Правильный сложный многоугольник - Regular complex polygon

Три вида правильный сложный многоугольник ₄{4}₂,

Этот сложный многоугольник имеет 8 ребер (сложных линий), обозначенных как а..час, и 16 вершин. Четыре вершины лежат в каждом ребре, и два ребра пересекаются в каждой вершине. На левом изображении очерченные квадраты не являются элементами многогранника, а включены только для того, чтобы помочь идентифицировать вершины, лежащие в одной и той же сложной линии. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, но является многоугольник петри.[1] На среднем изображении каждое ребро представлено как реальная линия, и четыре вершины в каждой линии видны более четко.

Перспективный набросок, представляющий 16 вершин в виде больших черных точек и 8 четырехугольников в виде ограниченных квадратов внутри каждого края. Зеленый путь представляет собой восьмиугольный периметр левого изображения.

Сложные 1-многогранники, представленные в Самолет Арганд как правильные многоугольники для п = 2, 3, 4, 5 и 6 с черными вершинами. Центроид п вершины показаны красным цветом. Стороны многоугольников представляют собой одно приложение генератора симметрии, сопоставляя каждую вершину со следующей копией против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются краевыми элементами многогранника, так как сложный 1-многогранник не может иметь ребер (часто является сложное ребро) и содержит только вершинные элементы.

В геометрия, а правильный сложный многоугольник является обобщением правильный многоугольник в реальное пространство к аналогичной структуре в сложный Гильбертово пространство, где каждое действительное измерение сопровождается воображаемый один. Правильный многоугольник существует в двух реальных измерениях, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, в то время как сложный многоугольник существует в двух сложных измерениях, ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$, которым можно дать реальные представления в 4-х измерениях, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$, которые затем должны быть спроецированы до 2 или 3 реальных измерений для визуализации. А сложный многоугольник обобщается как сложный многогранник в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$.

Сложный многоугольник можно понимать как совокупность сложных точек, линий, плоскостей и т. Д., Где каждая точка представляет собой соединение нескольких линий, каждая линия - нескольких плоскостей и т. Д.

В правильные сложные многоугольники были полностью охарактеризованы и могут быть описаны с помощью символической записи, разработанной Coxeter.

Правильные сложные многоугольники

В то время как 1-многогранники могут иметь неограниченное количество п, конечные правильные комплексные многоугольники, исключая многоугольники двойной призмы _п{4}₂, ограничены 5-гранными (пятиугольными ребрами) элементами, а бесконечные регулярные апериогоны также включают 6-гранные (шестиугольные ребра) элементы.

Обозначения

Модифицированная нотация Шлефли Шепарда

Шепард первоначально разработал модифицированную форму Обозначения Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного п₁-ребра, с п₂-набор как фигура вершины и общая группа симметрии порядка грамм, обозначим многоугольник как п₁(грамм)п₂.

Количество вершин V затем грамм/п₂ и количество ребер E является грамм/п₁.

Сложный многоугольник, показанный выше, имеет восемь квадратных ребер (п₁= 4) и шестнадцать вершин (п₂= 2). Из этого мы можем понять, что грамм = 32, что дает модифицированный символ Шлефли 4 (32) 2.

Пересмотренная модифицированная нотация Шлефли Кокстера

Более современные обозначения _п1{q}_п2 связано с Coxeter,^[2] и основан на теории групп. Как группа симметрии, ее символ: _п1[q]_п2.

Группа симметрии _п1[q]_п2 представлен двумя образующими R₁, Р₂, где: R₁^п₁ = R₂^п₂ = I. Если q четно, (R₂р₁)^q/2 = (R₁р₂)^q/2. Если q нечетно, (R₂р₁)^(q−1)/2р₂ = (R₁р₂)^(q−1)/2р₁. Когда q странно, п₁=п₂.

За ₄[4]₂ имеет R₁⁴ = R₂² = I, (R₂р₁)² = (R₁р₂)².

За ₃[5]₃ имеет R₁³ = R₂³ = I, (R₂р₁)²р₂ = (R₁р₂)²р₁.

