Факторный автомат - Википедия - Quotient automaton

В Информатика, в частности в формальная теория языка, а факторный автомат можно получить из заданного недетерминированный конечный автомат присоединившись к некоторым из ее государств. Фактор признает надмножество данного автомата; в некоторых случаях обрабатывается Теорема Майхилла – Нероде, оба языка равны.

Формальное определение

A (недетерминированный) конечный автомат это пятикратный А = ⟨Σ, S, s₀, δ, S_ж⟩, куда:

Σ это вход алфавит (конечный, непустой набор символов),
S конечное непустое множество состояний,
s₀ начальное состояние, элемент S,
δ это состояние перехода связь: δ ⊆ S × Σ × S, и
S_ж - набор конечных состояний, (возможно, пустое) подмножество S.^[1]^{[примечание 1]}

А нить а₁...а_п ∈ Σ^* признан А если есть государства s₁, ..., s_п ∈ S такой, что ⟨s_я-1,а_я,s_я⟩ ∈ δ за я=1,...,п, и s_п ∈ S_ж. Набор всех строк, распознаваемых А называется язык признанный А; он обозначается как L(А).

Для отношение эквивалентности ≈ на съемочной площадке S из АГосударства, факторный автомат А/_≈ = ⟨Σ, S/_≈, [s₀], δ/_≈, S_ж/_≈⟩ Определяется^[2]^:5

входной алфавит Σ быть таким же, как у А,
набор состояний S/_≈ быть набором всех классы эквивалентности государств из S,
начальное состояние [s₀], являющийся классом эквивалентности АНачальное состояние,
отношение переходное состояние δ/_≈ определяется δ/_≈([s],а,[т]) если δ(s,а,т) для некоторых s ∈ [s] и т ∈ [т], и
набор конечных состояний S_ж/_≈ - множество всех классов эквивалентности конечных состояний из S_ж.

Процесс вычисления А/_≈ также называется факторинг А по ≈.

Пример

Частные примеры
	Автомат диаграмма	Признанный язык	Является частным от
	Автомат диаграмма	Признанный язык	А к	B к	C к
А:		1+10+100
B:		1^+1^0+1^*00	a≈b
C:		1^0^	a≈b, c≈d	c≈d
D:		(0+1)^*	a≈b≈c≈d	a≈c≈d	a≈c

Например, автомат А показано в первой строке таблицы^{[заметка 2]} формально определяется как

Σ^А = {0,1},
S^А = {a, b, c, d},
s^А
₀ = а,
δ^А = {⟨A, 1, b⟩, ⟨b, 0, c⟩, ⟨c, 0, d⟩} и
S^А
_ж = {b, c, d}.

Он распознает конечный набор строк {1, 10, 100}; это множество также можно обозначить регулярное выражение "1+10+100".

Соотношение (≈) = {⟨a, a⟩, ⟨a, b⟩, ⟨b, a⟩, ⟨b, b⟩, ⟨c, c⟩, ⟨c, d⟩, ⟨d, c⟩, ⟨ d, d⟩}, более кратко обозначаемый как a≈b, c≈d, является отношением эквивалентности на множестве {a, b, c, d} автомата АСостояний. Построение частного А этим соотношением приводит к автомату C в третьей строке таблицы; это формально определяется

Σ^C = {0,1},
S^C = {a, c},^{[заметка 3]}
s^C
₀ = а,
δ^C = {⟨A, 1, a⟩, ⟨a, 0, c⟩, ⟨c, 0, c⟩} и
S^C
_ж = {a, c}.

Он распознает конечный набор всех строк, состоящих из произвольного количества единиц, за которыми следует произвольное количество нулей, то есть {ε, 1, 10, 100, 1000, ..., 11, 110, 1100, 11000, ..., 111, ...}; этот набор также можно обозначить регулярным выражением «1^*0^*". Неформально C можно думать о результате А путем приклеивания состояния a к состоянию b и приклеивания состояния c к состоянию d.

В таблице приведены еще несколько частных отношений, например B = А/_a≈b, и D = C/_a≈c.

Характеристики

Для каждого автомата А и каждое отношение эквивалентности ≈ на множестве его состояний, L(А/_≈) является надмножеством (или равно) L(А).^[2]^:6
Для конечного автомата А над некоторым алфавитом Σ, отношение эквивалентности ≈ можно определить на Σ^* к Икс ≈ у если ∀ z ∈ Σ^*: xz ∈ L(А) ↔ yz ∈ L(А). Посредством Теорема Майхилла – Нероде, А/_≈ - детерминированный автомат, распознающий тот же язык, что и А.^[1]^:65–66 Как следствие, частное А каждым уточнение of ≈ также распознает тот же язык, что и А.

Смотрите также

Примечания

^ Хопкрофт и Уллман (раздел 2.3, стр.20) используют несколько иное определение термина δ, а именно. как функция из S × Σ к набор мощности из S.
^ На схемах автоматов в таблице символы из входного алфавита и названия штатов окрашены в зеленый и красный, соответственно; конечные состояния изображены в виде двойных кружков.
^ Строго формально набор S^C = {[a], [b], [c], [d]} = {[a], [c]} ". Скобки классов опущены для удобства чтения.