Модель раша - Rasch model

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Январь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Модель раша, названный в честь Георг Раш, это психометрический модель для анализа категориальные данные, например, ответы на вопросы по оценке чтения или ответы на анкету, в зависимости от компромисса между (а) способностями, отношением респондента или черты характера и (б) сложность задания.^[1] Например, их можно использовать для оценки способности ученика к чтению или степени отношения человека к смертной казни по ответам на анкету. В добавление к психометрия и образовательных исследований, модель Раша и ее расширения используются в других областях, включая профессия здоровья^[2] и маркетинговые исследования^[3] из-за их общей применимости.^[4]

Математическая теория, лежащая в основе моделей Раша, представляет собой частный случай теория ответа элемента и, в более общем смысле, частный случай обобщенная линейная модель. Однако есть важные различия в интерпретации параметров модели и ее философском значении.^[5] что разделяют сторонников Модель раша из традиции моделирования отклика элементов. Центральный аспект этого разделения касается роли конкретной объективности,^[6] определяющее свойство модели Раша согласно Георг Раш, как необходимое условие для успешного измерения.

Обзор

Модель Раша для измерения

В модели Раша вероятность определенного ответа (например, правильный / неправильный ответ) моделируется как функция от параметров человека и элемента. В частности, в исходной модели Раша вероятность правильного ответа моделируется как логистическая функция различия между параметром person и item. Математическая форма модели представлена ​​далее в этой статье. В большинстве случаев параметры модели характеризуют квалификацию респондентов и сложность вопросов как местоположения на непрерывной скрытой переменной. Например, в образовательных тестах параметры задания представляют сложность заданий, в то время как параметры человека представляют способности или уровень достижений оцениваемых людей. Чем выше способности человека относительно сложности предмета, тем выше вероятность правильного ответа на этот предмет. Когда местоположение человека на скрытом признаке равно сложности предмета, вероятность правильного ответа в модели Раша по определению составляет 0,5.

Модель Раша - это модель в определенном смысле в том смысле, что он представляет структуру, которую данные должны демонстрировать, чтобы получить измерения на основе данных; то есть обеспечивает критерий успешного измерения. Помимо данных, уравнения Раша моделируют взаимосвязи, которые мы ожидаем получить в реальном мире. Например, образование предназначено для подготовки детей ко всему спектру проблем, с которыми они столкнутся в жизни, а не только к тем, которые появляются в учебниках или на тестах. Требуя, чтобы меры оставались одинаковыми (инвариантными) в разных тестах, измеряющих одно и то же, модели Раша позволяют проверить гипотезу о том, что конкретные задачи, поставленные в учебной программе и в тесте, согласованно представляют бесконечную совокупность всех возможных проблем в этом домен. Следовательно, модель Раша - это модель в смысле идеальный или стандарт, который обеспечивает эвристическую фикцию, служащую полезным организующим принципом, даже когда он фактически никогда не соблюдается на практике.

Перспектива или парадигма, лежащая в основе модели Раша, отличается от точки зрения, лежащей в основе статистическое моделирование. Чаще всего модели используются для описания набора данных. Параметры изменяются и принимаются или отклоняются в зависимости от того, насколько хорошо они соответствуют данным. Напротив, когда используется модель Раша, цель состоит в том, чтобы получить данные, которые соответствуют модели (Андрич, 2004; Райт, 1984, 1999). Обоснование этой точки зрения состоит в том, что модель Раша воплощает требования, которые должны быть выполнены для получения измерения в том смысле, в котором измерение обычно понимается в физических науках.

Полезная аналогия для понимания этого обоснования - рассматривать объекты, измеряемые на весах. Предположим, что вес объекта A измеряется как существенно больше веса объекта B в одном случае, а затем сразу после этого вес объекта B измеряется как существенно превышающий вес объекта A. Требуемое нам свойство измерений заключается в том, что результирующее сравнение между объектами должно быть одинаковым или неизменным, независимо от других факторов. Это ключевое требование воплощено в формальной структуре модели Раша. Следовательно, модель Раша не изменяется в соответствии с данными. Вместо этого следует изменить метод оценки таким образом, чтобы это требование выполнялось, точно так же, как весы должны быть исправлены, если они дают разные сравнения между объектами при отдельных измерениях объектов.

