Рациональное движение - Rational motion

В кинематика, движение жесткое тело определяется как непрерывный набор перемещений. Однопараметрические движения можно определить как непрерывное перемещение движущегося объекта относительно фиксированной системы отсчета в трехмерном евклидовом пространстве (E³), где смещение зависит от одного параметра, чаще всего определяемого как время.

Рациональные движения определены рациональные функции (соотношение двух полиномиальные функции ) времени. Они производят рациональные траектории, и поэтому они хорошо интегрируются с существующими NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) на основе отраслевого стандарта CAD / CAM системы. Они легко поддаются применению существующих компьютерный геометрический дизайн (CAGD) алгоритмы. Объединив кинематику движений твердого тела с геометрией NURBS кривые и поверхности, разработаны методы для системы автоматизированного проектирования рациональных движений.

Эти методы САПР для проектирования движения находят применение в анимация в компьютерной графике (ключевой кадр интерполяция ), планирование траектории в робототехника (интерполяция позиции обучения), пространственная навигация в виртуальная реальность, компьютерное геометрическое моделирование движения с помощью интерактивной интерполяции, ЧПУ планирование траектории инструмента, и спецификацию задачи в синтез механизма.

Фон

Было проведено множество исследований по применению принципов автоматизированного геометрического проектирования (CAGD) к проблеме автоматизированного проектирования движений. В последние годы было хорошо установлено, что рациональный Безье и рациональный B-шлиц схемы представления кривых можно комбинировать с двойной кватернион представление ^[1] из пространственные перемещения для получения рациональных движений Безье и B-сплайнов. Ге и Равани,^[2]^[3] разработал новую основу для геометрических построений пространственных движений, объединив концепции кинематики и CAGD. Их работа была построена на основополагающей статье Шумейка,^[4] в котором он использовал понятие кватернион ^[5] за вращение интерполяция. Подробный список литературы по этой теме можно найти в ^[6] и.^[7]

Рациональные движения Безье и B-сплайны

Позволять ${displaystyle {hat {extbf {q}}} = {extbf {q}} + varepsilon {extbf {q}} ^ {0}}$ обозначают единичный двойственный кватернион. Однородный дуальный кватернион можно записать как пару кватернионов, ${displaystyle {hat {extbf {Q}}} = {extbf {Q}} + varepsilon {extbf {Q}} ^ {0}}$ ; куда ${displaystyle {extbf {Q}} = w {extbf {q}}, {extbf {Q}} ^ {0} = w {extbf {q}} ^ {0} + w ^ {0} {extbf {q} }}$ . Это достигается за счет расширения ${displaystyle {hat {extbf {Q}}} = {hat {w}} {hat {extbf {q}}}}$ с помощьюдвойной номер алгебра (здесь, ${displaystyle {hat {w}} = w + varepsilon w ^ {0}}$ ).

В терминах двойных кватернионов и однородные координаты точки ${displaystyle {extbf {P}} :( P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4})}$ объекта уравнение преобразования кватернионов имеет вид

${displaystyle {ilde {extbf {P}}} = {extbf {Q}} {extbf {P}} {extbf {Q}} ^ {ast} + P_ {4} [({extbf {Q}} ^ {0 }) {extbf {Q}} ^ {ast} - {extbf {Q}} ({extbf {Q}} ^ {0}) ^ {ast}],}$ куда ${displaystyle {extbf {Q}} ^ {ast}}$ и ${displaystyle ({extbf {Q}} ^ {0}) ^ {ast}}$ являются конъюгатами ${displaystyle {extbf {Q}}}$ и ${displaystyle {extbf {Q}} ^ {0}}$ соответственно и ${displaystyle {ilde {extbf {P}}}}$ обозначает однородные координаты точки после смещения.^[7]

Учитывая набор единичных двойных кватернионов и двойных весов ${displaystyle {hat {extbf {q}}} _ {i}, {hat {w}} _ {i}; i = 0 ... n}$ соответственно, следующее представляет собой рациональную кривую Безье в пространстве двойных кватернионов.

${displaystyle {hat {extbf {Q}}} (t) = ограничения суммы _ {i = 0} ^ {n} {B_ {i} ^ {n} (t) {hat {extbf {Q}}} _ { i}} = предельная сумма _ {i = 0} ^ {n} {B_ {i} ^ {n} (t) {hat {w}} _ {i} {hat {extbf {q}}} _ {i }}}$

куда ${displaystyle B_ {i} ^ {n} (t)}$ - многочлены Бернштейна. Двойственная кватернионная кривая Безье, заданная уравнением выше, определяет рациональное движение Безье степени ${displaystyle 2n}$ .

