Класс Сегре - Segre class

В математика, то Класс Сегре это характеристический класс используется при изучении шишки, обобщение векторные пучки. Для векторных расслоений общий класс Сегре обратен полному Черн класс, и таким образом предоставляет эквивалентную информацию; Преимущество класса Сегре состоит в том, что он обобщается на более общие конусы, в то время как класс Черна - нет. Класс Сегре был введен в неособом случае Бениамино Сегре (1953 В современном лечении теория пересечений в алгебраической геометрии, как разработано, например, в окончательной книге Фултона^[1], Классы Сегре играют фундаментальную роль.

Определение

Предполагать ${displaystyle C}$ это конус над ${displaystyle X}$ , ${displaystyle q}$ это проекция из проективное завершение ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$ из ${displaystyle C}$ к ${displaystyle X}$ , и ${displaystyle {mathcal {O}} (1)}$ это пучок антитавтологических линий на ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$ . Просмотр журнала Черн класс ${displaystyle c_ {1} ({mathcal {O}} (1))}$ как групповой эндоморфизм Группа чау из ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$ , общий класс Сегре ${displaystyle C}$ дан кем-то:

{displaystyle s (C) = q _ {*} left (sum _ {igeq 0} c_ {1} ({mathcal {O}} (1)) ^ {i} [mathbb {P} (Coplus 1)] ight) .}

В ${displaystyle i}$ й класс Сегре ${displaystyle s_ {i} (C)}$ это просто ${displaystyle i}$ -й оцененный кусок ${displaystyle s (C)}$ . Если ${displaystyle C}$ имеет чистое измерение ${displaystyle r}$ над ${displaystyle X}$ тогда это определяется как:

{displaystyle s_ {i} (C) = q _ {*} left (c_ {1} ({mathcal {O}} (1)) ^ {r + i} [mathbb {P} (Coplus 1)] ight). }

Причина использования ${displaystyle mathbb {P} (Coplus 1)}$ скорее, чем ${displaystyle mathbb {P} (C)}$ состоит в том, что это делает полный класс Сегре устойчивым при добавлении тривиального расслоения ${displaystyle {mathcal {O}}}$ .

Если Z замкнутая подсхема алгебраической схемы Икс, тогда ${displaystyle s (Z, X)}$ обозначим класс Сегре нормальный конус к ${displaystyle Zhookrightarrow X}$ .

Связь с классами Черна для векторных расслоений

Для голоморфное векторное расслоение ${displaystyle E}$ через комплексное многообразие ${displaystyle M}$ общий класс Сегре ${displaystyle s (E)}$ является обратным к полному Черн класс ${displaystyle c (E)}$ см. например^[2]

Явно для всего класса Черна

{displaystyle c (E) = 1 + c_ {1} (E) + c_ {2} (E) + cdots,}

получает общий класс Сегре

{displaystyle s (E) = 1 + s_ {1} (E) + s_ {2} (E) + cdots,}

куда

{displaystyle c_ {1} (E) = - s_ {1} (E), quad c_ {2} (E) = s_ {1} (E) ^ {2} -s_ {2} (E), quad dots , quad c_ {n} (E) = - s_ {1} (E) c_ {n-1} (E) -s_ {2} (E) c_ {n-2} (E) -cdots -s_ {n } (E)}

Позволять ${displaystyle x_ {1}, точки, x_ {k}}$ быть корнями Черна, т.е. формальными собственными значениями ${displaystyle {frac {iOmega} {2pi}}}$ куда ${displaystyle Omega}$ кривизна связь на ${displaystyle E}$ .

Тогда как класс Черна c (E) записывается как

{displaystyle c (E) = prod _ {i = 1} ^ {k} (1 + x_ {i}) = c_ {0} + c_ {1} + cdots + c_ {k},}

куда ${displaystyle c_ {i}}$ является элементарный симметричный многочлен степени ${displaystyle i}$ в переменных ${displaystyle x_ {1}, точки, x_ {k}}$

Сегре для двойной комплект ${displaystyle E ^ {vee}}$ имеющий корни Черна ${displaystyle -x_ {1}, точки, -x_ {k}}$ записывается как

{displaystyle s (E ^ {vee}) = prod _ {i = 1} ^ {k} {frac {1} {1-x_ {i}}} = s_ {0} + s_ {1} + cdots}

Расширяя приведенное выше выражение в степени ${displaystyle x_ {1}, точки x_ {k}}$ можно видеть, что ${displaystyle s_ {i} (E ^ {vee})}$ представлен полный однородный симметричный многочлен из ${displaystyle x_ {1}, точки x_ {k}}$

Характеристики

Вот несколько основных свойств.

Для любого конуса C (например, векторное расслоение), ${displaystyle s (Coplus 1) = s (C)}$ .^[3]
Для конуса C и векторное расслоение E,
${displaystyle c (E) s (Coplus E) = s (C).}$ ^[4]
Если E - векторное расслоение, то^[5]
${displaystyle s_ {i} (E) = 0}$ за ${displaystyle i <0}$ .
${displaystyle s_ {0} (E)}$ - тождественный оператор.
${displaystyle s_ {i} (E) circ s_ {j} (F) = s_ {j} (F) circ s_ {i} (E)}$ для другого векторного пучка F.
Если L - линейное расслоение, то ${displaystyle s_ {1} (L) = - c_ {1} (L)}$ , за вычетом первого класса Черна L.^[5]
Если E векторное расслоение ранга ${displaystyle e + 1}$ , то для линейного пучка L,
${displaystyle s_ {p} (Eotimes L) = сумма _ {i = 0} ^ {p} (- 1) ^ {pi} {inom {e + p} {e + i}} s_ {i} (E) c_ {1} (L) ^ {pi}.}$ ^[6]

Ключевым свойством класса Сегре является бирациональная инвариантность: она содержится в следующем. Позволять ${displaystyle p: X o Y}$ быть правильный морфизм между алгебраические схемы такой, что ${displaystyle Y}$ неприводима, и каждая неприводимая компонента ${displaystyle X}$ карты на ${displaystyle Y}$ . Тогда для каждой замкнутой подсхемы ${displaystyle Wsubset Y}$ , ${displaystyle V = p ^ {- 1} (W)}$ и ${displaystyle p_ {V}: V o W}$ ограничение ${displaystyle p}$ ,

{displaystyle {p_ {V}} _ {*} (s (V, X)) = имя оператора {deg} (p), s (W, Y).}

^[7]

Аналогично, если ${displaystyle f: X o Y}$ это плоский морфизм постоянной относительной размерности между чисто-размерными алгебраическими схемами, то для каждой замкнутой подсхемы ${displaystyle Wsubset Y}$ , ${displaystyle V = f ^ {- 1} (W)}$ и ${displaystyle f_ {V}: V o W}$ ограничение ${displaystyle f}$ ,

{displaystyle {f_ {V}} ^ {*} (s (W, Y)) = s (V, X).}

^[8]

Базовый пример бинациональной инвариантности дает раздутие. Позволять ${displaystyle pi: {widetilde {X}} o X}$ быть взрывом какой-то замкнутой подсхемы Z. Поскольку исключительный делитель ${displaystyle E: = pi ^ {- 1} (Z) hookrightarrow {widetilde {X}}}$ является эффективным дивизором Картье, и нормальный конус (или нормальное расслоение) к нему есть ${displaystyle {mathcal {O}} _ {E} (E): = {mathcal {O}} _ {X} (E) | _ {E}}$ ,

{displaystyle {egin {выровнено} s (E, {widetilde {X}}) & = c ({mathcal {O}} _ {E} (E)) ^ {- 1} [E] & = [E] -Ecdot [E] + Ecdot (Ecdot [E]) + cdots, конец {выровнен}}}

где мы использовали обозначения ${displaystyle Dcdot alpha = c_ {1} ({mathcal {O}} (D)) alpha}$ .^[9] Таким образом,

{displaystyle s (Z, X) = g _ {*} left (sum _ {k = 1} ^ {infty} (- 1) ^ {k-1} E ^ {k} ight)}

куда ${displaystyle g: E = pi ^ {- 1} (Z) o Z}$ дан кем-то ${displaystyle pi}$ .

Примеры

Пример 1

Позволять Z - гладкая кривая, являющаяся полным пересечением эффективных дивизоров Картье ${displaystyle D_ {1}, точки, D_ {n}}$ на разнообразии Икс. Предположим размер Икс является п + 1. Тогда класс Сегре нормальный конус ${displaystyle C_ {Z / X}}$ к ${displaystyle Zhookrightarrow X}$ является:^[10]

{displaystyle s (C_ {Z / X}) = [Z] -sum _ {i = 1} ^ {n} D_ {i} cdot [Z].}

Действительно, например, если Z регулярно встраивается в Икс, то, поскольку ${displaystyle C_ {Z / X} = N_ {Z / X}}$ нормальный пучок и ${displaystyle N_ {Z / X} = igoplus _ {i = 1} ^ {n} N_ {D_ {i} / X} | _ {Z}}$ (видеть Нормальный конус # Свойства ), у нас есть:

{displaystyle s (C_ {Z / X}) = c (N_ {Z / X}) ^ {- 1} [Z] = prod _ {i = 1} ^ {d} (1-c_ {1} ({ mathcal {O}} _ {X} (D_ {i}))) [Z] = [Z] -сумма _ {i = 1} ^ {n} D_ {i} cdot [Z].}

Пример 2

Ниже приведен пример 3.2.22. из (Фултон 1998 ). Он восстанавливает некоторые классические результаты из книги Шуберта о перечислительная геометрия.

Просмотр двойного проективного пространства ${Displaystyle {Reve {mathbb {P} ^ {3}}}}$ как Расслоение Грассмана ${displaystyle p: {reve {mathbb {P} ^ {3}}} o *}$ параметризация 2-х плоскостей в ${displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ , рассмотрим тавтологическую точную последовательность

{displaystyle 0 o S o p ^ {*} mathbb {C} ^ {3} o Q o 0}

куда ${displaystyle S, Q}$ - тавтологические подслои и фактор-расслоения. С ${displaystyle E = operatorname {Sym} ^ {2} (S ^ {*} иногда Q ^ {*})}$ , то проективный пучок ${displaystyle q: X = mathbb {P} (E) o {reve {mathbb {P} ^ {3}}}}$ это разнообразие коник в ${displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ . С ${displaystyle eta = c_ {1} (Q ^ {*})}$ , у нас есть ${displaystyle c (S ^ {*} иногда Q ^ {*}) = 2 эта + 2 эта ^ {2}}$ и так, используя Класс Черна # Формулы вычисления,

{displaystyle c (E) = 1 + 8 эта + 30 эта ^ {2} +60 эта ^ {3}}

и поэтому

{displaystyle s (E) = 1 + 8h + 34h ^ {2} + 92h ^ {3}}

куда ${displaystyle h = - eta = c_ {1} (Q).}$ Коэффициенты в ${displaystyle s (E)}$ имеют перечислительное геометрическое значение; например, 92 - это количество конусов, пересекающих 8 общих линий.

Пример 3

Позволять Икс быть поверхностью и ${displaystyle A, B, D}$ эффективные делители Картье на нем. Позволять ${displaystyle Zsubset X}$ быть теоретико-схемное пересечение из ${displaystyle A + D}$ и ${displaystyle B + D}$ (рассматривая эти делители как замкнутые подсхемы). Для простоты предположим ${displaystyle A, B}$ встретиться только в одной точке п с той же кратностью м и это п гладкая точка Икс. потом^[11]

{displaystyle s (Z, X) = [D] + (m ^ {2} [P] -Dcdot [D]).}

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим взрыв ${displaystyle pi: {widetilde {X}} o X}$ из Икс вдоль п и разреши ${displaystyle g: {widetilde {Z}} = pi ^ {- 1} Z o Z}$ , строгое преобразование Z. По формуле при #Характеристики,

{displaystyle s (Z, X) = g _ {*} ([{widetilde {Z}}]) - g _ {*} ({widetilde {Z}} cdot [{widetilde {Z}}]).}

С ${displaystyle {widetilde {Z}} = pi ^ {*} D + mE}$ куда ${displaystyle E = pi ^ {- 1} P}$ , приведенная выше формула дает результат.

Кратность по подмногообразию

Позволять ${displaystyle (A, {mathfrak {m}})}$ быть местным кольцом разнообразия Икс на замкнутом подмногообразии V коразмерность п (Например, V может быть закрытой точкой). потом ${displaystyle operatorname {length} _ {A} (A / {mathfrak {m}} ^ {t})}$ является многочленом степени п в т для больших т; т.е. его можно записать как ${displaystyle {e (A) ^ {n} over n!} t ^ {n} +}$ члены более низкой степени и целое число ${displaystyle e (A)}$ называется множественность из А.

Класс Сегре ${displaystyle s (V, X)}$ из ${displaystyle Vsubset X}$ кодирует эту кратность: коэффициент ${displaystyle [V]}$ в ${displaystyle s (V, X)}$ является ${displaystyle e (A)}$ .^[12]