Диаграммы Кокстера – Дынкина

Коксетер также обобщил использование Диаграммы Кокстера – Дынкина сложным многогранникам, например сложному многоугольнику _п{q}_р представлен и эквивалентная группа симметрии, _п[q]_р, является диаграммой без колец . Узлы п и р представляют собой зеркала, производящие п и р изображения в самолете. Узлы без меток на диаграмме имеют неявные 2 метки. Например, настоящий правильный многоугольник является ₂{q}₂ или же {q} или .

Одно ограничение: узлы, соединенные нечетными порядками ветвлений, должны иметь одинаковые порядки узлов. В противном случае группа создаст "звездные" многоугольники с перекрывающимися элементами. Так и обычные, а звездный.

12 неприводимых групп Шепарда

12 неприводимых групп Шепарда с их отношениями индексов подгрупп.[3]	Подгруппы из <5,3,2>30, <4,3,2>12 и <3,3,2>6
Подгруппы связаны удалением одного отражения: п[2q]2 --> п[q]п, индекс 2 и п[4]q --> п[q]п, индекс q.

_п[4]₂ подгруппы: p = 2,3,4 ...
_п[4]₂ --> [п], индекс п
_п[4]₂ --> _п[]×_п[], индекс 2

Кокстер перечислил этот список правильных сложных многоугольников в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$. Правильный сложный многоугольник, _п{q}_р или , имеет п-ребра и р-гональный фигуры вершин. _п{q}_р является конечным многогранником, если (п + р)q > пр(q − 2).

Его симметрия записывается как _п[q]_р, называется Группа Шепард, аналогично Группа Кокстера, а также позволяя унитарные отражения.

Для незвездных групп порядок группы _п[q]_р можно вычислить как ${ displaystyle g = 8 / q cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}$.^[4]

В Число Кокстера за _п[q]_р является ${ Displaystyle ч = 2 / (1 / р + 2 / д + 1 / г-1)}$, поэтому групповой порядок также можно вычислить как ${ displaystyle g = 2h ^ {2} / q}$. Правильный комплексный многоугольник можно нарисовать в ортогональной проекции с помощью час-угольная симметрия.

Решения ранга 2, которые генерируют сложные многоугольники:

Группа	г3 = G (q,1,1)	г2 = G (п,1,2)	г4	г6	г5	г8	г14	г9	г10	г20	г16	г21	г17	г18
	2[q]2, q = 3,4...	п[4]2, п = 2,3...	3[3]3	3[6]2	3[4]3	4[3]4	3[8]2	4[6]2	4[4]3	3[5]3	5[3]5	3[10]2	5[6]2	5[4]3
порядок	2q	2п2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
час	q	2п	6	12			24			30		60

Исключенные решения с нечетным q и неравный п и р находятся: ₆[3]₂, ₆[3]₃, ₉[3]₃, ₁₂[3]₃, ..., ₅[5]₂, ₆[5]₂, ₈[5]₂, ₉[5]₂, ₄[7]₂, ₉[5]₂, ₃[9]₂, и ₃[11]₂.

Другое целое q с неравным п и р, создайте звездные группы с перекрывающимися фундаментальными доменами: , , , , , и .

Двойственный многоугольник _п{q}_р является _р{q}_п. Многоугольник формы _п{q}_п самодвойственен. Группы формы _п[2q]₂ иметь полусимметрию _п[q]_п, поэтому правильный многоугольник то же самое, что и квазирегулярный . А также правильный многоугольник с таким же порядком узлов, , есть чередовались строительство , позволяя смежным краям быть двух разных цветов.^[5]

Групповой порядок, грамм, используется для вычисления общего количества вершин и ребер. Это будет иметь грамм/р вершины и грамм/п края. Когда п=р, количество вершин и ребер равно. Это условие требуется, когда q странно.

Генераторы матриц

Группа п[q]р, , могут быть представлены двумя матрицами:^[6]

имя	р1	р2
порядок	п	р
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 (e ^ {2 pi i / p} -1) k & 1 end {smallmatrix}} right ]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & (e ^ {2 pi i / r} -1) k 0 & e ^ {2 pi i / r} end {smallmatrix}} right]}$

С участием

${ displaystyle k = { sqrt { frac { cos ({ frac { pi} {p}} - { frac { pi} {r}}) + cos ({ frac {2 pi } {q}})} {2 sin { frac { pi} {p}} sin { frac { pi} {r}}}}}}$

Примеры

имя р1 р2 порядок п q Матрица ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {2 pi i / q} end {smallmatrix}} right]}$	имя р1 р2 порядок п 2 Матрица ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	имя р1 р2 порядок 3 3 Матрица ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} & 0 { frac {-3 + { sqrt {3}} i } {2}} & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & { frac {-3 + { sqrt {3}} i} {2}} 0 & { frac {-1 + { sqrt {3}}] i} {2}} конец {smallmatrix}} right]}$
имя р1 р2 порядок 4 4 Матрица ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} i & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & i end {smallmatrix}} right]}$	имя р1 р2 порядок 4 2 Матрица ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} i & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$	имя р1 р2 порядок 3 2 Матрица ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} & 0 { frac {-3 + { sqrt {3}} i } {2}} & 1 end {smallmatrix}} right]}$ ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & -2 0 & -1 end {smallmatrix}} right]}$

Перечисление правильных сложных многоугольников

Коксетер перечислил сложные многоугольники в Таблице III регулярных сложных многогранников.^[7]

Группа	порядок	Coxeter количество	Многоугольник		Вершины	Края		Примечания
г(q,q,2) 2[q]2 = [q] q = 2,3,4,...	2q	q	2{q}2		q	q	{}	Настоящий правильные многоугольники Такой же как Такой же как если q даже

Группа	порядок	Coxeter количество	Многоугольник			Вершины	Края		Примечания
ГРАММ(п,1,2) п[4]2 р = 2,3,4, ...	2п2	2п	п(2п2)2	п{4}2		п2	2п	п{}	такой же как п{}×п{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как п-п дуопризма
			2(2п2)п	2{4}п		2п	п2	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как п-п дуопирамида
G (2,1,2) 2[4]2 = [4]	8	4		2{4}2 = {4}		4	4	{}	то же, что {} × {} или Настоящая площадь
G (3,1,2) 3[4]2	18	6	6(18)2	3{4}2		9	6	3{}	такой же как 3{}×3{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 3-3 дуопризма
			2(18)3	2{4}3		6	9	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 3-3 дуопирамида
G (4,1,2) 4[4]2	32	8	8(32)2	4{4}2		16	8	4{}	такой же как 4{}×4{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление в виде 4-4 дуопризмы или {4,3,3}
			2(32)4	2{4}4		8	16	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 4-4 дуопирамиды или {3,3,4}
G (5,1,2) 5[4]2	50	25	5(50)2	5{4}2		25	10	5{}	такой же как 5{}×5{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 5-5 дуопризма
			2(50)5	2{4}5		10	25	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 5-5 дуопирамид
G (6,1,2) 6[4]2	72	36	6(72)2	6{4}2		36	12	6{}	такой же как 6{}×6{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 6-6 дуопризма
			2(72)6	2{4}6		12	36	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 6-6 дуопирамид
г4= G (1,1,2) 3[3]3 <2,3,3>	24	6	3(24)3	3{3}3		8	8	3{}	Конфигурация Мебиуса – Кантора самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,3,4}
г6 3[6]2	48	12	3(48)2	3{6}2		24	16	3{}	такой же как
				3{3}2					звездный многоугольник
			2(48)3	2{6}3		16	24	{}
				2{3}3					звездный многоугольник
г5 3[4]3	72	12	3(72)3	3{4}3		24	24	3{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,4,3}
г8 4[3]4	96	12	4(96)4	4{3}4		24	24	4{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,4,3}
г14 3[8]2	144	24	3(144)2	3{8}2		72	48	3{}	такой же как
				3{8/3}2					звездный многоугольник, такой же, как
			2(144)3	2{8}3		48	72	{}
				2{8/3}3					звездный многоугольник
г9 4[6]2	192	24	4(192)2	4{6}2		96	48	4{}	такой же как
			2(192)4	2{6}4		48	96	{}
				4{3}2		96	48	{}	звездный многоугольник
				2{3}4		48	96	{}	звездный многоугольник
г10 4[4]3	288	24	4(288)3	4{4}3		96	72	4{}
		12		4{8/3}3					звездный многоугольник
		24	3(288)4	3{4}4		72	96	3{}
		12		3{8/3}4					звездный многоугольник
г20 3[5]3	360	30	3(360)3	3{5}3		120	120	3{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,3,5}
				3{5/2}3					самодвойственный, звездный многоугольник
г16 5[3]5	600	30	5(600)5	5{3}5		120	120	5{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,3,5}
		10		5{5/2}5					самодвойственный, звездный многоугольник
г21 3[10]2	720	60	3(720)2	3{10}2		360	240	3{}	такой же как
				3{5}2					звездный многоугольник
				3{10/3}2					звездный многоугольник, такой же, как
				3{5/2}2					звездный многоугольник
			2(720)3	2{10}3		240	360	{}
				2{5}3					звездный многоугольник
				2{10/3}3					звездный многоугольник
				2{5/2}3					звездный многоугольник
г17 5[6]2	1200	60	5(1200)2	5{6}2		600	240	5{}	такой же как
		20		5{5}2					звездный многоугольник
		20		5{10/3}2					звездный многоугольник
		60		5{3}2					звездный многоугольник
		60	2(1200)5	2{6}5		240	600	{}
		20		2{5}5					звездный многоугольник
		20		2{10/3}5					звездный многоугольник
		60		2{3}5					звездный многоугольник
г18 5[4]3	1800	60	5(1800)3	5{4}3		600	360	5{}
		15		5{10/3}3					звездный многоугольник
		30		5{3}3					звездный многоугольник
		30		5{5/2}3					звездный многоугольник
		60	3(1800)5	3{4}5		360	600	3{}
		15		3{10/3}5					звездный многоугольник
		30		3{3}5					звездный многоугольник
		30		3{5/2}5					звездный многоугольник

Визуализации правильных сложных многоугольников

2D графики

Полигоны формы _п{2р}_q можно визуализировать q цветные наборы п-край. Каждый п-edge рассматривается как правильный многоугольник без граней.

Сложные полигоны ₂{р}_q

Полигоны формы ₂{4}_q называются обобщенными ортоплексы. У них общие вершины с 4D q-q дуопирамиды, вершины соединены 2-ребрами.

• 

  ₂{4}₂, , с 4 вершинами и 4 ребрами

• 

  ₂{4}₃, , с 6 вершинами и 9 ребрами^[8]

• 

  ₂{4}₄, , с 8 вершинами и 16 ребрами

• 

  ₂{4}₅, , с 10 вершинами и 25 ребрами

• 

  ₂{4}₆, , с 12 вершинами и 36 ребрами

• 

  ₂{4}₇, , с 14 вершинами и 49 ребрами

• 

  ₂{4}₈, , с 16 вершинами и 64 ребрами

• 

  ₂{4}₉, , с 18 вершинами и 81 ребром

• 

  ₂{4}₁₀, , с 20 вершинами и 100 ребрами

Сложные полигоны _п{4}₂

Полигоны формы _п{4}₂ называются обобщенными гиперкубы (квадраты для многоугольников). У них общие вершины с 4D п-п дуопризма, вершины соединены p-ребрами. Вершины нарисованы зеленым, а п-ребра нарисованы чередующимися цветами - красным и синим. Перспектива немного искажена для нечетных размеров, чтобы переместить перекрывающиеся вершины от центра.

• 

  ₂{4}₂, или , с 4 вершинами и 4 2-ребрами

• 

  ₃{4}₂, или , с 9 вершинами и 6 (треугольными) 3-ребрами^[9]

• 

  ₄{4}₂, или , с 16 вершинами и 8 (квадратными) 4-ребрами

• 

  ₅{4}₂, или , с 25 вершинами и 10 (пятиугольными) 5-гранями

• 

  ₆{4}₂, или , с 36 вершинами и 12 (шестиугольными) 6-гранями

• 

  ₇{4}₂, или , с 49 вершинами и 14 (семиугольными) 7-гранями

• 

  ₈{4}₂, или , с 64 вершинами и 16 (восьмиугольными) 8-гранями

• 

  ₉{4}₂, или , с 81 вершиной и 18 (эннеугольными) 9-гранями

• 

  ₁₀{4}₂, или , со 100 вершинами и 20 (десятиугольными) 10-гранями

Сложные полигоны _п{р}₂

• 

  ₃{6}₂, или , с 24 вершинами в черном цвете и 16 3-ребрами, раскрашенными в 2 наборах 3-ребер в красный и синий^[10]

• 

  ₃{8}₂, или , с 72 вершинами в черном цвете и 48 3-гранями, раскрашенными в 2 наборах 3-граней в красный и синий^[11]

Сложные полигоны, _п{р}_п

Полигоны формы _п{р}_п имеют равное количество вершин и ребер. Они также самодвойственны.

• 

  ₃{3}₃, или , с 8 вершинами в черном цвете и 8 3-гранями, раскрашенными в 2 наборах 3-граней в красный и синий^[12]

• 

  ₃{4}₃, или , с 24 вершинами и 24 3-ребрами, показанными в 3 наборах цветов, один набор заполнен^[13]

• 

  ₄{3}₄, или , с 24 вершинами и 24 4-ребрами, показанными в 4 наборах цветов^[14]

• 

  ₃{5}₃, или , со 120 вершинами и 120 3-ребрами^[15]

• 

  ₅{3}₅, или , со 120 вершинами и 120 5-ребрами^[16]

3D перспектива

3D перспектива проекции сложных многоугольников _п{4}₂ может отображать структуру точечного края сложного многоугольника, при этом масштаб не сохраняется.

Двойники ₂{4}_п: видны добавлением вершин внутри ребер и добавлением ребер вместо вершин.

• 

  ₂{4}₃, с 6 вершинами, 9 ребрами в 3 наборах

• 

  ₃{4}₂, с 9 вершинами, 6 3-ребрами в 2 наборах цветов как

• 

  ₄{4}₂, с 16 вершинами, 8 4-ребрами в 2 наборах цветов и 4-гранями с заливкой

• 

  ₅{4}₂, с 25 вершинами, 10 5-гранями в 2 наборах цветов как

Квазирегулярные многоугольники

А квазирегулярный многоугольник - это усечение правильного многоугольника. Квазирегулярный многоугольник содержит альтернативные ребра правильных многоугольников и . Квазирегулярный многоугольник имеет п вершины на p-ребрах правильной формы.

Пример квазирегулярных многоугольников

п[q]р	2[4]2	3[4]2	4[4]2	5[4]2	6[4]2	7[4]2	8[4]2	3[3]3	3[4]3
Обычный	4 2-кромки	9 3 кромки	16 4-граней	25 5-граней	36 6-граней	49 8-граней	64 8 кромок
Квазирегулярный	= 4 + 4 2 ребра	6 2-граней 9 3 кромки	8 2-гранный 16 4-граней	10 2-гранный 25 5-граней	12 2-гранный 36 6-граней	14 2-гранный 49 7-граней	16 2-граней 64 8 кромок	=	=
Обычный	4 2-кромки	6 2-граней	8 2-гранный	10 2-гранный	12 2-гранный	14 2-гранный	16 2-граней

Примечания

Рекомендации

• Кокстер, Х. С. М. и Moser, W.O.J .; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр 67–80.
• Кокстер, H.S.M. (1991), Регулярные сложные многогранники, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-39490-2
• Кокстер, Х. С. М. и Shephard, G.C .; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244,
• Shephard, G.C .; Правильные сложные многогранники, Proc. Лондонская математика. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
• Г. К. Шепард, Дж. А. Тодд, Конечные унитарные группы отражений, Канадский математический журнал. 6 (1954), 274–304 [1]^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Густав И. Лерер и Дональд Э. Тейлор, Унитарные группы отражений, Cambridge University Press, 2009 г.