Трюк с репликой - Википедия - Replica trick

в статистическая физика из спин-очки и другие системы с подавленный беспорядок, то трюк с репликой математический метод, основанный на применении формулы:

{ displaystyle ln Z = lim _ {n to 0} {Z ^ {n} -1 over n}}

или же

{ displaystyle ln Z = lim _ {n to 0} { frac { partial Z ^ {n}} { partial n}}}

куда ${ displaystyle Z}$ чаще всего функция распределения, или аналогичная термодинамическая функция.

Обычно он используется для упрощения расчета ${ Displaystyle { overline { ln Z}}}$ , сводя задачу к вычислению среднего значения беспорядка ${ displaystyle { overline {Z ^ {n}}}}$ куда ${ displaystyle n}$ считается целым числом. Это физически эквивалентно усреднению по ${ displaystyle n}$ копии или реплики системы, отсюда и название.

Суть трюка с репликой заключается в том, что при усреднении беспорядка предполагается, что ${ displaystyle n}$ чтобы быть целым числом, чтобы восстановить усредненный по беспорядку логарифм, нужно отправить ${ displaystyle n}$ непрерывно до нуля. Это очевидное противоречие, лежащее в основе трюка с репликами, никогда не было разрешено официально, однако во всех случаях, когда метод реплики можно сравнить с другими точными решениями, методы приводят к тем же результатам. (Чтобы доказать, что трюк с репликой работает, нужно доказать, что Теорема Карлсона выполняется, т. е. отношение ${ displaystyle (Z ^ {n} -1) / n}$ имеет экспоненциальный тип меньше, чем число Пи.)

Иногда возникает необходимость в дополнительном свойстве копия нарушение симметрии (RSB) с целью получения физических результатов, что связано с поломкой эргодичность.

Общая формулировка

Обычно он используется для вычислений с участием аналитические функции (может быть расширен в степенной ряд).

Расширять ${ displaystyle f (z)}$ используя его степенной ряд: в полномочия ${ displaystyle z}$ или другими словами реплики ${ displaystyle z}$ , и выполните те же вычисления, что и на ${ displaystyle f (z)}$ , используя полномочия ${ displaystyle z}$ .

Частный случай, который очень полезен в физике, - это усреднение термодинамическая свободная энергия

${ textstyle F = -k _ { rm {B}} T ln Z [J_ {ij}]}$ ,

по значениям ${ displaystyle J_ {ij}}$ с определенным распределением вероятностей, обычно гауссовым.^[1]

В функция распределения тогда дается

${ Displaystyle Z [J_ {ij}] sim e ^ {- beta J_ {ij}}}$ .

Обратите внимание: если бы мы вычисляли только ${ displaystyle Z [J_ {ij}]}$ (или, в более общем смысле, любая степень ${ displaystyle J_ {ij}}$ ), а не его логарифм, который мы хотели усреднить, итоговый интеграл (при условии гауссова распределения) равен

${ displaystyle int dJ_ {ij} e ^ {- beta J- alpha J ^ {2}}}$ ,

стандарт Гауссов интеграл который можно легко вычислить (например, завершив квадрат).

Чтобы вычислить свободную энергию, мы используем трюк с репликой:

{ displaystyle ln Z = lim _ {n to 0} { dfrac {Z ^ {n} -1} {n}}}

который сводит сложную задачу усреднения логарифма к решению относительно простого интеграла Гаусса, при условии

{ displaystyle n}

целое число.^[2]Уловка с репликой предполагает, что если

{ Displaystyle Z ^ {п}}

можно вычислить для всех положительных целых чисел

{ displaystyle n}

тогда этого может быть достаточно, чтобы разрешить ограничивающее поведение, поскольку

{ displaystyle n to 0}

быть рассчитанным.

Ясно, что такой аргумент ставит много математических вопросов, и в результате формализм для выполнения предела ${ displaystyle n to 0}$ обычно привносит много тонкостей.^[3]

Когда используешь теория среднего поля Для выполнения расчетов использование этого предела часто требует введения дополнительных параметров порядка, свойства, известного как 'нарушение симметрии реплики 'который тесно связан с нарушение эргодичности и медленная динамика в беспорядочных системах.