Данные, анализируемые с помощью модели, обычно представляют собой ответы на стандартные вопросы тестов, такие как образовательные тесты с правильными / неправильными ответами. Однако эта модель является общей и может применяться везде, где получены дискретные данные с целью измерения количественного атрибута или признака.

Масштабирование

Рисунок 1: Кривая характеристик теста, показывающая взаимосвязь между общим баллом за тест и оценкой местоположения человека

Когда все тестируемые имеют возможность попробовать все элементы в одном тесте, каждый общий балл на тесте соответствует уникальной оценке способностей, и чем больше сумма, тем выше оценка способностей. Итоговые оценки не имеют линейной связи с оценками способностей. Скорее, взаимосвязь является нелинейной, как показано на рисунке 1. Общая оценка отображается на вертикальной оси, а оценка местоположения соответствующего человека показана на горизонтальной оси. Для конкретного теста, на котором основана характеристическая кривая теста (TCC), показанная на рисунке 1, зависимость является приблизительно линейной во всем диапазоне общих баллов от примерно 13 до 31. Форма TCC обычно несколько сигмовидная, как в этом примере. . Однако точная взаимосвязь между общими баллами и оценками местонахождения человека зависит от распределения заданий в тесте. TCC более крутой в диапазонах в континууме, в котором есть несколько элементов, например в диапазоне по обе стороны от 0 на рисунках 1 и 2.

При применении модели Раша расположение элементов часто сначала масштабируется на основе методов, описанных ниже. Эта часть процесса масштабирования часто называется элементом калибровка. В образовательных тестах, чем меньше доля правильных ответов, тем выше сложность задания и, следовательно, тем выше его расположение на шкале. После масштабирования местоположений предметов на шкале измеряются местоположения людей. В результате местоположения людей и предметов оцениваются по единой шкале, как показано на рисунке 2.

Устный перевод местоположения шкалы

Рисунок 2: График, показывающий гистограммы распределения людей (вверху) и распределения предметов (внизу) на шкале

Для дихотомических данных, таких как правильные / неправильные ответы, по определению, местоположение элемента на шкале соответствует местоположению человека, при котором вероятность правильного ответа на вопрос составляет 0,5. В общем, вероятность того, что человек правильно ответит на вопрос с трудностью ниже, чем местоположение этого человека, больше 0,5, в то время как вероятность правильно ответить на вопрос с трудностью больше, чем местоположение человека, меньше 0,5. Кривая характеристик предмета (ICC) или функция отклика предмета (IRF) показывает вероятность правильного ответа как функцию способностей людей. Один ICC показан и объяснен более подробно на рисунке 4 в этой статье (см. Также функция ответа элемента ). Крайние левые ICC на рисунке 3 - это самые простые задания, крайние правые элементы на том же рисунке - самые сложные.

Когда ответы человека перечислены в зависимости от сложности задания, от наименьшей к наибольшей, наиболее вероятным образцом будет Шаблон Гуттмана или вектор; то есть {1,1, ..., 1,0,0,0, ..., 0}. Однако, хотя этот паттерн является наиболее вероятным с учетом структуры модели Раша, модель требует только вероятностных паттернов реакции Гуттмана; то есть паттерны, которые имеют тенденцию к паттерну Гуттмана. Строгое соответствие шаблону является необычным, потому что существует много возможных шаблонов. Нет необходимости, чтобы ответы строго соответствовали шаблону, чтобы данные соответствовали модели Раша.

Рисунок 3: ICC для ряда элементов. ICC окрашены, чтобы выделить изменение вероятности успешного ответа для человека с расположением способностей на вертикальной линии. Человек, скорее всего, будет правильно реагировать на самые простые предметы (с местоположениями слева и более высокими кривыми) и вряд ли будет правильно реагировать на сложные предметы (местоположения справа и нижние кривые).

Каждая оценка способности связана с стандартная ошибка измерения, который определяет степень неопределенности, связанную с оценкой способности. Оценки предметов также имеют стандартные ошибки. Как правило, стандартные ошибки оценок элементов значительно меньше, чем стандартные ошибки оценок отдельных лиц, потому что обычно данных по ответам для элемента больше, чем для человека. То есть количество людей, пытающихся выполнить данный элемент, обычно больше, чем количество попыток выполнения заданного элемента данным человеком. Стандартные ошибки оценок человека меньше там, где наклон ICC круче, что обычно находится в среднем диапазоне баллов за тест. Таким образом, в этом диапазоне есть большая точность, поскольку чем круче наклон, тем больше различие между любыми двумя точками на линии.

Статистические и графические тесты используются для оценки соответствия данных модели. Некоторые тесты носят глобальный характер, в то время как другие ориентированы на конкретные предметы или людей. Определенные тесты подгонки предоставляют информацию о том, какие предметы можно использовать для увеличения надежность теста, пропуская или исправляя проблемы с плохими элементами. В Rasch Measurement вместо показателей надежности используется индекс разделения людей. Однако индекс разделения людей аналогичен индексу надежности. Индекс разделения - это сводка истинного разделения как отношения к разделению, включая ошибку измерения. Как упоминалось ранее, уровень ошибки измерения не является однородным для всего диапазона теста, но обычно больше для более экстремальных оценок (низких и высоких).

Особенности модели Раша

Класс моделей назван в честь Георг Раш, датский математик и статистик, разработавший эпистемологический случай для моделей, основанный на их соответствии с основным требованием измерения в физика; а именно требование инвариантное сравнение.^[1] Это определяющая особенность класса моделей, о чем подробно говорится в следующем разделе. Модель Раша для дихотомических данных имеет тесную концептуальную связь с закон сравнительного суждения (LCJ), модель, сформулированная и широко используемая Л. Л. Терстон,^[7][8] и, следовательно, также Шкала терстона.^[9]

Прежде чем представить модель измерения, которой он наиболее известен, Раш применил распределение Пуассона к чтению данных в качестве модели измерения, предполагая, что в соответствующем эмпирическом контексте количество ошибок, сделанных данным человеком, регулируется соотношением сложности текста к способности человека читать. Раш назвал эту модель мультипликативная модель Пуассона. Модель Раша для дихотомических данных, т. Е. Где ответы можно разделить на две категории, является его наиболее широко известной и используемой моделью, и ей здесь уделяется основное внимание. Эта модель имеет вид простой логистическая функция.

Краткое изложение выше подчеркивает некоторые отличительные и взаимосвязанные особенности взглядов Раша на социальное измерение, а именно:

1. Он был озабочен в основном измерением отдельные лица, а не с распределением среди населения.
2. Он был озабочен созданием основы для априорной встречи требования для измерения, выведенного из физики и, следовательно, не использовавшего никаких предположения о распределении уровней признака в популяции.
3. Подход Раша недвусмысленно признает, что это научная гипотеза, согласно которой данная черта является как количественной, так и измеримой, как операционализированная в конкретном экспериментальном контексте.

Таким образом, в соответствии с перспективой, сформулированной Томас Кун в его статье 1961 г. Функция измерения в современной физической науке, измерение считалось основанным на теория, и как инструмент для обнаружения количественных аномалий, несовместимых с гипотезами, относящимися к более широкой теоретической структуре.^[10] Эта точка зрения отличается от той, которая обычно преобладает в социальных науках, в которых данные, такие как результаты тестов, непосредственно рассматриваются как измерения, не требуя теоретической основы для измерения. Хотя этот контраст существует, точка зрения Раша на самом деле дополняет использование статистического анализа или моделирования, которое требует измерений на уровне интервалов, поскольку цель применения модели Раша - получить такие измерения. Применение моделей Раша описано в самых разных источниках, включая Alagumalai, Curtis & Hungi (2005), Bezruczko (2005), Bond & Fox (2007), Burro (2016), Fisher & Wright (1994), Masters & Keeves. (1999), а Журнал прикладных измерений.

Инвариантное сравнение и достаточность

Модель Раша для дихотомических данных часто рассматривается как теория ответа элемента (IRT) модель с одним параметром элемента. Однако, вместо того, чтобы быть конкретной моделью IRT, сторонники модели^[11] рассматривать его как модель, которая обладает свойством, которое отличает ее от других моделей IRT. В частности, определяющим свойством моделей Раша является их формальная или математическая воплощение принципа инвариантного сравнения. Раш резюмировал принцип инвариантного сравнения следующим образом:

Сравнение двух стимулов не должно зависеть от того, какие конкретные люди использовались для сравнения; и он также не должен зависеть от того, какие другие стимулы в рассматриваемом классе сравнивались или могли также сравниваться.

Симметрично, сравнение двух индивидуумов не должно зависеть от того, какие именно стимулы в пределах рассматриваемого класса использовались для сравнения; и он также не должен зависеть от того, какие другие люди также сравнивались, в том же или другом случае.^[12]

В моделях Раша воплощен этот принцип, поскольку их формальная структура допускает алгебраическое разделение параметров человека и элемента в том смысле, что параметр человека может быть устранен в процессе статистическая оценка параметров товара. Такой результат достигается за счет использования условного максимальная вероятность оценка, при которой пространство для ответов разделено в соответствии с общими баллами человека. Следствием этого является то, что исходная оценка предмета или человека является достаточная статистика для предмета или человека параметр. Иными словами, общий балл человека содержит всю доступную информацию о человеке в заданном контексте, а общий балл элемента содержит всю информацию, касающуюся элемента, в отношении соответствующей скрытой характеристики. Модель Раша требует особой структуры данных отклика, а именно вероятностного Гуттман структура.

Выражаясь несколько более привычными терминами, модели Раша обеспечивают основу и обоснование для получения местоположения человека на континууме из общих баллов по оценкам. Хотя нередко рассматривать общие баллы напрямую как измерения, на самом деле они представляют собой подсчеты отдельных наблюдения а не измерения. Каждое наблюдение представляет собой наблюдаемый результат сравнения человека и предмета. Такие исходы прямо аналогичны наблюдению за вращением весов в ту или иную сторону. Это наблюдение указывало бы на то, что тот или иной объект имеет большую массу, но количество таких наблюдений нельзя рассматривать непосредственно как измерения.

Раш указал, что принцип инвариантного сравнения характерен для измерений в физике, используя, например, двухстороннюю экспериментальную систему отсчета, в которой каждый инструмент оказывает определенное влияние. механический сила на твердых телах производить ускорение. Раш^[1]:112–3 говорится об этом контексте: «Обычно: если для любых двух объектов мы находим определенное соотношение их ускорений, создаваемых одним инструментом, то такое же соотношение будет найдено и для любого другого инструмента». Нетрудно показать, что Второй закон Ньютона означает, что такие соотношения обратно пропорциональны отношениям массы тел.

Математическая форма модели Раша для дихотомических данных

Позволять ${ Displaystyle X_ {ni} = х в {0,1 }}$ быть дихотомической случайной величиной, где, например, ${ displaystyle x = 1}$ обозначает правильный ответ и ${ displaystyle x = 0}$ неправильный ответ на заданный предмет оценки. В модели Раша для дихотомических данных вероятность исхода ${ displaystyle X_ {ni} = 1}$ дан кем-то:

${ displaystyle Pr {X_ {ni} = 1 } = { frac {e ^ {{ beta _ {n}} - { delta _ {i}}}} {1 + e ^ {{ бета _ {n}} - { delta _ {i}}}}},}$

куда ${ displaystyle beta _ {n}}$ это способность человека ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle delta _ {я}}$ сложность предмета ${ displaystyle i}$. Таким образом, в случае дихотомической задачи достижения, ${ Displaystyle Pr {X_ {ni} = 1 }}$ это вероятность успеха при взаимодействии между соответствующим лицом и предметом оценки. Нетрудно показать, что журнал шансы, или же логит, правильного ответа человека на предмет, исходя из модели, равно ${ displaystyle beta _ {n} - delta _ {i}}$. Даны два испытуемых с разными параметрами способностей ${ displaystyle beta _ {1}}$ и ${ displaystyle beta _ {2}}$ и произвольный предмет с трудом ${ displaystyle delta _ {я}}$, вычислите разницу в логитах для этих двух испытуемых, ${ displaystyle ( beta _ {1} - delta _ {i}) - ( beta _ {2} - delta _ {i})}$. Эта разница становится ${ displaystyle beta _ {1} - beta _ {2}}$. И наоборот, можно показать, что логарифмические шансы правильного ответа одного и того же человека на один элемент, условный при правильном ответе на один из двух элементов, равно разнице между местоположениями элементов. Например,

${ displaystyle operatorname {log-odds} {X_ {n1} = 1 mid r_ {n} = 1 } = delta _ {2} - delta _ {1}, ,}$

куда ${ displaystyle r_ {n}}$ это общая оценка человека п по двум пунктам, что подразумевает правильный ответ на тот или иной пункт.^[1][13][14] Следовательно, условные логарифмические шансы не включают параметр человека. ${ displaystyle beta _ {n}}$, что, следовательно, может быть устранен обусловив общий балл ${ displaystyle r_ {n} = 1}$. То есть, разделив ответы по необработанным оценкам и вычислив логарифмические шансы правильного ответа, оценка ${ displaystyle delta _ {2} - delta _ {1}}$ получается без участия ${ displaystyle beta _ {n}}$. В более общем плане, ряд параметров элемента можно оценивать итеративно посредством применения такого процесса, как оценка условного максимального правдоподобия (см. Оценка модели Раша ). В таких оценках применяется тот же фундаментальный принцип, хотя и более сложный.

Рисунок 4: ICC для модели Раша, показывающее сравнение наблюдаемых и ожидаемых пропорций с учетом пяти интервалов классов людей

ICC модели Раша для дихотомических данных показан на рисунке 4. Серая линия отображает вероятность дискретного результата. ${ displaystyle X_ {ni} = 1}$ (то есть правильно ответив на вопрос) для лиц с разным расположением в латентном континууме (то есть их уровнем способностей). Местонахождение предмета - это, по определению, то место, в котором вероятность того, что ${ displaystyle X_ {ni} = 1}$ равно 0,5. На рисунке 4 черные кружки представляют собой фактические или наблюдаемые пропорции людей в рамках интервалов между классами, для которых наблюдался результат. Например, в случае предмета оценки, используемого в контексте образовательная психология, они могут представлять долю людей, которые правильно ответили на вопрос. Людей упорядочивают по оценкам их местоположения в скрытом континууме и на этой основе классифицируют по интервалам классов, чтобы графически проверить соответствие наблюдений модели. Наблюдается близкое соответствие данных модели. Помимо графического анализа данных, ряд статистический тесты соответствия используются для оценки того, можно ли отнести отклонения наблюдений от модели к случайный только эффекты, если требуется, или есть ли систематические отклонения от модели.

Политомические расширения модели Раша

Существует несколько политомических расширений модели Раша, которые обобщают дихотомическую модель, чтобы ее можно было применять в контекстах, в которых последовательные целые числа представляют категории возрастающего уровня или величины скрытой черты, таких как повышение способности, двигательной функции, одобрения заявление и т. д. Эти политомические расширения применимы, например, к использованию шкал Лайкерта, выставлению оценок в образовательной оценке и оценке выступлений судьями.

Прочие соображения

Критика модели Раша состоит в том, что она является чрезмерно ограничивающей или предписывающей, потому что предположение модели состоит в том, что все элементы имеют одинаковую дискриминацию, тогда как на практике различия элементов различаются, и, таким образом, ни один набор данных никогда не покажет идеального соответствия модели данных. Частое заблуждение состоит в том, что модель Раша не позволяет каждому элементу иметь различную дискриминацию, но равное различение является предположением инвариантного измерения, поэтому различие в различении элементов не запрещено, а скорее указывает, что качество измерения не соответствует теоретическому идеалу. Как и в случае с физическими измерениями, наборы данных реального мира никогда не будут полностью соответствовать теоретическим моделям, поэтому актуальный вопрос заключается в том, обеспечивает ли конкретный набор данных достаточное качество измерения для поставленной цели, а не в том, полностью ли он соответствует недостижимому стандарту совершенства.

Критика, характерная для использования модели Раша с данными ответа от элементов с множественным выбором, заключается в том, что в модели нет возможности угадывать, потому что левая асимптота всегда приближается к нулевой вероятности в модели Раша. Это означает, что человек с низкими способностями всегда будет неправильно брать предмет. Однако люди с низкими способностями, сдавшие экзамен с несколькими вариантами ответов, имеют значительно более высокую вероятность выбора правильного ответа случайно (для k-опция, вероятность около 1 /k).

Трехпараметрическая логистическая модель ослабляет оба этих предположения, а двухпараметрическая логистическая модель позволяет варьировать наклоны.^[15] Однако спецификация равномерного различения и нулевой левой асимптоты являются необходимыми свойствами модели для поддержания достаточности простой невзвешенной исходной оценки. На практике ненулевая нижняя асимптота, найденная в наборах данных с множественным выбором, представляет меньшую угрозу для измерения, чем обычно предполагается, и обычно не приводит к существенным ошибкам в измерениях, когда хорошо разработанные элементы тестирования используются разумно. ^[16]

Verhelst & Glas (1995) выводят уравнения условного максимального правдоподобия (CML) для модели, которую они называют Однопараметрической логистической моделью (OPLM). В алгебраической форме он выглядит идентичным модели 2PL, но OPLM содержит предустановленные индексы дискриминации, а не предполагаемые параметры дискриминации 2PL. Однако, как отмечают эти авторы, проблема, с которой приходится сталкиваться при оценке с помощью предполагаемых параметров дискриминации, заключается в том, что различия неизвестны, а это означает, что взвешенная необработанная оценка «не является простой статистикой, и, следовательно, невозможно использовать CML в качестве метода оценки. "(Verhelst & Glas, 1995, стр. 217). То есть, достаточность взвешенного «балла» в 2PL не может использоваться в соответствии с тем, как достаточная статистика определено. Если веса рассчитываются условно, а не оцениваются, как в OPLM, возможна условная оценка и сохраняются некоторые свойства модели Раша (Verhelst, Glas & Verstralen, 1995; Verhelst & Glas, 1995). В OPLM значения индекса дискриминации ограничены диапазоном от 1 до 15. Ограничение этого подхода состоит в том, что на практике значения индексов дискриминации должны быть предварительно установлены в качестве отправной точки. Это означает, что используется некоторый тип оценки дискриминации, когда цель состоит в том, чтобы этого избежать.

Модель Раша для дихотомических данных по своей сути влечет за собой единственный параметр дискриминации, который, как отметил Раш,^[1]:121 представляет собой произвольный выбор единица измерения в терминах которых выражаются или оцениваются величины скрытого признака. Однако модель Раша требует, чтобы дискриминация была равномерной по взаимодействия между людьми и предметами в определенной системе отсчета (т. е. в контексте оценки с учетом условий оценки).

Применение модели предоставляет диагностическую информацию о том, насколько хорошо выполняется критерий. Применение модели может также предоставить информацию о том, насколько хорошо элементы или вопросы оценивания работают для измерения способностей или черт. Например, зная долю людей, которые проявляют определенное поведение, модель Раша можно использовать для вывода отношений между сложность поведения, отношения и поведение.^[17] Выдающиеся сторонники моделей Раша: Бенджамин Дрейк Райт, Дэвид Андрич и Эрлинг Андерсен.

Смотрите также

• Шкала моккена
• Шкала Гуттмана

дальнейшее чтение

• Алагумалай, С., Кертис, Д.Д. И Хунги, Н. (2005). Прикладное измерение Раша: книга образцов. Springer-Kluwer.
• Андрич, Д. (1978a). Формулировка рейтинга для упорядоченных категорий ответов. Психометрика, 43, 357–74.
• Андрич, Д. (1988). Модели Раша для измерения. Беверли-Хиллз: Sage Publications.
• Андрич, Д. (2004). Противоречие и модель Раша: характеристика несовместимых парадигм? Медицинская помощь, 42, 1–16.
• Бейкер, Ф. (2001). Основы теории ответов на вопросы. Информационный центр ERIC по оценке и оценке, Мэрилендский университет, Колледж-Парк, Мэриленд. Доступно бесплатно с ПО, включенным в IRT на Edres.org
• Безручко Н. (Ред.). (2005). Измерение Раша в науках о здоровье. Кленовая роща, Миннесота: JAM Press.
• Бонд, Т. И Фокс, К. (2007). Применение модели Раша: фундаментальные измерения в гуманитарных науках. 2nd Edn (включает программное обеспечение Rasch на компакт-диске). Лоуренс Эрльбаум.
• Бурро, Р. (2016). Чтобы быть объективным в экспериментальной феноменологии: приложение психофизики. SpringerPlus, 5 (1), 1720 г. DOI: 10.1186 / s40064-016-3418-4
• Фишер, Г. И Molenaar, I.W. (1995). Модели Раша: основы, последние разработки и приложения. Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Фишер, У. П., младший, и Райт, Б. Д. (ред.). (1994). Приложения вероятностного совместного измерения. Международный журнал исследований в области образования, 21(6), 557–664.
• Goldstein H & Blinkhorn.S (1977). Мониторинг образовательных стандартов: неподходящая модель. . Bull.Br.Psychol.Soc. 30 309–311
• Goldstein H & Blinkhorn.S (1982). Модель Раша все еще не подходит. . BERJ 82 167–170.
• Хэмблтон РК, Джонс RW. «Сравнение классической теории тестирования и ответов на вопросы», Образовательные измерения: проблемы и практика 1993; 12 (3): 38–47. доступны в серии ITEMS от Национальный совет по измерениям в образовании
• Харрис Д. Сравнение 1-, 2- и 3-параметрических моделей IRT. Образовательные измерения: проблемы и практика ;. 1989; 8: 35–41, доступный в серии ITEMS из Национальный совет по измерениям в образовании
• Кун, Т. (1961). Функция измерения в современной физической науке. ИГИЛ, 52, 161–193. JSTOR
• Линакр, Дж. М. (1999). «Понимание измерения Раша: методы оценки для мер Раша». Журнал оценки результатов. 3 (4): 382–405. PMID  10572388.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Мастерс, Г. Н., Кивз, Дж. П. (ред.). (1999). Достижения в области измерения в образовательных исследованиях и оценке. Нью-Йорк: Пергамон.
• Verhelst, N.D., Glas, C.A.W. (1995). Логистическая модель с одним параметром. В G.H. Фишер и И. В. Моленаар (ред.), Модели Раша: основы, недавние разработки и приложения (стр. 215–238). Нью-Йорк: Springer Verlag.
• Verhelst, N.D., Glas, C.A.W. и Verstralen, H.H.F.M. (1995). Однопараметрическая логистическая модель (OPLM). Арнем: ЦИТО.
• фон Давье, М., и Карстенсен, К. Х. (2007). Многовариантные и смешанные модели Раша: расширения и приложения. Нью-Йорк: Спрингер.
• Райт, Б. Д. (1984). Отчаяние и надежда на образовательное измерение. Обзор современного образования, 3(1), 281-288 [1].
• Райт, Б. Д. (1999). Фундаментальное измерение для психологии. В S.E. Embretson & S.L. Hershberger (Eds.), Новые правила измерения: что должен знать каждый педагог и психолог (стр. 65–104. Хиллсдейл, Нью-Джерси: Lawrence Erlbaum Associates.
• Райт, Б.Д. и Стоун, М. (1979). Лучший дизайн теста. Чикаго, Иллинойс: MESA Press.
• Ву М. и Адамс Р. (2007). Применение модели Раша к психосоциальным измерениям: практический подход. Мельбурн, Австралия: Образовательные измерительные решения. Доступно бесплатно с Образовательные измерительные решения

Рекомендации

внешняя ссылка

• Интернет-ресурсы Института объективных измерений Rasch
• Лаборатория психометрии Пирсона, с информацией о моделях Раша
• Журнал прикладных измерений
• Journal of Outcome Measurement (все выпуски доступны для бесплатного скачивания)
• Berkeley Evaluation & Assessment Research Center (программное обеспечение ConstructMap)
• Каталог программного обеспечения Rasch - платное и бесплатное ПО
• Лаборатория моделирования IRT в Урбане чемп. Иллинойс.
• Национальный совет по измерениям в образовании (NCME)
• Анализ Раша
• Сделки по измерениям Раша
• Стандарты педагогического и психологического тестирования
• Проблема с Рашем