму индукции, названную «нескончаемой индукцией» (стр. 199).[4]
  3. ^ Биография Рида Гильберта, написанная в 1960-х годах из интервью и писем, сообщает, что «Гёдель (который никогда не переписывался с Гильбертом) считает, что схема Гильберта для основ математики« остается очень интересной и важной, несмотря на мои отрицательные результаты »( стр. 217) Обратите внимание на использование настоящего времени - она ​​сообщает, что Гедель и Бернейс, среди прочих, «ответили на мои вопросы о работе Гильберта в области логики и основ» (стр. vii).[4]
  4. ^ Этот вопрос, который берет свое начало в «фундаментальном кризисе» начала 20 века, в частности, в споре о том, при каких обстоятельствах Закон исключенного среднего использоваться в доказательствах. Смотрите гораздо больше на Противоречие Брауэра-Гильберта.
  5. ^ «Убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является мощным стимулом для рабочего. Мы слышим внутри себя непрекращающийся призыв: существует проблема. Ищите ее решение. Вы можете найти ее с помощью чистого разума, поскольку в математике нет ignorabimus."(Гильберт, 1902, стр. 445.)
  6. ^ Нагель, Ньюман и Хофштадтер обсуждают этот вопрос: «Возможность построения конечного абсолютного доказательства непротиворечивости формальной системы, такой как Principia Mathematica не исключается результатами Гёделя. ... Его аргумент не исключает возможности ... Но сегодня, похоже, никто не имеет четкого представления о том, на что было бы похоже конечное доказательство. нет может быть отражен внутри Principia Mathematica (сноска 39, стр. 109). Авторы приходят к выводу, что такая перспектива «маловероятна».[3]
  7. ^ Некоторые авторы считают эту проблему слишком расплывчатой, чтобы ее можно было назвать решенной, хотя по ней все еще ведутся активные исследования.
  8. ^ По словам Грея, большинство проблем уже решено. Некоторые из них не были определены полностью, но был достигнут достаточный прогресс, чтобы считать их «решенными»; Грей называет четвертую проблему слишком расплывчатой, чтобы сказать, решена ли она.
  9. ^ Проблема 9 решена Эмиль Артин в 1927 г. для Абелевы расширения из рациональное число во время развития теория поля классов; неабелев случай остается нерешенным, если интерпретировать его как значение неабелева теория поля классов.
  10. ^ Нетрудно показать, что проблема имеет частичное решение в пространстве однозначных аналитических функций (Рауденбуш). Некоторые авторы утверждают, что Гильберт намеревался найти решение в пространстве (многозначных) алгебраических функций, тем самым продолжая свою собственную работу по алгебраическим функциям и ставя вопрос о возможном расширении Теория Галуа (см., например, Abhyankar[12] Витушкин,[13] Чеботарев,[14] и другие). Как следует из одной из статей Гильберта[15] что это было его первоначальным намерением для проблемы. Язык Гильберта есть "... Existenz von алгебраический Funktionen ... ", [наличие алгебраический функции]. Таким образом, проблема до сих пор не решена.
  11. ^ Грей также называет 18-ю задачу «открытой» в своей книге 2000 года, потому что проблема упаковки сфер (также известная как Гипотеза Кеплера ) остался нерешенным, но теперь требуется его решение.

Рекомендации

  1. ^ а б Гильберт, Дэвид (1902). «Математические задачи». Бюллетень Американского математического общества. 8 (10): 437–479. Дои:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3. Более ранние публикации (на немецком языке) появлялись в Гильберт, Дэвид (1900). "Математическая проблема". Göttinger Nachrichten: 253–297. и Гильберт, Дэвид (1901). «[название не указано]». Archiv der Mathematik und Physik. 3. 1: 44–63, 213–237.
  2. ^ ван Хейеноорт, Жан, изд. (1976) [1966]. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 гг. ((ПБК) изд.). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 464ff. ISBN  978-0-674-32449-7.
    Надежный источник аксиоматической системы Гильберта, его комментариев к ним и к фундаментальному «кризису», который происходил в то время (в переводе на английский), выглядит как Гильбертовский «Основы математики» (1927).
  3. ^ а б c d Нагель, Эрнест; Ньюман, Джеймс Р. (2001). Хофштадтер, Дуглас Р. (ред.). Доказательство Гёделя. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Нью-Йоркского университета. ISBN  978-0-8147-5816-8.
  4. ^ а б c Рид, Констанс (1996). Гильберта. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0387946740.
  5. ^ Тиле, Рюдигер (январь 2003 г.). «Двадцать четвертая проблема Гильберта» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 110: 1–24. Дои:10.1080/00029890.2003.11919933. S2CID  123061382.
  6. ^ Клоусон, Кальвин С. Математические загадки: красота и магия чисел. п. 258.
  7. ^ «23 самых сложных математических вопроса в мире». 29 сентября 2008 г.
  8. ^ "Приглашение к экзамену DARPA по математике". 26 сентября 2008 г.
  9. ^ Корри, Л. (1997). «Дэвид Гильберт и аксиоматизация физики (1894–1905)». Arch. Hist. Точная наука. 51 (2): 83–198. Дои:10.1007 / BF00375141. S2CID  122709777.
  10. ^ Горбань, А.; Карлин И. (2014). «Шестая проблема Гильберта: точное и приближенное гидродинамическое многообразие для кинетических уравнений». Бюллетень Американского математического общества. 51 (2): 186–246. arXiv:1310.0406. Дои:10.1090 / S0273-0979-2013-01439-3.
  11. ^ Hazewinkel, Michiel (2009). Справочник по алгебре. 6. Эльзевир. п. 69. ISBN  978-0080932811.
  12. ^ Абхьянкар, Шрирам С. «Тринадцатая проблема Гильберта» (PDF).
  13. ^ Витушкин, А. «О тринадцатой проблеме Гильберта и связанных с ней вопросах» (PDF).
  14. ^ Чеботарев Н.Г., По некоторым вопросам проблемы резольвент
  15. ^ Гильберт, Дэвид (1927). «Über die Gleichung neunten Grades». Математика. Анна. 97: 243–250. Дои:10.1007 / BF01447867. S2CID  179178089.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка