Остаточное пересечение - Residual intersection

В алгебраическая геометрия, проблема остаточное пересечение спрашивает следующее:

Учитывая подмножество Z на перекрестке ${ Displaystyle bigcap _ {я = 1} ^ {г} X_ {я}}$ разновидностей, понять дополнение Z на перекрестке; т.е. остаточный набор к Z.

Пересечение определяет класс ${ Displaystyle (X_ {1} cdots X_ {r})}$ , то продукт пересечения, в группе Чоу окружающего пространства, и в этой ситуации проблема состоит в том, чтобы понять класс, остаточный класс к Z:

{ displaystyle (X_ {1} cdots X_ {r}) - (X_ {1} cdots X_ {r}) ^ {Z}}

куда ${ displaystyle - ^ {Z}}$ означает часть, поддерживаемую на Z; классически степень поддерживаемой детали Z называется эквивалентность из Z.

Двумя основными приложениями являются решения задач перечислительной геометрии (например, Коническая задача Штейнера ) и вывод многоточечная формула, формула, позволяющая подсчитывать или перечислять точки в волокне, даже если они бесконечно близко.

Проблема остаточного пересечения восходит к 19 веку.^{[нужна цитата ]} Современная формулировка проблем и решений принадлежит Фултону и Макферсону. Если быть точным, они развивают теория пересечений путем решения проблем остаточных пересечений (а именно, с помощью Класс Сегре из нормальный конус до пересечения.) Обобщение на ситуацию, когда предположение о регулярности вложения ослаблено, связано с (Клейман 1981 ).

Формулы

Формула квиллена избыточного пересечения

Формула в топологической постановке возникает из-за (Квиллен 1971 ).

Теперь предположим, что нам даны Y ″ → Y' и предположим я': Икс' = Икс ×_Y Y' → Y' регулярна коразмерности d' так что можно определить я'^! как прежде. Позволять F быть лишним пучком я и я^'; то есть это откат к ИКС" частного N обычным пучком я'. Позволять е(F) быть Класс Эйлера (верх Черн класс ) из F, который мы рассматриваем как гомоморфизм из А_k−d' (ИКС") к А_k−d(ИКС"). потом

Формула превышения пересечения — ${ Displaystyle я ^ {!} = е (F) {я '} ^ {!}}$

куда я^! определяется морфизмом Y ″ → Y' → Y.

Наконец, можно обобщить приведенную выше конструкцию и формулу на полные морфизмы пересечения; это расширение обсуждается в п. 6.6. а также гл. 17 из loc. соч.

Доказательство: Формулу пересечения можно вывести из довольно явной формы гомоморфизма Гизина. Позволять E быть векторным расслоением на Икс ранга р и q: п(E ⊕ 1) → Икс то проективный пучок (здесь 1 означает тривиальное линейное расслоение). Как обычно, мы тождественны п(E ⊕ 1) как несвязное объединение п(E) и E. Тогда существует точная тавтологическая последовательность

{ displaystyle 0 to { mathcal {O}} (- 1) to q ^ {*} E oplus 1 to xi to 0}

на п(E ⊕ 1). Мы утверждаем, что гомоморфизм Гизина задается как

{ displaystyle A_ {k} (E) to A_ {k-r} (X), , x mapsto q _ {*} (e ( xi) { overline {x}})}

куда е(ξ) = c_р(ξ) - класс Эйлера ξ и ${ displaystyle { overline {x}}}$ является элементом А_k(п(E ⊕ 1)) это ограничивает Икс. Поскольку инъекция q^*: А_k−р(Икс) → А_k(п(E ⊕ 1)) разбивается, мы можем написать

{ displaystyle { overline {x}} = q ^ {*} y + z}

куда z класс цикла, поддерживаемый на п(EПо формуле суммы Уитни имеем: c(q^*E) = (1 − c₁(О(1)))c(ξ) и так

{ displaystyle е ( xi) = sum _ {0} ^ {r} c_ {1} ({ mathcal {O}} (1)) ^ {i} c_ {ri} (q ^ {*} E ).}

Тогда получаем:

{ displaystyle q _ {*} (е ( xi) q ^ {*} y) = sum _ {i = 0} ^ {r} s_ {ir} (E oplus 1) c_ {ri} (E) y}

куда s_я(E ⊕ 1) является я-й Класс Сегре. Поскольку нулевой член класса Сегре является тождеством, а его отрицательные члены равны нулю, приведенное выше выражение равно y. Далее, поскольку ограничение ξ на п(E) имеет никуда не исчезающий раздел и z это класс цикла, поддерживаемый на п(E), следует, что е(ξ)z = 0. Следовательно, записывая π для отображения проекции E и j для включения E к п(E⊕1) получаем:

{ displaystyle pi ^ {*} q _ {*} (е ( xi) { overline {x}}) = pi ^ {*} (y) = j ^ {*} q ^ {*} y = j ^ {*} ({ overline {x}} - z) = j ^ {*} ({ overline {x}}) = x}

где предпоследнее равенство, как и раньше, связано с причиной поддержки. Это завершает доказательство явного вида гомоморфизма Гизина.

Остальное формально и просто. Мы используем точную последовательность

{ displaystyle 0 to xi ' to xi to r ^ {*} F to 0}

куда р это карта проекции для. Письмо п по закрытию специализации V, по формуле суммы Уитни и формуле проекции имеем:

{ displaystyle i ^ {!} (V) = r _ {*} (e ( xi) P) = r _ {*} (e (r ^ {*} F) e ( xi ') P) = e ( F) r _ {*} (e ( xi ') P) = e (F) {i'} ^ {!} (V).}

${ Displaystyle квадрат}$

Частным случаем формулы является формула самопересечения, в котором говорится: учитывая регулярное вложение я: Икс → Y с нормальной связкой N,

{ displaystyle i ^ {*} i _ {*} = e (N).}

(Чтобы получить это, возьмите Y' = Y ″ = Икс.) Например, из этого и формула проекции, когда Икс, Y гладкие, можно вывести формулу:

{ displaystyle i _ {*} (x) i _ {*} (y) = i _ {*} (e (N) xy).}

в чау-ринге Y.

Позволять ${ displaystyle f: { widetilde {Y}} to Y}$ быть раздутием по замкнутой подсхеме Икс, ${ displaystyle { widetilde {X}}}$ исключительный дивизор и ${ displaystyle g: { widetilde {g}}: { widetilde {X}} to X}$ ограничение ж. Предполагать ж можно записать как закрытое погружение с последующим гладким морфизмом (например, Y квазипроективно). Тогда из ${ displaystyle f ^ {*} i _ {*} = i ^ {!} g ^ {*}}$ , получается:

Ключевая формула Жуанолоу — ${ displaystyle f ^ {*} i _ {*} = {i '} _ {*} e (F) g ^ {*}}$ .

Примеры

На протяжении всего раздела примеров базовое поле является алгебраически замкнутым и имеет нулевую характеристику. Все приведенные ниже примеры (кроме первого) взяты из (Фултон 1998 ).

Пример: пересечение двух плоских кривых, содержащих один и тот же компонент

Позволять ${ Displaystyle C_ {1} = Z (x_ {0} x_ {1})}$ и ${ Displaystyle C_ {2} = Z (x_ {0} x_ {2})}$ быть двумя плоскими кривыми в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ . Установить теоретически, их пересечение

${ displaystyle { begin {align} C_ {1} cap C_ {2} & = Z (x_ {1}, x_ {2}) cup Z (x_ {0}) & = [1: 0 : 0] cup {[0: a: b] in mathbb {P} ^ {2} } & = Z_ {1} cup Z_ {2} end {align}}}$

является объединением точки и вложенной ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ . К Теорема Безу, ожидается, что это пересечение должно содержать ${ displaystyle 4}$ точек, поскольку это пересечение двух коник, поэтому для интерпретации этого пересечения требуется остаточное пересечение. потом

${ Displaystyle (C_ {1} cap C_ {2}) ^ {Z_ {1}} = left {{ frac {c (N_ {C_ {1} / mathbb {P} ^ {2}}) ) c (N_ {C_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})} {c (N_ {Z_ {1} / mathbb {P} ^ {2}})}} right } _ {0} in A_ {0} (Z_ {1})}$ ${ Displaystyle (C_ {1} cap C_ {2}) ^ {Z_ {2}} = left {{ frac {c (N_ {C_ {1} / mathbb {P} ^ {2}}) ) c (N_ {C_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})} {c (N_ {Z_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})}} right } _ {1} in A_ {1} (Z_ {2})}$

С ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$ оба имеют степень ${ displaystyle 2}$ гиперповерхностей, их нормальный пучок является обратным ${ Displaystyle { mathcal {O}} (2)}$ , следовательно, числитель двух остаточных компонент равен

${ displaystyle { begin {align} c ({ mathcal {O}} (2)) c ({ mathcal {O}} (2)) & = (1 + 2 [H]) (1 + 2 [ H]) & = 1 + 4 [H] +4 [H] ^ {2} end {выравнивается}}}$

Потому что ${ displaystyle Z_ {1}}$ задается исчезающим локусом ${ Displaystyle Z (x_ {1}, x_ {2})}$ его нормальный комплект ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1) oplus { mathcal {O}} (1)}$ , следовательно

${ displaystyle { begin {align} c (N_ {Z_ {1} / mathbb {P} ^ {2}}) & = c ({ mathcal {O}} (1) oplus { mathcal {O }} (1)) & = (1+ [H]) (1+ [H]) & = 1 + 2 [H] + [H] ^ {2} & = 1 end { выровнено}}}$

поскольку ${ displaystyle Z_ {1}}$ это измерение ${ displaystyle 0}$ . Аналогично числитель также ${ displaystyle 1}$ , следовательно, остаточное пересечение имеет степень ${ displaystyle 1}$ , как и ожидалось, поскольку ${ displaystyle Z_ {1}}$ полное пересечение, заданное исчезающим множеством ${ Displaystyle Z (x_ {1}, x_ {2})}$ . Кроме того, нормальный набор ${ displaystyle Z_ {2}}$ является ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ поскольку это дано исчезающим локусом ${ displaystyle Z (x_ {0})}$ , так

${ displaystyle c (N_ {Z_ {2}} / X) = 1 + [H]}$

Инвертирование ${ displaystyle c (N_ {Z_ {2}} / X)}$ дает серию

${ displaystyle { frac {1} {1+ [H]}} = 1- [H] + [H] ^ {2}}$

следовательно

${ displaystyle { begin {align} { frac {c (N_ {C_ {1} / mathbb {P} ^ {2}}) c (N_ {C_ {2} / mathbb {P} ^ {2) }})} {c (N_ {Z_ {2} / mathbb {P} ^ {2}})}} = & (1 + 4 [H] +4 [H] ^ {2}) (1- [ H] + [H] ^ {2}) = & (1- [H] + [H] ^ {2}) & + (4 [H] -4 [H] ^ {2}) & + 4 [H] ^ {2} = & 1 + 3 [H] + [H] ^ {2} = & 1 + 3 [H] end {выровнено}}}$

давая остаточное пересечение ${ displaystyle 3 [H]}$ за ${ displaystyle Z_ {2}}$ . Продвижение вперед этих двух классов дает ${ displaystyle 4 [H] ^ {2}}$ в ${ Displaystyle А ^ {*} ( mathbb {P} ^ {2})}$ , по желанию.

Пример: степень кривой на трех поверхностях

Позволять ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} subset mathbb {P} ^ {3}}$ быть тремя поверхностями. Предположим теоретико-схемное пересечение ${ displaystyle bigcap X_ {i}}$ несвязное объединение гладкой кривой C и нульмерная схема S. Спрашивается: какова степень S? На это можно ответить #formula.

Пример: касательные коники к заданным пяти линиям

Плоские коники параметризованы ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {{ binom {2 + 2} {2}} - 1} = mathbb {P} ^ {5}}$ . Учитывая пять общих линий ${ displaystyle ell _ {1}, ldots, ell _ {5} subset mathbb {P} ^ {2}}$ , позволять ${ displaystyle H _ { ell _ {i}} subset mathbb {P} ^ {5}}$ - гиперповерхности коник, касающихся ${ displaystyle ell _ {i}}$ ; можно показать, что эти гиперповерхности имеют степень два.

В пересечение ${ displaystyle bigcap _ {i} H _ { ell _ {i}}}$ содержит Веронезе поверхность ${ Displaystyle Z simeq mathbb {P} ^ {2}}$ состоящий из двойных линий; это теоретико-схемная связная компонента ${ displaystyle bigcap _ {i} H _ { ell _ {i}}}$ . Позволять ${ displaystyle h = c_ {1} ({ mathcal {O}} _ {Z} (1))}$ быть классом гиперплоскости = первый класс Черна из О(1) в Кольцо для чау-чау из Z. Сейчас же, ${ Displaystyle Z = mathbb {P} ^ {2} hookrightarrow mathbb {P} ^ {5}}$ такой, что ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (1)}$ отступает к ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {2}} (2)}$ и так нормальный комплект к ${ displaystyle H _ { ell _ {i}}}$ ограниченный Z является

{ displaystyle N_ {H _ { ell _ {i}} / mathbb {P} ^ {5}} | _ {Z} = { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (H _ { ell _ {i}}) | _ {Z} = { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (2) | _ {Z} = { mathcal {O }} _ {Z} (4).}

Итак, общая Черн класс из этого

{ displaystyle c (N_ {H _ { ell _ {i}} / mathbb {P} ^ {5}} | _ {Z}) = 1 + 4h.}

Точно так же, используя этот нормальный пакет для обычного ${ Displaystyle X hookrightarrow Y}$ является ${ displaystyle T_ {Y} | _ {X} / T_ {X}}$ так же хорошо как Последовательность Эйлера, получаем, что полный класс Черна нормального расслоения ${ Displaystyle Z hookrightarrow mathbb {P} ^ {5}}$ является

{ displaystyle c (N_ {Z / mathbb {P} ^ {5}}) = c (T _ { mathbb {P} ^ {5}} | _ {Z}) / c (T_ {Z}) = c ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {5}} (1) ^ { oplus 6} | _ {Z}) / c ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {2}} (1) ^ { oplus 3}) = (1 + 2h) ^ {6} / (1 + h) ^ {3}.}.}

Таким образом Класс Сегре из ${ Displaystyle Z hookrightarrow mathbb {P} ^ {5}}$ является

{ displaystyle s (Z, mathbb {P} ^ {5}) = c (N_ {Z / mathbb {P} ^ {5}}) ^ {- 1} = 1-9h + 51h ^ {2} .}

Следовательно, эквивалентность Z является

{ displaystyle deg ((1 + 4h) ^ {5} (1-9h + 51h ^ {2})) = 160-180 + 51 = 31.}

К Теорема Безу, степень ${ displaystyle bigcap _ {i} H _ { ell _ {i}}}$ является ${ displaystyle 2 ^ {5} = 32}$ и, следовательно, остаточное множество состоит из единственной точки, соответствующей единственной конической касательной ко всем данным пяти прямым.

В качестве альтернативы эквивалентность Z можно вычислить #formula?; поскольку ${ displaystyle deg (c_ {1} (T _ { mathbb {P} ^ {2}})) = deg (c_ {2} (T _ { mathbb {P} ^ {2}})) = 3 }$ и ${ Displaystyle deg (Z) = 4}$ , это:

{ displaystyle 3 + 4 (3) + (40-10 (6) +21) deg (Z) = 31.}

Пример: касательные коники к заданным пяти коникам

Предположим, нам даны пять плоских коник ${ Displaystyle C_ {1}, ldots, C_ {5} subset mathbb {P} ^ {2}}$ на общих должностях. Можно поступить точно так же, как в предыдущем примере. Итак, пусть ${ Displaystyle H_ {C_ {i}} subset mathbb {P} ^ {5}}$ - гиперповерхность коник, касающихся ${ displaystyle C_ {i}}$ ; можно показать, что он имеет степень 6. Пересечение ${ displaystyle bigcap _ {i} H_ {C_ {i}}}$ содержит поверхность Веронезе Z двойных линий.

Пример: функториальность построения уточненного гомоморфизма Гизина

Функциональность - это название раздела, к которому относится: учитывая два регулярных вложения ${ displaystyle X { overset {i} { hookrightarrow}} Y { overset {j} { hookrightarrow}} Z}$ ,

{ displaystyle (j circ i) ^ {!} = j ^ {!} circ i ^ {!}}

где равенство имеет следующий смысл:

Примечания

дальнейшее чтение

Теория пересечений с приложениями к инвариантам Громова-Виттена