Физические приложения

Уловка реплики используется для определения основные состояния статистических механических систем, в приближение среднего поля. Обычно для систем, в которых легко определить основное состояние, можно анализировать флуктуации вблизи основного состояния. В противном случае используется метод реплики.^{[статьи о спиновых очках 1]} Примером может служить случай подавленный беспорядок в системе, подобной спин-стекло с различными типами магнитных связей между спинами, что приводит к множеству различных конфигураций спинов, имеющих одинаковую энергию.

В статистической физике систем с замороженным беспорядком любые два состояния с одинаковой реализацией беспорядка (или, в случае спиновых стекол, с одинаковым распределением ферромагнитных и антиферромагнитных связей) называются точными копиями друг друга.^{[статьи о спиновых очках 2]} Для систем с погашенным беспорядком обычно ожидается, что макроскопические величины будут самоусредняющийся, при этом любая макроскопическая величина для конкретной реализации беспорядка будет неотличима от той же величины, рассчитанной путем усреднения по всем возможным реализациям беспорядка. Введение реплик позволяет выполнить это среднее по различным реализациям беспорядка.

В случае спинового стекла мы ожидаем, что свободная энергия на спин (или любая самоусредняющаяся величина) в термодинамическом пределе не зависит от конкретных значений ферромагнитный и антиферромагнитный муфты между отдельными узлами, поперек решетки. Итак, мы явно находим свободную энергию как функцию параметра беспорядка (в данном случае параметры распределения ферромагнитных и антиферромагнитных связей) и усредняем свободную энергию по всем реализациям беспорядка (все значения связи между узлами, каждая с соответствующей вероятностью, заданной функцией распределения). Поскольку свободная энергия принимает форму:

${ Displaystyle F = { overline {F [J_ {ij}]}} = - k_ {B} T { overline { ln Z [J]}}}$

куда ${ displaystyle J_ {ij}}$ описывает беспорядок (для спиновых стекол - характер магнитного взаимодействия между каждым из отдельных узлов ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ ), и мы берем среднее значение по всем значениям муфт, описанных в ${ displaystyle J}$ , взвешенные с заданным распределением. Чтобы выполнить усреднение по функции логарифма, пригодится трюк с репликой, заключающийся в замене логарифма его предельной формой, упомянутой выше. В этом случае количество ${ Displaystyle Z ^ {п}}$ представляет собой совместную статистическую сумму ${ displaystyle n}$ идентичные системы.

REM: самая простая проблема с репликами

В модель случайной энергии (REM) - одна из простейших моделей статистической механики неупорядоченные системы, и, вероятно, самая простая модель, показывающая значение и силу трюка с копией на уровне 1 нарушение симметрии реплики. Модель особенно подходит для этого введения, потому что известен точный результат, полученный с помощью другой процедуры, и можно доказать, что трюк с копией работает, путем перекрестной проверки результатов.

Смотрите также

В полостной метод является альтернативным методом, часто более простым, чем метод реплик, для изучения неупорядоченных задач среднего поля. Он был разработан для работы с моделями на локальном древовидные графы.

Другой альтернативный метод - это суперсимметричный метод. Использование метода суперсимметрии обеспечивает математически строгую альтернативу трюку реплики, но только в невзаимодействующих системах. См. Например книгу: ^{[другие подходы 1]}

Также было продемонстрировано ^{[другие подходы 2]} что Келдышская техника обеспечивает жизнеспособную альтернативу подходу реплик.

Замечания

Вышеупомянутую идентичность легко понять через Расширение Тейлора:

{ displaystyle { begin {align} lim _ {n rightarrow 0} { dfrac {Z ^ {n} -1} {n}} & = lim _ {n rightarrow 0} { dfrac {e ^ {n ln Z} -1} {n}} & = lim _ {n rightarrow 0} { dfrac {n ln Z + {1 over 2!} (n ln Z) ^ { 2} + dots} {n}} & = ln Z ~~. End {align}}}