Точно так же двойная кватернионная кривая B-сплайна, которая определяет NURBS-движение степени 2п, дан кем-то,

{displaystyle {hat {extbf {Q}}} (t) = ограничения суммы _ {i = 0} ^ {n} {N_ {i, p} (t) {hat {extbf {Q}}} _ {i} } = сумма ограничений _ {i = 0} ^ {n} {N_ {i, p} (t) {hat {w}} _ {i} {hat {extbf {q}}} _ {i}}}

куда ${displaystyle N_ {i, p} (t)}$ являются пБазисные функции B-сплайна й степени.

Представление для рационального движения Безье и рационального движения B-сплайна в декартовом пространстве может быть получено путем замены любого из двух предыдущих выражений для ${displaystyle {hat {extbf {Q}}} (t)}$ в уравнении точечного преобразования. В дальнейшем мы будем иметь дело со случаем рационального движения Безье. Траектория точки, совершающей рациональное движение Безье, задается формулой

{displaystyle {ilde {extbf {P}}} ^ {2n} (t) = [H ^ {2n} (t)] {extbf {P}},}

{displaystyle H ^ {2n} (t)] = пределы суммы _ {k = 0} ^ {2n} {B_ {k} ^ {2n} (t) [H_ {k}]},}

куда ${displaystyle [H ^ {2n} (t)]}$ - матричное представление рационального движения Безье степени ${displaystyle 2n}$ в декартовом пространстве. Следующие матрицы ${displaystyle [H_ {k}]}$ (также называемые контрольными матрицами Безье) определяют аффинная управляющая структура движения:

{displaystyle [H_ {k}] = {frac {1} {C_ {k} ^ {2n}}} ограничения суммы _ {i + j = k} {C_ {i} ^ {n} C_ {j} ^ { n} w_ {i} w_ {j} [H_ {ij} ^ {ast}]},}

куда ${displaystyle [H_ {ij} ^ {ast}] = [H_ {i} ^ {+}] [H_ {j} ^ {-}] + [H_ {j} ^ {-}] [H_ {i} ^ {0 +}] - [H_ {i} ^ {+}] [H_ {j} ^ {0 -}] + (alpha _ {i} -alpha _ {j}) [H_ {j} ^ {-} ] [Q_ {i} ^ {+}]}$ .

В приведенных выше уравнениях ${displaystyle C_ {i} ^ {n}}$ и ${displaystyle C_ {j} ^ {n}}$ - биномиальные коэффициенты и ${displaystyle alpha _ {i} = w_ {i} ^ {0} / w_ {i}, alpha _ {j} = w_ {j} ^ {0} / w_ {j}}$ весовые отношения и

{displaystyle [H_ {j} ^ {-}] = left [{egin {array} {rrrr} q_ {j, 4} & - q_ {j, 3} & q_ {j, 2} & - q_ {j, 1 } q_ {j, 3} & q_ {j, 4} & - q_ {j, 1} & - q_ {j, 2} - q_ {j, 2} & q_ {j, 1} & q_ {j, 4} & -q_ {j, 3} q_ {j, 1} & q_ {j, 2} & q_ {j, 3} & q_ {j, 4} end {array}} ight],}

{displaystyle [Q_ {i} ^ {+}] = left [{egin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 1} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 2} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 3} 0 & 0 & 0 & 0 & q_ {i, 4} end {array}} ight],}

{displaystyle [H_ {i} ^ {0 +}] = left [{egin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 1} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 2} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 3} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {i, 4} ^ {0} end {array}} ight],}

{displaystyle [H_ {j} ^ {0 -}] = left [{egin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & -q_ {j, 1} ^ {0} 0 & 0 & 0 & -q_ {j, 2} ^ {0} 0 & 0 & 0 & -q_ {j, 3} ^ {0} 0 & 0 & 0 & q_ {j, 4} ^ {0} end {array}} ight],}

{displaystyle [H_ {i} ^ {+}] = left [{egin {array} {rrrr} q_ {i, 4} & - q_ {i, 3} & q_ {i, 2} & q_ {i, 1} q_ {i, 3} & q_ {i, 4} & - q_ {i, 1} & q_ {i, 2} - q_ {i, 2} & q_ {i, 1} & q_ {i, 4} & q_ {i, 3} - q_ {i, 1} & - q_ {i, 2} & - q_ {i, 3} & q_ {i, 4} end {array}} ight].}

В приведенных выше матрицах ${displaystyle (q_ {i, 1}, q_ {i, 2}, q_ {i, 3}, q_ {i, 4})}$ четыре компонента реальной части ${displaystyle ({extbf {q}} _ {i})}$ и ${displaystyle (q_ {i, 1} ^ {0}, q_ {i, 2} ^ {0}, q_ {i, 3} ^ {0}, q_ {i, 4} ^ {0})}$ четыре компонента двойной части ${displaystyle ({extbf {q}} _ {i} ^ {0})}$ двойного кватерниона ${displaystyle ({шляпа {extbf {q}}} _ {i})}$ .